Integral of the secant function

Original article: w:Integral of the secant function

미적분학에서, 시컨트 함수의 적분은 다양한 방법을 사용하여 평가될 수 있고 역도함수를 표현하는 여러 방법이 있으며, 이것들 모두는 삼각 항등식(trigonometric identities)을 통해 동등하게 됨을 나타낼 수 있습니다:

$\int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\end{cases}}$

이 공식은 다양한 삼각 적분을 평가하는 데 유용합니다. 특히, 비록 특별해 보일지라도, 응용 분야에서 자주 등장하는 시컨트 세제곱의 적분(integral of the secant cubed)을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다.

Proof that the different antiderivatives are equivalent

Trigonometric forms

$\int \sec \theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}$

이들 중 두 번째는 첫 번째에서 내부 분수의 분자와 분모에 $(1+\sin \theta )$를 곱함으로써 따릅니다. 이것은 분모에서 $1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$를 제공하고 결과는 1/2의 인수를 로그에 제곱근으로 이동함으로써 따릅니다. 적분의 상수를 잠시 빼면,

${\begin{aligned}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|&={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\cdot {\dfrac {1+\sin \theta }{1+\sin \theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{1-\sin ^{2}\theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right|\\[6pt]&={\dfrac {1}{2}}\ln \left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}=\ln {\sqrt {\left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}}}=\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\ln |\sec \theta +\tan \theta |.\end{aligned}}$

세 번째 형식은 $-\cos(\theta +\pi /2)$로 대체하고 $\cos 2x$에 대해 항등식(identities)을 사용하여 전개함으로써 따릅니다. 그것은 역시 다음 치환을 수단으로 직접 얻어질 수 있습니다:

${\begin{aligned}\sec \theta ={\frac {1}{\sin \left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\sin \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}={\frac {\sec ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}{2\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}.\end{aligned}}$

메르카토르 투영(Mercator projection) 올디닛에 대해 전통적인 해는 위도 $\varphi$를 $-{\frac {\pi }{2}}$와 ${\frac {\pi }{2}}$ 사이에 놓이기 때문에 모듈러스 기호없이 쓸 수 있습니다:

$y=\ln \tan \!\left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).$

Hyperbolic forms

다음이라고 놓습니다:

${\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\\sinh \psi &={\frac {1}{2}}(e^{\psi }-e^{-\psi })=\tan \theta ,\\\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=\sec \theta ,\\\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}$

그러므로,

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\psi =\tanh ^{-1}\!\left(\sin \theta \right)=\sinh ^{-1}\!\left(\tan \theta \right)=\cosh ^{-1}\!\left(\sec \theta \right).\end{aligned}}$

History

시컨트 함수의 적분은 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 1668년에 해결된 "17세기 중반의 뛰어난 열린 문제" 중 하나였습니다. 그는 그의 결과를 해상 테이블에 관한 문제에 적용했습니다. 1599년에, 에드워드 라이트(Edward Wright)는 오늘날 우리가 리만 합(Riemann sum)이라고 불리는 수치적 방법(numerical method)에 의해 적분(integral)을 평가했습니다. 그는 지도학(cartography)의 목적에 대해 – 특히 정확한 메르카토르 투영(Mercator projection)을 구축하기 위한 해결책을 원했습니다. 1640년대에, 항해, 측량, 및 기타 수학 주제의 교사, 헨리 본드(Henry Bond)는 라이트의 수치적으로 계산된 시컨트(secant) 적분 값 테이블을 탄젠트 함수의 로그 테이블과 비교하고, 결과적으로 다음임을 추측했습니다:

$\int _{0}^{\theta }\sec \theta '\,d\theta '=\ln \left|\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|.$

이 추측은 널리 알려지게 되었고, 1665년에, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 그것을 인식하고 있었습니다.

Evaluations

By a standard substitution (Gregory's approach)

다양한 참조에서 제시된 시컨트 적분을 평가하는 표준 방법은 분자와 분모에 $\sec \theta +\tan \theta$를 곱하고 그런-다음 결과 표현에 다음: $u=\sec \theta +\tan \theta$와 $du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta$을 치환하는 것과 관련됩니다. 이 치환은 시컨트를 공통 인수로 가지는 함께 더해진 시컨트와 탄젠트의 도함수에서 얻어질 수 있습니다.

다음으로 시작합니다:

${\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,$

그것들을 더하면 다음을 제공합니다:

${\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta =\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).$

합의 도함수는 따라서 합에 $\sec \theta$를 곱한 것과 같습니다. 이것은 분자와 분모에서 $\sec \theta$에 $\sec \theta +\tan \theta$를 곱하고 다음 치환: $u=\sec \theta +\tan \theta$과 $du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta$을 수행하는 것을 활성화합니다.

적분은 주장대로 다음처럼 평가됩니다:

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {(\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta )\,d\theta }{\sec \theta +\tan \theta }}&&u=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}$

이것은 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 발견된 공식입니다.

By partial fractions and a substitution (Barrow's approach)

비록 그레고리가 그의 Exercitationes Geometricae에서 1668년에 추측을 입증했을지라도, 그 증명은 현대 독자들이 거의 이해할 수 없는 형식으로 제시되었습니다; 아이작 배로(Isaac Barrow)는, 1670년에 Geometrical Lectures에서, 최초의 "이해할 수 있는" 증명을 제시했지만, 그마저도 "당시 기하학적 관용구에 갇힌" 것이었습니다. 결과의 배로우의 증명은 적분에서 부분 분수(partial fraction)의 가장 이른 사용이었습니다. 현대 표기법에 맞게 조정된, 배로우의 증명은 다음처럼 시작되었습니다:

$\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{1-\sin ^{2}\theta }}$

$\sin \theta$에 대해 $u$를 치환하면 적분을 다음으로 축소합니다:

${\begin{aligned}\int {\frac {du}{1-u^{2}}}&=\int {\frac {du}{(1+u)(1-u)}}={\dfrac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)\,du\\[10pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|\right)+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}$

그러므로,

$\int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C,$

이것은 기대했던 결과입니다.

By the Weierstrass substitution

Standard

바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)에 대해 그 공식은 다음과 같은 것입니다. $t=\tan(\theta /2)$라고 놓으며, 여기서 $-\pi <\theta <\pi$입니다. 그런-다음

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.$

따라서, 배-각 공식(double angle formula)에 의해,

$\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,$

시컨트 함수의 적분에 대해,

${\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{1-t^{2}}}=\int {\frac {2\,dt}{(1-t)(1+t)}}\\[6pt]&=\int 2\left[{\frac {1}{2(1+t)}}+{\frac {1}{2(1-t)}}\right]dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{t+1}}-{\frac {1}{t-1}}\right)\,dt\\[6pt]&=\ln |t+1|-\ln |t-1|+C=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\cdot {\frac {t+1}{t+1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+2t+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1}{\cos \theta }}+\sin \theta \cdot {\frac {1}{\cos \theta }}\right|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}$

이전과 같은 결과입니다.

Non-standard

그 적분은 역시 2013년에 출판된 이 특정 적분의 경우에서 더 간단한 바이어슈트라스 치환의 약간 비-표준 버전을 사용함으로써 유도될 수 있습니다. 다음과 같습니다:

${\begin{aligned}&x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]&{\frac {2x}{1+x^{2}}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta \\[10pt]&dx={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}(1+x^{2})d\theta \\[10pt]&{\frac {2\,dx}{1+x^{2}}}=d\theta \\[10pt]\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+x^{2}}{2x}}\right)\left({\frac {2}{1+x^{2}}}\right)\,dx=\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}$

By two successive substitutions

그 적분은 역시 피적분을 조작하고 두 번 치환함으로써 해결될 수 있습니다. 정의 $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$를 사용하여, 그 적분은 다음처럼 다시 쓸 수 있습니다:

$\int \sec x\,dx=\int {\frac {1}{\cos x}}dx=\int {\frac {\cos x}{\cos ^{2}x}}\,dx$

항등식 $\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$을 사용하여, 피적분은 다음처럼 쓸 수 있습니다:

$\int {\frac {\cos x}{\cos ^{2}x}}\,dx=\int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}\,dx$

$\sin x$에 대해 $u$를 치환하면 적분을 다음으로 축소됩니다:

$\int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du$

축소된 적분은 $\tanh t$에 대해 $u$를 치환하고 항등식 $1-\tanh ^{2}t=\operatorname {sech} ^{2}t$을 사용함으로써 평가될 수 있습니다.

$\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{1-\tanh ^{2}t}}\,dt=\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{\operatorname {sech} ^{2}t}}\,dt=\int \,dt$

그 적분은 이제 단순 적분으로 축소되고 이전으로-다시-치환하면 다음을 제공합니다:

$\int dt=t+C=\operatorname {artanh} u+C=\operatorname {artanh} (\sin x)+C$

이것은 적분의 쌍곡선 형식 중 하나입니다.

유사한 전략은 코시컨트, 쌍곡 시컨트, 및 쌍곡 코시컨트 함수를 적분하기 위해 사용될 수 있습니다.

Other hyperbolic forms

분자와 분모 둘 다에 편리한 항을 다시 곱함으로써, 다른 2 쌍곡 형식을 직접 찾는 것도 가능합니다:

$\int \sec x\,dx=\int {\frac {\sec ^{2}x}{\sec x}}\,dx=\int {\frac {\sec ^{2}x}{\sqrt {\tan ^{2}x+1}}}\,dx$

$\tan x$에 대해 $u$를 치환하면, $\,du=\sec ^{2}x\,dx$과 함께, 표준 적분으로 축소됩니다:

$\int {\frac {1}{\sqrt {u^{2}+1}}}\,du=\operatorname {arsinh} u+C=\operatorname {arsinh} \left(\tan x\right)+C$

마찬가지로:

$\int \sec x\,dx=\int {\frac {\sec x\tan x}{\tan x}}\,dx=\int {\frac {\sec x\tan x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}\,dx$

$\sec x$에 대해 $u$를 치환하며, $\,du=\sec x\tan x\,dx$과 함께, 표준 적분으로 축소됩니다:

$\int {\frac {1}{\sqrt {u^{2}-1}}}\,du=\operatorname {arcosh} u+C=\operatorname {arcosh} \left(\sec x\right)+C$

Gudermannian and Lambertian

시컨트 함수의 적분은 구데르만 함수(Gudermannian function)의 역인 람베르트 함수를 정의합니다:

$\int \sec \theta \,d\theta =\operatorname {lam} (\theta )=\operatorname {gd} ^{-1}(\theta ).$

이것은 지도 투영의 이론에서 발생합니다: 경도 θ와 위도 φ를 갖는 점의 메르카토르 투영(Mercator projection)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$(x,y)=(\theta ,\operatorname {lam} (\varphi )).$

See also

• Integral of secant cubed
• Gudermannian function