Disc integration

Original article: w:Disc integration

적분 미적분학(integral calculus)에서 디스크 방법(disc method)으로 역시 알려진, 디스크 적분화(disc integration)는 회전의 축(axis of revolution)에 대한 축 "평행"을 따라 적분할 때 고체 물질의 회전 고체(solid of revolution)의 부피(volume)를 계산하는 것에 대해 방법입니다. 이 방법은 결과 삼-차원 모양을 다양한 반지름과 무한소 두께의 디스크의 무한 숫자의 스택으로 모델링합니다. 구멍 회전 고체를 얻기 위해 디스크 대신 링 ("세탁기 방법(washer method)")과 함께 같은 원리를 역시 사용할 수 있습니다. 이것은 회전축에 수직(perpendicular) 축을 따라 통합하는 쉘 적분화(shell integration)와 대조적입니다.

Definition

Function of x

만약 회전하려는 함수가 x의 함수이면, 다음 적분은 회전 고체의 부피를 나타냅니다:

$\pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx$

여기서 R(x)는 함수와 회전의 축(axis of rotation) 사이의 거리입니다. 이것은 만약 회전의 축이 수평 (예제: y = 3 또는 어떤 다른 상수)이면 오직 작동합니다.

Function of y

만약 회전하려는 함수가 y의 함수이면, 다음 적분은 회전 고체의 부피를 얻을 것입니다:

$\pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy$

여기서 R(y)는 함수와 회전의 축 사이의 거리입니다. 이것은 만약 회전의 축(axis of rotation)이 수직 (예제: x = 4 또는 어떤 다른 상수)이면 오직 작동합니다.

Washer method

구멍 회전 고체 ("세탁기 방법")를 얻기 위해, 절차는 내부 회전 고체의 부피를 취하고 외부 회전 고체의 부피로부터 빼는 것입니다. 이것은 다음과 비슷한 단일 적분으로 계산될 수 있습니다:

$\pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx$

여기서 R_O(x)는 회전의 축으로부터 가장-먼 함수이고 R_I(x)는 회전의 축으로부터 가장-가까운 함수입니다. 예를 들어, 가까운 그림은 제곱근과 이차 곡선 사이를 에워싸는 빨간색 "잎"의 x-축을 따라 회전을 보입니다:

Rotation about x-axis

이 고체의 부피는 다음입니다:

$\pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.$

우리는 두 함수의 차이의 제곱을 평가하지 않지만, 두 함수의 제곱의 차이를 평가하는 것에 주의를 기울어야 합니다.

$R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}$

(이 공식은 x-축에 대한 회전에 대해 오직 작동합니다.)

임의의 수평 축에 대한 회전하기 위해, 각 공식에서 해당 축으로부터 단순히 빼십시오. 만약 h가 수평 축의 값이면, 부피는 다음과 같습니다:

$\pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.$

예를 들어, 축 y = 4를 따라 y = −2x + x² 및 y = x 사이의 영역을 회전하기 위해, 우리는 다음으로 적분할 수 있습니다:

$\pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.$

적분화의 경계는 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺀 것의 영입니다. x 이외의 축을 따라 적분할 때, 회전의 축으로부터 가장-먼 함수의 그래프가 그다지 명확하지 않을 수 있음을 주목하십시오. 앞의 예제에서, 비록 x-축에 관한 y = x의 그래프가, 회전의 축에 관한 y = −2x + x²의 그래프보다 더 위쪽에 있을지라도, 함수 y = x는 내부 함수입니다: 그의 그래프는 y = 4 또는 예제에서 회전의 축의 방정식에 더 가깝습니다.

같은 아이디어는 y-축과 임의의 다른 수직 축 둘 다에 적용될 수 있습니다. 우리는 그들을 적분화 공식으로 삽입하기 전에 x에 대해 각 방정식을 간단히 풀어야 합니다.

See also

• Solid of revolution
• Shell integration