Leibniz integral rule

Original article: w:Leibniz integral rule

This article is about the integral rule. For the convergence test of alternating series, see Alternating series test.

미적분학(calculus)에서, 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)의 이름을 따서 지은 적분 기호 아래에서 미분에 대한 라이프니츠 적분 규칙은 다음 형식의 적분(integral)에 대해 말합니다:

$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$

여기서 $-\infty <a(x),b(x)<\infty$이고, 이 적분의 도함수는 다음으로 표현될 수 있습니다:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$

여기서 부분 도함수(partial derivative)는 적분 내부에서, $x$를 갖는 $f(x,t)$의 변형만 도함수를 취하는 것으로 고려됨을 나타냅니다. 만약 $a(x)$와 $b(x)$가 $x$의 함수(functions)가 아니라 상수이면, 우리는 다음과 같은 특별한 경우를 가집니다:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$

게다가, 만약 $a(x)=a$ and $b(x)=x$이면, 이것은 마찬가지로 공통적인 상황이며 (예를 들어, 코시의 반복된 적분 공식의 증명애서), 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$

따라서 특정 조건 아래에서, 우리는 적분과 부분 미분 연산자(operators)를 교환할 수 있습니다. 이 중요한 결과는 적분 변환(integral transform)의 미분에 특히 유용합니다. 그러한 예제는 확률(probability) 이론에서 모멘트 생성 함수(moment generating function), 확률 변수(random variable)의 모멘트(moments)를 생성하기 위해 미분될 수 있는 라플라스 변환(Laplace transform)의 변형입니다. 라이프니츠의 적분 규칙이 적용되는지 여부는 본질적으로 극한(limits)의 교환에 대한 질문입니다.

General form: differentiation under the integral sign

Theorem — $f(x,t)$를 $f(x,t)$와 그 부분 도함수 $f_{x}(x,t)$ 둘 다가 $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$를 포함하는 $xt$-평면의 일부 영역에서 $t$와 $x$에서 연속임을 만족하는 함수라고 놓습니다. $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

오른쪽 변은 라그랑주의 표기법(Lagrange's notation)을 사용하여 다음으로 쓸 수도 있을 것입니다: ${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

그 정리의 더 강력한 버전은 부분 도함수가 거의 모든 곳(almost everywhere)에 존재하는 것만 요구하고, 그것이 연속적이라는 것을 요구하지 않습니다. 이 공식은 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형식이고 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 사용하여 유도될 수 있습니다. 미적분학의 (첫 번째) 기본 정리는 $a(x)=a\in \mathbb {R}$가 상수, $b(x)=x$이고, $f(x,t)=f(t)$가 $x$에 의존하지 않을 때 위 공식의 특별한 경우일 뿐입니다.

만약 위쪽 경계와 아래쪽 경계 둘 다가 상수로 취해지면, 그 공식은 연산자(operator) 방정식의 모양을 취합니다:$${\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}$$ 여기서 $\partial _{x}$는 $x$에 관한 부분 도함수(partial derivative)이고 ${\mathcal {I}}_{t}$는 고정된 구간(interval)에 걸쳐 $t$에 관한 적분 연산자입니다. 즉, 그것은 이차 도함수(symmetry of second derivatives)의 대칭성과 관련이 있지만, 적분뿐만 아니라 도함수도 관련됩니다. 이 경우는 역시 라이프니츠 적분 규칙으로 알려져 있습니다.

극한의 교환(interchange of limits)에 대한 다음 세 가지 기본 정리는 본질적으로 동등합니다:

• 도함수와 적분의 교환 (적분 기호 아래에서 미분; 즉 라이프니츠 적분 규칙);
• 부분 도함수의 순서의 변경;
• 적분 순서의 변경 (적분 기호 아래의 적분; 즉, 푸비니의 정리(Fubini's theorem))

Three-dimensional, time-dependent case

See also: § Higher dimensions

Figure 1: A vector field F(r, t) defined throughout space, and a surface Σ bounded by curve ∂Σ moving with velocity v over which the field is integrated.

삼차원 공간에서 움직이는 이차원 표면(two dimensional surface)에 대해 라이프니츠 적분 법칙은 다음입니다:

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$$

여기서:

• F(r, t)는 시간 $t$에서 공간 위치 r에서 벡터 필드입니다,
• Σ는 닫힌 곡선 ∂Σ에 의해 경계진 표면입니다,
• dA는 표면 Σ의 벡터 원소입니다,
• ds는 곡선 ∂Σ의 벡터 원소입니다,
• v는 영역 Σ의 운동의 속도입니다,
• ∇⋅는 벡터 다이버전스(divergence)입니다,
• ×는 벡터 교차 곱(vector cross product)입니다,
• 이중 적분은 표면 Σ에 걸쳐 표면 적분(surface integrals)이고, 선 적분(line integral)은 경계 곡선 ∂Σ에 걸친 것입니다.

Higher dimensions

라이프니츠 적분 규칙은 다차원 적분으로 확장될 수 있습니다. 이차원과 삼차원에서, 이 규칙은 유체 역학(fluid dynamics) 분야에서 레이놀즈 수송 정리(Reynolds transport theorem)로 더 잘 알려져 있습니다:

${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$

여기서 $F(\mathbf {x} ,t)$는 스칼라 함수, D(t)와 ∂D(t)는 각각 R³과 그것의 경계의 시간-변하는 연결된 영역을 나타내고, $\mathbf {v} _{b}$는 경계의 오일러 속도이고 (라그랑주와 오일러 좌표(Lagrangian and Eulerian coordinates)를 참조), dΣ = n dS는 표면(surface) 원소(element)의 단위 법선 성분입니다.

라이프니츠 적분 규칙의 일반 명제는 미분 기하학(differential geometry), 특히 미분 형식(differential forms), 외부 도함수(exterior derivative), 웨지 곱(wedge product), 및 내부 곱(interior product)의 개념을 요구합니다. 그런 도구와 함께, n 차원에서 라이프니츠 적분 규칙은 다음입니다:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},$

여기서 Ω(t)는 적분의 시간-변하는 도메인이고, ω는 p-형식이고, $\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}$는 속도의 벡터 필드이고, $i_{\mathbf {v} }$는 $\mathbf {v}$를 갖는 내부 곱(interior product)을 나타내고, d_xω는 오직 공간 변수에 관한 ω의 외부 도함수(exterior derivative)이고 ${\dot {\omega }}$는 ω의 시간 도함수입니다.

어쨌든, 이들 모든 항등식은 리 도함수에 대한 가장 일반적인 명제에서 유도될 수 있습니다:

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\operatorname {im} _{\psi _{t}}(\Omega )}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,$

여기서, 미분 형식 $\omega$가 존재하는 주변 매니폴드는 공간과 시간 둘 다를 포함합니다.

• $\Omega$는 주어진 순간에서 적분의 영역 (부분-매니폴드)입니다 (그것은 $t$에 의존하지 않는데, 왜냐하면 부분-매니폴드로 매개변수화가 시간에서 위치를 정의하기 때문입니다),
• ${\mathcal {L}}$는 리 도함수(Lie derivative)입니다,
• $\Psi$는 이전의 공식에서 순수하게 공간 벡터 필드 $\mathbf {v}$에 시간 방향에서 단일 벡터 필드를 더한 것으로부터 얻어진 시공간 벡터 필드입니다 (즉, $\Psi$는 Ω $\Omega$의 시공간 속도입니다),
• $\psi _{t}$는 $\Psi$의 흐름(flow)에 의해 생성된 일-매개변수 그룹(one-parameter group)에서 미분-동형입니다, 그리고
• ${\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )$는 그러한 미분-동형 아래에서 $\Omega$의 이미지(image)입니다.

이 형식에서 주목할 만한 점은, $\Omega$가 시간이 지남에 따라 그것의 모양과 크기가 변하는 경우를 설명할 수 있다는 것인데, 왜냐하면 그러한 변형은 $\Psi$에 의해 완전히 결정되기 때문입니다.

Measure theory statement

$X$를 $\mathbf {R}$의 열린 부분집합으로 놓고, $\Omega$를 측정 공간(measure space)으로 놓습니다. $f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R}$가 다음 조건을 만족시킨다고 가정합니다:

1. $f(x,\omega )$는 각 $x\in X$에 대해 $\omega$의 르베그-적분가능 함수입니다.
2. 거의 모든(almost all) $\omega \in \Omega$에 대해, 도함수 $f_{x}$가 존재하고 모든 $x\in X$에 대해 연속입니다.
3. 모든 $x\in X$와 거의 모든 각 $\omega \in \Omega$에 대해 $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$를 만족하는 적분-가능 함수 $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$가 있습니다.

그런-다음, 모든 $x\in X$에 대해,

${\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .$

증명은 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)와 평균값 정리(mean value theorem)에 의존합니다 (자세한 내용에 대해 아래를 참조하십시오).

Proofs

Proof of basic form

우리는 먼저 적분의 상수 극한 a와 b의 경우를 입증합니다.

우리는 적분의 순서를 변경하기 위해 푸비니의 정리(Fubini's theorem)를 사용합니다. h>0이고 x와 x+h 둘 다가 [x₀,x₁] 내에 있음을 만족하는 모든 각 x와 h에 대해 다음을 가집니다:

$\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

$f_{x}(x,t)$가 닫힌 직사각형 $[x_{0},x_{1}]\times [a,b]$이고 따라서 역시 거기에서도 균등하게 연속이기 때문에 적분은 잘 정의되어 있음을 주목하십시오; 따라서 dt 또는 dx에 의한 적분은 다른 변수에서 연속이고 역시 그것에 의해 적분-가능입니다 (필수적으로 이것은 균등하게 연속 함수에 대해, 우리는 아래에 설명된 대로 적분 기호를 통해 극한을 전달할 수 있기 때문입니다).

그러므로:

${\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}$

여기서 우리는 다음을 정의합니다:

$F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx$

(여기서 $x_{0}$을 $x_{0}$와 $x$ 사이의 다른 점으로 대체할 수 있습니다)

F는 도함수 ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$를 갖는 적분-가능이므로, 우리는 h가 영으로 접근하는 곳에서 극한을 취할 수 있습니다. 왼쪽 편에 대해, 이 극한은 다음입니다:

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

오른쪽 편에 대해, 우리는 다음을 얻습니다:

$F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$

그리고 우리는 따라서 원했던 결과를 입증했습니다:

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$

Another proof using the bounded convergence theorem

만약 적분이 르베그 적분(Lebesgue integral)이면, 우리는 극한이 적분 기호를 통과할 수 있다는 것을 보여주기 위해 경계진 수렴 정리(bounded convergence theorem) (이들 적분에 대해 유효하지만, 리만 적분(Riemann integral)에는 유효하지 않음)를 사용할 수 있습니다.

이 증명은 f_x(x,t)가 르베그 적분-가능이지만, 그것이 리만 적분-가능하지 않음을 오직 보여준다는 의미에서 더 약하다는 점을 주목하십시오. 전자 (더 강력한) 증명에서, 만약 f(x,t)가 리만 적분-가능이면, fx(x,t)도 마찬가지입니다 (그리고 따라서 분명히 역시 르베그 적분-가능입니다).

다음을 놓습니다:

$u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.$

(1)

도함수의 정의에 의해,

$u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.$

(2)

방정식 (1)을 방정식 (2)에 대입하십시오. 두 적분의 차이는 차이의 적분과 같고, 1/h는 상수이므로,

${\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}$

우리는 이제 극한이 적분 기호를 통과할 수 있음을 보입니다.

우리는 적분 기호 아래에서 극한의 통과가 경계진 수렴 정리 (지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)의 따름정리)에 의해 유효하다고 주장합니다. 각 δ > 0에 대해, 다음 차이 몫(difference quotient)을 생각해 보십시오:

$f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.$

고정된 t에 대해, 평균값 정리(mean value theorem)는 다음을 만족하는 구간 [x, x + δ]에서 z가 존재함을 의미합니다:

$f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).$

f_x(x, t)의 연속성과 도메인의 컴팩트성은 함께 f_x(x, t)가 경계진 것임을 의미합니다. 위의 평균값 정리의 적용은 따라서 $f_{\delta }(x,t)$에 대한 균등 ($t$와 독립) 경계를 제공합니다. 차이 몫은 부분 도함수가 존재한다는 가정에 의해 부분 도함수 f_x에 점별로 수렴합니다.

위의 논증은 모든 각 수열 {δ_n} → 0에 대해, 수열 $\{f_{\delta _{n}}(x,t)\}$이 균등하게 경계지고 f_x에 점별로 수렴함을 보여줍니다. 경계진 수렴 정리는 만약 유한 측정의 집합의 함수의 수열이 균등하게 경계지고 점별로 수렴하면, 적분 아래에서 극한의 통과가 유효하다는 것을 말합니다. 특히, 극한과 적분은 모든 각 수열 {δ_n} → 0에 대해 교환될 수 있습니다. 그러므로, δ → 0일 때 극한은 적분 기호를 통과될 수 있습니다.

Variable limits form

하나의 실수 변수(real variable)에 대한 연속(continuous) 실수-값 함수(real valued function) g와 실수-값 미분-가능(differentiable) 함수 $f_{1}$과 $f_{2}$에 대해,

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$

이것은 체인 규칙(chain rule)과 미적분학의 첫 번째 기본 정리(First Fundamental Theorem of Calculus)에서 따릅니다. 다음을 정의합니다:

$G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,$

및

$\Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.$ (아래쪽 극한은 단지 $g$의 도메인에서 일부 숫자여야 합니다)

그런-다음, $G(x)$는 합성(composition)으로 쓸 수 있습니다: $G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)$. 체인 규칙(Chain Rule)은 그런-다음 다음임을 의미합니다:

$G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).$

미적분학의 첫 번째 기본 정리(First Fundamental Theorem of Calculus)에 의해, $\Gamma '(x)=g(x)$입니다. 그러므로, 위의 결과를 대입하면 원하는 방정식을 얻습니다:

$G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$

주목: 이 형식은 미분될 표현식이 다음 형식이면 특히 유용될 수 있습니다:

$\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt$

$h(x)$는 적분의 극한에 의존하지 않기 때문에, 적분 기호 아래에서 벗어날 수 있고, 위의 형식은 곱 규칙(Product rule)과 함께 사용될 수 있으며, 즉,

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)$

General form with variable limits

다음을 설정합니다:

$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$

여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때, 증분 Δa와 Δb를 각각 나타내는 α의 함수입니다. 그런-다음,

${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$

평균값 정리(mean value theorem)의 형식, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$는, 여기서 a < ξ < b, 다음을 초래하는, 위의 Δφ에 대해 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용될 수 있습니다:

$\Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$

Δα로 나누고 Δα → 0으로 놓습니다. ξ₁ → a 및 ξ₂ → b에 주목하십시오. 우리는 다시 경계진 수렴 정리에 의해 적분 기호를 통해 극한을 전달할 수 있습니다:

$\lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,$

이것은 라이프니츠 적분 법칙의 일반적인 형식을 산출합니다:

${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.$

Alternative proof of the general form with variable limits, using the chain rule

변수 극한을 갖는 라이프니츠의 적분 규칙의 일반적인 형식은 라이프니츠의 적분 규칙의 기본 형식(basic form), 다변수 체인 규칙(multivariable chain rule)과 미적분학의 첫 번째 기본 정리(First Fundamental Theorem of Calculus)의 결과로 도출될 수 있습니다. $f$가 $x\in [x_{1},x_{2}]$와 $t\in [t_{1},t_{2}]$에 대해, $x-t$ 평면에서 직사각형에 정의되어 있다고 가정합니다. 역시, $f$와 부분 도함수 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$는 둘 다 이 직사각형의 연속 함수임을 가정합니다. $a,b$가 $[t_{1},t_{2}]$ (즉, 모든 각 $x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]$)에 대해 값을 갖는 $[x_{1},x_{2}]$ 위에 정의된 미분-가능(differentiable) 실수-값 함수임을 가정합니다. 이제, 다음을 설정합니다:

$F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,$   for $x\in [x_{1},x_{2}]$ and $y\in [t_{1},t_{2}]$

및

$G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$   for $x\in [x_{1},x_{2}]$

그런-다음, 한정 적분(Definite Integrals)의 속성에 의해, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

${\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}$

함수 $F,a,b$가 다변수 체인 규칙(Multivariable Chain Rule)에 의해, 모두 미분-가능이므로 (증명의 끝에서 설명 참조), $G$는 미분-가능이고, 그 도함수가 다음 공식에 의해 제공됨을 따릅니다:

$G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)$  

이제, 모든 각 $x\in [x_{1},x_{2}]$에 대해, 및 모든 각 $y\in [t_{1},t_{2}]$에 대해, 우리는 ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$임을 가지는데, 왜냐하면 $F$의 $x$에 관한 부분 도함수를 취할 때, 우리는 표현 ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$에서 고정된 $y$를 유지하는 것이 때문임을 주목하십시오; 따라서 적분화의 상수 극한을 갖는 라이프니츠의 적분 규칙의 기본 형식(basic form)이 적용됩니다. 다음으로, 미적분학의 첫 번째 기본 정리(First Fundamental Theorem of Calculus)에 의해, 우리는 ${\textstyle {\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$임을 가집니다; $F$의 $y$에 관한 부분 도함수를 취할 때이기 때문에, 첫 번째 변수 $x$가 고정되므로, 기본 정리는 실제로 적용될 수 있습니다.

이들 결과를 위의 $G'(x)$에 대한 방정식에 대입하면 다음을 제공합니다:

${\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}$

원했던 것처럼.

위의 증명에서 주목할 가치가 있는 기술적인 점이 있습니다: $G$에 체인 규칙을 적용하는 것은 $F$가 이미 미분-가능(differentiable)임을 요구합니다. 이것은 $f$에 대한 우리의 가정을 사용하는 곳입니다. 위에서 언급했듯이, $F$의 부분 도함수는 공식 ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ 및 ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$에 의해 제공됩니다. ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$는 연속이기 때문에, 그것의 적분은 역시 연속 함수이기 때문에, 그리고 $f$는 역시 연속이기 때문에, 이들 두 결과는 $F$의 부분 도함수가 모두 연속임을 보여줍니다. 부분 도함수의 연속성은 함수의 미분가능성을 의미하기 때문에, $F$는 실제로 미분가능입니다.

Three-dimensional, time-dependent form

See also: § Higher dimensions

시간 t에서 그림 1에서 표면 Σ는 도형-중심 $\mathbf {C} (t)$ 주위에 배열된 점의 집합을 포함합니다. 함수 $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$는 시간에 독립적인 $\mathbf {I}$를 갖는 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$

변수는 $\mathbf {C} (t)$를 원점으로 하여 움직이는 표면에 부착된 새로운 참조의 프레임으로 이동됩니다. 엄격하게 변환하는 표면에 대해, 적분의 극한은 그런-다음 시간과 독립이므로, 다음과 같습니다:

${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$

여기서 적분을 Σ 영역으로 제한하는 적분의 극한은 더 이상 시간 종속적이지 않으므로 미분이 적분을 통해 오직 피적분에 작용을 전달합니다:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),$

다음에 의한 정의된 표면의 운동 속도와 함께,

$\mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).$

이 방정식은 필드의 물질 도함수(material derivative), 즉 움직이는 표면에 부착된 좌표 시스템에 관한 도함수를 나타냅니다. 도함수를 찾으면 변수는 원래 참조의 프레임으로 다시 전환될 수 있습니다. 우리는 다음임을 주목합니다: (컬에 관한 기사(article on curl)를 참조하십시오)

$\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,$

그리고 스토크스 정리(Stokes theorem)는 Σ에 걸쳐 컬의 표면 적분을 ∂Σ에 걸쳐 곡선 적분과 동일시합니다:

${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .$

곡선 적분의 부호는 선 요소 ds의 방향 선택에 대한 오른손 법칙(right-hand rule)을 기반으로 합니다. 이 기호를 설정하기 위해, 예를 들어, 필드 F가 양의 z-방향을 가리키고, 표면 Σ가 둘레 ∂Σ를 갖는 xy-평면의 일부라고 가정합니다. 우리는 양의 z-방향으로 Σ에 법선을 적용합니다. ∂Σ의 양의 순회는 그런-다음 반시계-방향입니다 (z-축을 따라 엄지손가락을 갖는 오른손 법칙). 그런-다음 왼쪽 편에 대한 적분은 Σ를 통한 F의 양의 플럭스를 결정합니다. Σ가 속도 v에서 양의 x-방향으로 이동한다고 가정합니다. y-축에 평행한 Σ 경계의 요소, 말하자면 ds는 시간 t에서 넓이 vt × ds를 쓸어냅니다. 만약 우리는 경계 ∂Σ 주위를 반시계 방향으로 적분하면, vt × ds는 ∂Σ의 왼쪽 변 (ds가 아래쪽을 가리킴)의 음의 z-방향을 가리키고, ∂Σ 오른쪽 변 (여기서 ds는 위쪽을 가리킴)에 대한 양의 z-방향을 가리키며, Σ가 오른쪽으로 이동하여, 오른쪽에 넓이를 추가하고 왼쪽에서 넓이를 잃기 때문에 의미가 있습니다. 이를 바탕으로, F의 펄럭스는 ∂Σ의 오른쪽에서 증가하고 왼쪽으로 감소합니다. 어쨌든, 점 곱 v × F ⋅ ds = −F × v ⋅ ds = −F ⋅ v × ds입니다. 결과적으로, 곡선 적분의 부호는 음수로 취합니다.

만약 v가 상수이면,

${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,$

이것은 인용된 결과입니다. 이 증명은 표면이 움직일 때 변형될 표면의 가능성을 고려하지 않습니다.

Alternative derivation

보조정리. 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).$

증명. 미적분학의 기보 정리의 증명(proof of the fundamental theorem of calculus)에서,

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]&=f(b),\end{aligned}}$

및

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}$

a와 b가 상수이고, f(x)가 적분에서 상수이고 다른 적분을 형성하기 위해 변할 수 있는 매개변수 α를 포함한다고 가정합니다. f(x, α)가 컴팩트 집합 {(x, α) : α₀ ≤ α ≤ α₁ and a ≤ x ≤ b}에서 x와 α의 연속 함수이고, 부분 도함수 f_α(x, α)가 존재하고 연속이라고 가정합니다. 만약 우리가 다음을 정의하면:

$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$

$\varphi$는 적분 기호 아래에서 미분함으로써 α에 관해 미분될 수 있습니다. 즉,

${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$

하이네–칸토어 정리(Heine–Cantor theorem)에 의해, 그것은 해당 집합에서 균등하게 연속입니다. 다시 말해, 임의의 ε > 0에 대해 [a, b]에서 x의 모든 값에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재합니다:

$|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$

다른 한편으로,

${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}$

따라서 φ(α)는 연속 함수입니다.

유사하게 만약 ${\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )$가 존재하고 연속이면, 모든 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재합니다:

$\forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$

그러므로,

${\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,$

여기서

$|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).$

이제, Δα → 0일 때, ε → 0이므로,

$\lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$

이것은 우리가 증명하기 위해 설정한 공식입니다.

이제, 다음을 가정합니다:

$\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),$

여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 증분 Δa와 Δb을 취하는 α의 함수입니다. 그런-다음,

${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$

평균 값 정리(mean value theorem)의 형식, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$은, 여기서 a < ξ < b, 다음을 초래하는 위의 Δφ에 대한 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용될 수 있습니다:

$\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$

Δα로 나누고, Δα → 0를 놓고, ξ₁ → a와 ξ₂ → b를 알고 있고 다음에 대한 위의 도함수를 사용하면:

${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx$

다음을 산출합니다:

${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$

이것은 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형식입니다.

Examples

Example 1: Fixed limits

다음 함수를 생각해 보십시오:

$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.$

적분 기호 아래에서 그 함수는 점 (x, α) = (0, 0)에서 연속이 아니고, 함수 φ(α)는 α = 0에서 불연속성을 가지는데 왜냐하면 α → 0^±일 때 φ(α)는 ±π/2로 접근하기 때문입니다.

만약 우리가 적분 기호 아래에서 α에 관해 φ(α)를 미분하면, 우리는 다음을 얻습니다:

${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},$

이 결과는, 물론, α = 0을 제외하고 α의 모든 값에 대해 참입니다. 이것은 다음을 찾기 위해 (α에 관해) 적분될 수 있습니다:

$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}$

Example 2: Variable limits

변수 극한을 갖는 예제:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}$

Applications

Evaluating definite integrals

다음 공식은

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$

특정 한정 적분을 평가할 때 사용할 수 있는 것입니다. 이 맥락에서 사용될 때, 적분 기호 아래에서 미분하기 위한 라이프니츠 적분 규칙은 적분을 위한 파인만의 트릭이라고도 알려져 있습니다.

Example 4

$\mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.$

먼저 우리는 다음을 계산합니다:

${\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}$

적분화의 극한은 $a$와 독립적이며, 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx$

다른 한편으로:

${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$

이들 두 관계를 같게 하면 다음을 산출합니다:

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$

유사한 방식에서, ${\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial b}}$를 추가하면 다음을 산출합니다:

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.$

두 결과를 더하면 그런-다음 다음을 생산합니다:

$\mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),$

이것은 원했던 것처럼 $\mathbf {I}$을 계산합니다.

이 도함수는 일반화될 수 있습니다. 만약 우리가 다음을 가정하면:

$\mathbf {I} _{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,$

그것은 다음임을 쉽게 보일 수 있음을 주목하십시오:

$(1-n)\mathbf {I} _{n}={\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial b}}$

$\mathbf {I} _{1}$가 주어지면, 이 적분 축소 공식은 $n>1$에 대해 $\mathbf {I} _{n}$의 값의 모두를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. $\mathbf {I}$와 $\mathbf {J}$ 같은 적분은 역시 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)을 사용하여 처리될 수 있습니다.

Example 5

여기서, 우리는 다음 적분을 고려해 봅니다:

$\mathbf {I} (\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .$

적분 기호 아래에서 $\alpha$에 관한 미분하면, 우리는 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\mathbf {I} (\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}$

그러므로:

$\mathbf {I} (\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$

그러나 정의에 의해 ${\textstyle \mathbf {I} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$이므로 ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$이고 다음입니다:

$\mathbf {I} (\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$

Example 6

여기서, 우리는 다음 적분을 고려해 봅니다:

$\int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .$

우리는 새로운 변수 φ를 도입하고 다음으로 적분을 다시 씁니다:

$f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .$

φ = 1일 때, 이것은 원래 적분과 같습니다. 어쨌든, 이러한 더 일반적인 적분은 $\varphi$에 관해 적분될 수 있습니다:

${\begin{aligned}{\frac {df}{d\varphi }}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta .\end{aligned}}$

이제, φ를 고정하고, 다음에 의해 정의된 $\mathbf {R} ^{2}$ 위의 벡터 필드를 고려해 봅니다:

$\mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))$.

나아가서, $\mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )$가 되도록, $\mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbf {R} ^{2}$, $\mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )$에 의해 제공된 단위 원(unit circle) $S^{1}$의 양의 방향화된(positive oriented) 매개변수화를 선택합니다. 그런-다음, 위의 마지막 적분은 정확하게 $S^{1}$에 걸쳐 $\mathbf {F}$의 다음 곡선 적분입니다: $${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }(e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta ),e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta ))\cdot (-\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint \limits _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint \limits _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}$$

그린의 정리(Green's Theorem)에 의해, 이것은 이중 적분과 같습니다:

$\iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,$

여기서 $D$는 선택된 단위 디스크(unit disc)입니다. 그것의 피적분은 0과 동일하므로, $df/d\varphi$는 마찬가지로 똑같이 영입니다. 이것은 f(φ)가 상수임을 의미합니다. 그 상수는 $\varphi =0$에서 $f$를 평가함으로써 결정될 수 있습니다:

$f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .$

그러므로, 원래 적분은 역시 $2\pi$와 같습니다.

Other problems to solve

적분 기호 아래에서 미분의 기법을 사용하여 풀릴 수 있는 수많은 다른 적분이 있습니다. 예를 들어, 다음 각각의 경우에서, 원래 적분은 새로운 매개변수 $\alpha$를 가지는 유사한 적분으로 대체될 수 있습니다:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}$

첫 번째 적분, 디리클레 적분(Dirichlet integral)은 양의 α에 대해 절대적으로 수렴하지만 오직 $\alpha =0$일 때 조건적으로 수렴합니다. 그러므로, 적분 기호 아래에서 미분은 $\alpha >0$일 때 쉽게 정당화할 수 있지만, 결과 공식은 $\alpha =0$이 일부 신중한 작업을 요구할 때 유효하게 남음을 증명합니다.

Infinite series

적분 기호 아래에서 미분의 측정-이론적 버전은 합을 세는 측정(counting measure)으로 해석함으로써 합 (유한 또는 무한)에 적용됩니다. 적용의 예제는 거듭제곱 급수가 수렴의 반지름에서 미분-가능이라는 사실입니다.

In popular culture

적분 기호 아래에서 미분은 물리학자(physicist) 리처드 파인만(Richard Feynman)의 베스트-셀러 회고록 Surely You're Joking, Mr. Feynman!에 "A Different Box of Tools" 장에 언급되어 있습니다. 그는 고등학교 재학 중에 Frederick S. Woods (Massachusetts Institute of Technology의 수학 교수)에 의한 Advanced Calculus (1926)라는 오래된 텍스트에서 배운 것을 설명합니다. 이 기법은 파인만이 나중에 미적분학(calculus)에서 정식 교육을 받았을 때 종종 가르쳐지지 않았지만, 이 기법을 사용하여, 파인만은 프린스턴 대학(Princeton University)의 대학원에 이르렀을 때 어려운 적분 문제를 해결할 수 있었습니다:

내가 한 번도 배운 적이 없는 것은 윤곽 적분(contour integration)이었습니다. 나는 고등학교 물리 선생님 Mr. Bader가 나에게 준 책에 나와 있는 다양한 방법으로 적분을 하는 법을 배웠습니다. 어느 날 그는 나에게 수업 후에 남으라고 말했습니다. "파인만," 그가 말했습니다, "당신은 말을 너무 많이 하고 시끄럽게 떠듭니다. 나는 이유를 압니다. 당신이 지루해합니다. 그래서 내가 당신에게 책을 줄 것입니다. 당신은 뒤쪽, 구석으로 올라가서, 이 책을 공부하고, 이 책에 있는 모든 것을 알게 될 때, 다시 말할 수 있습니다." 그래서 모든 물리학 수업에서, 나는 파스칼의 법칙에 대해 무슨 일이 일어나고 있는지, 그들이 무엇을 하고 있는지에 대해 전혀 관심을 기울이지 않았습니다. 나는 Woods에 의한 "Advanced Calculus"라는 책을 가지고 뒷자리에 있었습니다. Bader는 내가 "Calculus for the Practical Man"을 조금 공부했다는 것을 알고 있었고, 그래서 그는 나에게 실제 작업을 주었습니다–그것은 대학의 2학년 또는 3학년 과정을 위한 것이었습니다. 그것은 푸리에 급수(Fourier series), 베셀 함수(Bessel function), 행렬식(determinant), 타원 함수(elliptic function)–내가 전혀 몰랐던 모든 종류의 멋진 것들을 가지고 있었습니다. 그 책은 역시 적분 기호 아래에서 매개변수를 미분하는 방법을 보여주었습니다–그것은 특정 연산입니다. 그것은 대학에서 많이 가르치지 않는 것으로 밝혀졌습니다; 그들은 그것을 강조하지 않습니다. 그러나 그 방법을 어떻게 사용하는지 알게 되었고, 그 빌어먹을 도구를 계속해서 사용했습니다. 그래서 나는 그 책을 사용하여 독학했기 때문에, 나는 적분을 하는 독특한 방법을 가지고 있었습니다. 그 결과로, MIT 또는 프린스턴의 사람들이 특정 적분을 수행하는 데 어려움을 겪을 때, 그들이 학교에서 배운 표준 방법으로는 그것을 수행할 수 없었기 때문입니다. 만약 그것이 윤곽 적분이었다면, 그들은 그것을 찾았을 것입니다; 만약 그것이 단순한 급수 확장이었다면, 그들은 그것을 찾았을 것입니다. 그런 다음 나는 뒤이어 적분 기호 아래에서 미분을 시도하고, 종종 효과가 있었습니다. 그래서 나는 적분을 잘하는 것으로 큰 평판을 얻었는데, 오직 제 도구 상자가 다른 사람들과 다르고, 문제를 나에게 알려주기 전에 그들이 그것에 그들의 모든 도구를 사용해 보았기 때문입니다.

See also

• Chain rule
• Differentiation of integrals
• Leibniz rule (generalized product rule)
• Reynolds transport theorem, a generalization of Leibniz rule

Further reading

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Single Integrals: Leibnitz's Rule; Numerical Integration". Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences. New York: Wiley. pp. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integrals Depending on a Parameter—Leibnitz's Rule". Advanced Calculus (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 285–288.

External links

• Harron, Rob. "The Leibniz Rule" (PDF).