Abel's test

수학(mathematics)에서 아벨의 테스트(Abel's test, 아벨의 기준(Abel's criterion)으로 역시 알려짐)는 무한 급수(infinite series)의 수렴(convergence)에 대해 테스트하는 방법입니다. 그 테스트는 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 지어졌습니다. 아벨의 테스트의 두 개의 약간 다른 버전이 있습니다 – 하나는 실수의 급수와 함께 사용되고, 다른 하나는 복소 해석학(complex analysis)에서 거듭제곱 급수(power series)와 함께 사용됩니다. 아벨의 균등 수렴 테스트(Abel's uniform convergence test)는 매개변수(parameters)에 따라 함수(functions)의 급수(series)의 균등 수렴(uniform convergence)에 대해 기준입니다.

Abel's test in real analysis

다음 명제가 참임을 가정합니다:

$\sum a_{n}$ 은 수렴 급수,
{b_n}은 단조 수열이고,
{b_n}는 경계집니다.

그런-다음 $\sum a_{n}b_{n}$ 은 역시 수렴합니다.

이 테스트는 주로 절대적으로 수렴하는 것이 아닌 급수 $\sum a_{n}$ 의 맥락에서 적절하고 유용한 것임을 이해하는 것이 중요합니다. 절대적으로 수렴하는 급수에 대해, 이 정리, 그럼에도 불구하고 참은 거의 자기 자명입니다.

이 정리는 부분에 의한 합(summation by parts)을 사용하여 직접 입증될 수 있습니다.

Abel's test in complex analysis

아벨의 테스트(Abel's test)로 역시 알려진, 밀접하게 관련된 수렴 테스트는 그의 수렴의 원(circle of convergence)의 경계에 대한 거듭제곱 급수(power series)의 수렴을 수립하기 위해 사용될 수 있습니다. 구체적으로, 아벨의 테스트는 만약 양의 실수 $(a_{n})$ 의 수열이 다음과 함께 단조적으로 감소하면 (또는 적어도 어떤 자연수 m보다 더 큰 모든 n에 대해, 우리가 $a_{n}\geq a_{n+1}$ 을 가지면)

\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0

거듭제곱 급수

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

는 z = 1일 때를 제외한 닫힌 단위 원(unit circle)의 모든 곳에서 수렴합니다. 아벨의 테스트는 z = 1일 때 절대 적용하지 않으므로, 해당 단일 점에서 수렴은 개별적으로 조사되어야 합니다. 아벨의 테스트는 특히 수렴의 반지름이 적어도 1임을 의미하는 것에 주목하십시오. 역시 변수 ζ = z/R의 간단한 변경에 의해 수렴의 반지름 R ≠ 1을 갖는 거듭제곱 급수에 적용할 수 있습니다. 아벨의 테스트는 z = −1을 취함으로써 라이프니츠 기준(Leibniz Criterion)의 일반화임을 주목하십시오.

아벨의 테스트의 증명: z가 단위 원 위의 점, z ≠ 1임을 가정합니다. 각 $n\geq 1$ 에 대해, 우리는 다음을 정의합니다:

f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

이 함수에 (1 − z)를 곱함으로써, 우리는 다음을 획득합니다:

{\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}

첫 번째 더해지는-숫자는 상수, 두 번째는 영에 균등하게 수렴합니다 (왜냐하면 가정에 의해 수열 $(a_{n})$ 은 영으로 수렴하기 때문입니다). 이제 급수가 수렴하는 것임을 보이는 것이 오직 남았습니다. 우리는 그것이 절대적으로 수렴하는 것임을 보임으로써 이것을 보일 것입니다:

\sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})

여기서 마지막 합은 수렴하는 망원 합입니다. 절댓값은 사라지는데 왜냐하면 수열 $(a_{n})$ 은 가정에 의해 감소하는 것이기 때문입니다.

따라서, 수열 $(1-z)f_{n}(z)$ 은 닫힌 단위 디스크에서 (심지어 균등하게) 수렴합니다. 만약 $z\not =1$ 이면, 우리는 (1 − z)로 나눌 것이고 그 결과를 얻습니다.

Abel's uniform convergence test

아벨의 균등 수렴 테스트는 함수의 급수의 균등 수렴(uniform convergence) 또는 매개-변수(parameters)에 의존하는 함수의 부적절한 적분화(improper integration)에 대해 기준입니다. 그것은 실수의 보통 급수의 수렴에 대해 아벨의 테스트와 관련되고, 증명은 부분에 의한 합(summation by parts)의 같은 기법에 의존합니다.

테스트는 다음입니다. {g_n}를 모든 x ∈ E 및 양의 정수 n에 대해 g_n+1(x) ≤ g_n(x)를 만족하는 집합 E 위에 실수-값 연속 함수(continuous function)의 균등하게 경계진(uniformly bounded) 수열로 놓고, {f_n}를 급수 Σf_n(x)이 E 위에 균등하게 수렴하는 것을 만족하는 실수-값 함수의 수열로 놓습니다. 그런-다음 Σf_n(x)g_n(x)은 E 위에 균등하게 수렴합니다.

Notes

References

Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
Weisstein, Eric W. "Abel's uniform convergence test". MathWorld.

External links

Proof (for real series) at PlanetMath.org