Dirichlet's test

수학(mathematics)에서, 디리클레의 테스트(Dirichlet's test)는 급수(series)의 수렴(convergence)에 대해 테스트의 방법입니다. 그것은 저자 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)의 이름을 따서 지어졌고, 1862년에서 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées에 사후에 출판되었습니다.^[1]

Statement

테스트는 만약 $\{a_{n}\}$ 이 실수(real number)의 수열(sequence)이고 $\{b_{n}\}$ 가 다음을 만족시키는 복소수(complex number)의 수열이면

$a_{n+1}\leq a_{n}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

모든 각 양의 정수 N에 대해, $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$

여기서 M은 어떤 상수이며, 급수

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}

는 수렴함을 말합니다.

Proof

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$ 및 $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ 으로 놓습니다.

부분에 의한 합(summation by parts)으로부터, 우리는 $S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ 임을 가집니다.

$B_{n}$ 이 M에 의해 경계지고 $a_{n}\rightarrow 0$ 이므로, 이들 항의 첫 번째는 영으로 접근하며, $n\to \infty$ 일 때 $a_{n}B_{n}\to 0$ 입니다.

다른 한편으로, 수열 $a_{n}$ 가 감소하는 것이므로, $a_{k}-a_{k+1}$ 는 모든 k에 대해 비-음수이므로, $|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})$ 입니다. 즉, $B_{n}$ 의 부분 합의 크기, 곱하기 인수는 부분 합 $B_{n}$ 의 위쪽 경계 (값 M) 곱하기 해당 같은 인수보다 작습니다.

그러나, $\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})$ 이며, 이것은 $M(a_{1}-a_{n+1})$ 와 같은 망원 합(telescoping sum)이고, 그러므로 $n\to \infty$ 일 때 $Ma_{1}$ 로 접근합니다. 따라서, $\sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})$ 는 수렴합니다.

차례로, $\sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|$ 는 직접 비교 테스트(direct comparison test)에 의해 마찬가지로 수렴합니다. 급수 $\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ 는 절대 수렴(absolute convergence) 테스트에 의해, 마찬가지로, 발산합니다. 따라서 $S_{n}$ 은 수렴합니다.

Applications

디리클레의 테스트의 특정 경우는 다음 경우에 대해 보다 공통적으로 사용된 교대하는 급수 테스트(alternating series test)입니다:

b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.

또 다른 따름정리는 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n$ 는 $\{a_{n}\}$ 가 영으로 경향이 있는 감소하는 수열일 때마다 수렴한다는 것입니다.

Improper integrals

부적절한 적분의 수렴에 대해 유사한 명제는 부분에 의한 적분화를 사용하여 입증됩니다. 만약 함수 f의 적분이 모든 구간에 걸쳐 균등하게 경계지고, g가 단조적으로 감소하는 비-음의 함수이면, fg의 적분은 수렴하는 부적절한 적분입니다.

Notes

^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253–255 Archived 2011-07-21 at the Wayback Machine.

References

Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X.

External links

Proof at PlanetMath.org

[1] Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253–255 Archived 2011-07-21 at the Wayback Machine.

[1]