Euler substitution

오일러 치환(Euler substitution)은 다음 형식의 적분을 평가하기 위한 방법입니다:

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,

여기서 $R$ 은 $x$ 와 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 의 유리 함수입니다. 그러한 경우에서, 피적분은 오일러의 치환을 사용함으로써 유리 함수로 변경될 수 있습니다.^[1]

Euler's first substitution

오일러의 첫 번째 치환은 $a>0$ 일 때 사용됩니다. 우리는 다음을 치환합니다:

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t

그리고 $x$ 에 대해 결과 표현을 풉니다. 우리는 $x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}$ 임과 $dx$ 항이 $t$ 에서 유리적으로 표현될 수 있음을 가집니다.

이 치환에서, 양의 부호 또는 음의 부호는 선택될 수 있습니다.

Euler's second substitution

만약 $c>0$ 이면, 우리는 다음을 취합니다:

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.

우리는 위에서 처럼 유사하게 $x$ 에 대해 풀고 $x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}$ 을 구합니다.

다시, 양 또는 음의 부호는 선택될 수 있습니다.

Euler's third substitution

만약 다항식 $ax^{2}+bx+c$ 이 실수 근 $\alpha$ 와 $\beta$ 를 가지면, 우리는 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t$ 을 선택할 수 있습니다. 이것은 $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}$ 를 산출하고 이전 경우에서 처럼, 우리는 $t$ 에서 유리적으로 전체 피적분을 표현할 수 있습니다.

Worked examples

Examples for Euler's first substitution

One

적분 $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ 에서, 우리는 첫 번째 치환을 사용하고 ${\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t$ 를 설정할 수 있고, 따라서

x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt

{\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}

그에 따라서, 우리는 다음을 얻습니다:

\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C

경우 $c=\pm 1$ 는 다음 공식을 제공합니다:

{\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}

Two

다음의 값을 찾기 위해

\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,

우리는 오일러의 첫 번째 치환, ${\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t$ 을 사용하여 $t$ 를 찾습니다. 방정식의 양쪽 변을 제곱하면 $x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}$ 을 제공하며, 이것으로부터 $x^{2}$ 항은 취소될 것입니다. $x$ 에 대해 풀면 다음을 산출합니다:

x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.

거기에서, 우리는 미분 $dx$ 와 $dt$ 가 다음에 의해 관련됨을 찾습니다:

dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.

따라서,

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}

Examples for Euler's second substitution

다음 적분에서

\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},

우리는 두 번째 치환을 사용하고 ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}$ 를 정할 수 있습니다. 따라서

x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,

및

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}

그에 따라서, 우리는 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}

Examples for Euler's third substitution

다음을 평가하기 위해

\int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,

우리는 세 번째 치환을 사용하고 ${\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t$ 를 정할 수 있습니다. 따라서

x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,

및

{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}

다음으로,

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.

우리가 볼 수 있듯이, 이것은 부분 분수를 사용하여 풀 수 있는 유리 함수입니다.

Generalizations

오일러의 치환은 허수의 사용을 허용함으로써 일반화될 수 있습니다. 예를 들어, 적분 $\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}$ 에서, 치환 ${\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t$ 이 사용될 수 있습니다. 복소수로의 확장은 이차에 대한 계수에 관계없이 오일러 치환의 모든 각 유형을 사용하는 것을 허용합니다.

오일러의 치환은 함수의 더 큰 클래스로 일반화될 수 있습니다. 다음 형식의 적분을 생각해 보십시오:

\int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,

여기서 $R_{1}$ 과 $R_{2}$ 는 $x$ 와 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 의 유리 함수입니다. 이 적분은 치환 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt$ 에 의해 또 다른 적분으로 변환될 수 있습니다:

\int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,

여기서 ${\tilde {R}}_{1}(t)$ 와 ${\tilde {R}}_{2}(t)$ 는 이제 $t$ 의 간단한 유리 함수입니다. 원칙적으로, 인수분해(factorization)와 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)가 적분을 더 간단한 항으로 나뉘기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 이중로그(dilogarithm) 함수의 사용을 통해 해석적으로 적분될 수 있습니다.^[2]

References

^ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
^ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145–146. ISBN 978-0867202939.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

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[1] N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.

[2] Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145–146. ISBN 978-0867202939.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[1]

[2]