미적분학(calculus) 에서, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz) 의 이름을 따서 지은, 일반적인 라이프니츠 규칙 (general Leibniz rule )은 곱 규칙(product rule) 을 일반화합니다 (이것은 "라이프니츠의 규칙"으로 역시 알려져 있습니다).[1]
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
n
{\displaystyle n}
미분-가능한 함수 이면, 곱
f
g
{\displaystyle fg}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
,
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}
여기서
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}
이항 계수(binomial coefficient) 이고
f
(
0
)
≡
f
{\displaystyle f^{(0)}\equiv f}
이것은 곱 규칙 및 수학적 귀납법(mathematical induction) 을 사용함으로써 입증될 수 있습니다.
Second derivative 만약, 예를 들어, n = 2
(
f
g
)
″
(
x
)
=
∑
k
=
0
2
(
2
k
)
f
(
2
−
k
)
(
x
)
g
(
k
)
(
x
)
=
f
″
(
x
)
g
(
x
)
+
2
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
″
(
x
)
.
{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}
More than two factors 공식은 m f 1 ,...,f m
(
f
1
f
2
⋯
f
m
)
(
n
)
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
∏
1
≤
t
≤
m
f
t
(
k
t
)
,
{\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}
여기서 합은
∑
t
=
1
m
k
t
=
n
{\displaystyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n}
m (k 1 ,...,k m 에 걸쳐 확대하고,
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
은 다항 계수(multinomial coefficient) 입니다. 이것은 대수학으로부터 다항 공식(multinomial formula) 과 유사합니다.
Proof 일반적인 라이프니츠 규칙의 증명은 귀납법에 의해 진행됩니다.
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
n
{\displaystyle n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
,
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}
이것은 보통 곱 규칙이고 참인 것으로 알려져 있습니다. 다음으로, 명제가 고정된
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
.
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}
그런-다음, 다음입니다:
(
f
g
)
(
n
+
1
)
=
[
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
]
′
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
1
n
+
1
(
n
k
−
1
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
=
(
n
0
)
f
(
n
+
1
)
g
+
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
∑
k
=
1
n
(
n
k
−
1
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
(
n
n
)
f
g
(
n
+
1
)
=
f
(
n
+
1
)
g
+
(
∑
k
=
1
n
[
(
n
k
−
1
)
+
(
n
k
)
]
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
)
+
f
g
(
n
+
1
)
=
f
(
n
+
1
)
g
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
+
f
g
(
n
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
f
(
n
+
1
−
k
)
g
(
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}
그래서 명제는
n
+
1
{\displaystyle n+1}
Multivariable calculus 여러 변수의 함수의 부분 도함수(partial derivative) 에 대해 다중-인덱스(multi-index) 표기법과 함께, 라이프니츠 규칙은 보다 일반적으로 다음으로 말합니다:
∂
α
(
f
g
)
=
∑
β
:
β
≤
α
(
α
β
)
(
∂
β
f
)
(
∂
α
−
β
g
)
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}
이 공식은 미분 연산자의 합성의 기호(symbol) 를 계산하는 공식을 유도하기 위해서 사용될 수 있습니다. 사실, P 와 Q 를 (충분히 많은 횟수의 미분-가능한 계수를 갖는) 미분 연산자로 놓고
R
=
P
∘
Q
{\displaystyle R=P\circ Q}
R 이 역시 미분 연산자이므로, R 의 기호는 다음에 의해 제공됩니다:
R
(
x
,
ξ
)
=
e
−
⟨
x
,
ξ
⟩
R
(
e
⟨
x
,
ξ
⟩
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}
직접 계산은 이제 다음을 제공합니다:
R
(
x
,
ξ
)
=
∑
α
1
α
!
(
∂
∂
ξ
)
α
P
(
x
,
ξ
)
(
∂
∂
x
)
α
Q
(
x
,
ξ
)
.
{\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}
이 공식은 라이프니츠 공식으로 보통 알려져 있습니다. 그것은 기호의 공간에서 합성을 정의하기 위해 사용되고, 그것에 의하여 링 구조를 유도합니다.
See also References
![{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c5c929b300bfa433af2e1cc52ad37ede6e2da4)
