Isometry

수학(mathematics)에서, 등거리-변환(isometry) (또는 합동(congruence), 또는 합동 변환(congruent transformation))은 보통 전단사(bijective)로 가정되는 메트릭 공간(metric spaces) 사이의 거리(distance)-보존하는 변환입니다.^[1]

Introduction

메트릭 공간 (느슨하게 말해서, 집합과 집합의 원소 사이의 거리를 할당하기 위한 체계)이 주어지면, 등거리-변환은 원소를 새 메트릭 공간에서 이미지 원소 사이의 거리가 원래 메트릭 공간에서 원소 사이의 거리와 같음을 만족하는 같은 또는 또 다른 메트릭 공간에 매핑하는 변환(transformation)입니다. 이-차원 또는 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 두 개의 기하학적 도형은 만약 그것들이 등거리-변환에 의해 관련되면 합동(congruent)입니다;^[3] 그들과 관련된 등거리-변환은 강체 운동 (평행이동 또는 회전), 또는 강체 운동과 반사(reflection)의 합성(composition)입니다.

등거리-변환은 종종 한 공간이 또 다른 공간에 삽입된(embedded) 구조에서 사용됩니다. 예를 들어, 메트릭 공간 M의 완비(completion)는 M에서 M', M에 대한 코시 수열(Cauchy sequences) 공간의 몫 집합(quotient set)으로의 등거리-변환을 포함합니다. 원래 공간 M은 따라서 완비 메트릭 공간(complete metric space)의 부분공간으로의 등거리-변환적으로 동형(isomorphic)이고, 그것은 보통 이 부분공간으로 식별됩니다. 다른 삽입 구성은 모든 각 메트릭 공간이 일부 노름 벡터 공간(normed vector space)의 닫힌 부분집합(closed subset)으로 등거리-변환적으로 동형이고 모든 각 완비 메트릭 공간이 일부 바나흐 공간(Banach space)의 닫힌 부분집합으로 등거리-변환적으로 동형임을 보여줍니다.

힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 등거리-변환 전사 선형 연산자는 유니태리 연산자(unitary operator)라고 불립니다.

Definition

$X$ 와 $Y$ 를 메트릭 (예를 들어, 거라) $d_{X}$ 와 $d_{Y}$ 를 갖는 메트릭 공간(metric spaces)으로 놓습니다. 맵(map) $f:X\to Y$ 는 만약 임의의 $a,b\in X$ 에 대해 다음을 가지면 등거리-변환(isometry) 또는 거리 보존하는(distance preserving) 것이라고 불립니다:

d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).

^[4]

등거리-변환은 자동적으로 단사(injective)입니다;^[1] 그렇지 않으면 두 개의 구별되는 점, $a$ 와 $b$ 가 같은 점에 매핑될 수 있으므로, 메트릭 $d$ 의 일치 공리와 모순됩니다. 이 증명은 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets) 사이의 순서 삽입(order embedding)이 단사라는 증명과 유사합니다. 분명히, 메트릭 공간 사이의 모든 각 등거리-변환은 토폴로지적 삽입입니다.

전역 등거리-변환(global isometry), 등거리-변환적 동형(isometric isomorphism) 또는 합동 매핑(congruence mapping)은 전단사(bijective) 등거리-변환입니다. 임의의 다른 전단사와 마찬가지로, 전역 등거리-변환은 역함수(function inverse)를 가집니다. 전역 등거리-변환의 역은 역시 전역 등거리-변환입니다.

두 개의 메트릭 공간 $X$ 와 $Y$ 는 만약 $X$ 에서 $Y$ 로의 전단사 등거리-변환이 있으면 등거리-변환적(isometric)이라고 불립니다. 메트릭 공간에서 자체로의 전단사 등거리-변환의 집합(set)은 등거리-변환 그룹(isometry group)이라고 하는 함수 합성(function composition)과 관련하여 그룹(group)을 형성합니다.

경로 등거리-변환(path isometry) 또는 호-별 등거리-변환(arcwise isometry)의 약한 개념도 있습니다:

경로 등거리-변환(path isometry) 또는 호-별 등거리-변환(arcwise isometry)은 곡선의 길이(lengths of curves)를 보존하는 맵입니다; 그러한 맵은 거리를 보존한다는 의미에서 반드시 등거리-변환일 필요는 없고, 반드시 전단사 또는 심지어 단사일 필요도 없습니다. 이 용어는 종종 단순히 등거리-변환(isometry)으로 요약되므로, 우리는 문맥에서 어떤 유형이 의도되었는지 결정하는 데 주의를 기울여야 합니다.

Examples

임의의 반사(reflection), 평행이동(translation), 및 회전(rotation)은 유클리드 공간(Euclidean spaces) 위에 전역 등거리-변환입니다. 역시 유클리드 그룹(Euclidean group)과 Euclidean space § Isometries을 참조하십시오.
${\mathbb {R} }$ 에서 맵 $x\mapsto |x|$ 은 경로 등거리-변환이지만 등거리-변환은 아닙니다. 등거리-변환과 달리, 그것은 단사가 아님을 주목하십시오.

Isometries between normed spaces

다음 정리는 마주르(Mazur)와 울람(Ulam)에 기인입니다.

Definition:^[5] 벡터 공간에서 두 원소

x

와

y

의 중간점(midpoint)은 벡터

1 / 2 (x + y)

입니다.

Theorem^[5]^[6] — $A:X\to Y$ 를 0을 0으로 매핑하는 노름 공간(normed space) 사이의 전사 등거리-변환으로 놓습니다 (스테판 바나흐(Stefan Banach)는 그러한 맵을 rotations라고 불렀습니다). 여기서 $A$ 는 선형 등거리-변환으로 가정되지 않음을 주목하십시오. 그런-다음 $A$ 는 중간점을 중간점으로 매핑하고 실수 $\mathbb {R}$ 에 걸친 맵으로 선형입니다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 복소 벡터 공간이면 $A$ 는 $\mathbb {C}$ 에 걸친 맵으로 선형임에 실패할 수 있습니다.

Linear isometry

두 개의 노름 벡터 공간(normed vector spaces) $V$ 와 $W$ 가 주어지면, 선형 등거리-변환(linear isometry)은 모든 $v\in V$ 에 대해 노름을 보존하는 선형 맵(linear map) $A:V\to W$ 입니다:^[7]

\|Av\|=\|v\|

선형 등거리-변환은 위의 의미에서 거리-보존하는 맵입니다. 그것들은 전역 등거리-변환인 것과 그것들이 전사(surjective)인 것은 필요충분 조건입니다.

안의 곱 공간(inner product space)에서, 위의 정의는 모든 $v\in V$ 에 대해 다음으로 줄어듭니다:

\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle

이는 $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}$ 라고 말하는 것과 동등합니다. 이것은 역시 등거리-변환이 다음처럼 안의 곱을 보존함을 의미합니다:

\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .

선형 등거리-변환은 비록 그것들이 추가적으로 $V=W$ 와 $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ 임을 요구할지라도, 항상 유니태리 연산자(unitary operators)가 아닙니다.

마주르-울람 정리(Mazur–Ulam theorem)에 의해, $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 노름 벡터 공간의 임의의 등거리-변환은 아핀(affine)입니다.

Examples

$\mathbb {C} ^{n}$ 에서 자체로의 선형 맵(linear map)은 (점 곱(dot product)에 대해) 등거리-변환인 것과 그것의 행렬이 유니태리(unitary)인 것은 필요충분 조건입니다.^[8]^[9]^[10]^[11]

Manifold

매니폴드(manifold)의 등거리변환은 해당 매니폴드를 그 자체로 또는 점 사이의 거리의 개념을 보존하는 또 다른 다양체로의 임의의 (매끄러운) 매핑입니다. 등거리-변환의 정의는 매니폴드 위에 메트릭(metric)의 개념을 요구합니다; (양의-한정) 메트릭을 갖는 매니폴드는 리만 매니폴드(Riemannian manifold)이고, 부정 메트릭을 갖는 매니폴드는 유사-리만 매니폴드(pseudo-Riemannian manifold)입니다. 따라서, 등거리-변환은 리만 기하학(Riemannian geometry)에서 연구됩니다.

하나의 (유사-)리만 매니폴드에서 또 다른 것으로의 지역 등거리-변환(local isometry)은 두 번째 매니폴드 위에 메트릭 텐서(metric tensor)를 첫 번째 위에 메트릭 텐서로 당기는(pulls back) 맵입니다. 그러한 맵이 역시 미분-동형(diffeomorphism)일 때, 그러한 맵은 등거리-변환(isometry) (또는 등거리-변환적 동형(isometric isomorphism))이라고 불리고, 리만 매니폴드의 카테고리 Rm에서 동형(isomorphism) ("동일성(sameness)")의 개념을 제공합니다.

Definition

$R=(M,g)$ 와 $R'=(M',g')$ 를 두 개의 (유사-)리만 매니폴드로 놓고, $f:R\to R'$ 를 미분-동형으로 놓습니다. 그런-다음 $f$ 는 다음이면 등거리-변환(isometry) (또는 등거리-변환적 동형(isometric isomorphism))이라고 불립니다:

g=f^{*}g',\,

여기서 $f^{*}g'$ 는 $f$ 에 의한 랭크 (0, 2) 메트릭 텐서 $g'$ 의 당김(pullback)을 나타냅니다. 동등하게, 밂(pushforward) $f_{*}$ 의 관점에서, 우리는 $M$ 위에 임의의 두 벡터 필드 $v,w$ (즉, 접 다발(tangent bundle) $\mathrm {T} M$ 의 단면)에 대해,

g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).\,

만약 $f$ 가 $g=f^{*}g'$ 를 만족하는 지역 미분-동형(local diffeomorphism)이면, $f$ 는 지역 등거리-변환(local isometry)이라고 불립니다.

Properties

등거리-변환의 모음은 전형적으로 그룹, 등거리-변환 그룹(isometry group)을 형성합니다. 그 그룹이 연속 그룹(continuous group)일 때, 그 그룹의 무한소 생성기(infinitesimal generators)는 킬링 벡터 필드(Killing vector fields)입니다.

마이어스-스틴로드 정리(Myers–Steenrod theorem)는 두 개의 연결된 리만 매니폴드 사이의 모든 각 등거리-변환이 매끄럽다는 것(미분 가능)을 말합니다. 이 정리의 두 번째 형식은 리만 매니폴드의 등거리-변환 그룹이 리 그룹(Lie group)임을 나타냅니다.

모든 각 점에서 정의된 등거리-변환을 가지는 리만 매니폴드(Riemannian manifolds)는 대칭 공간(symmetric spaces)이라고 불립니다.

Generalizations

양의 실수 ε가 주어지면, ε-등거리변환(ε-isometry) 또는 거의 등거리변환(almost isometry) (역시 하우스도르프(Hausdorff) 근사화(approximation)라고 불림)는 다음을 만족하는 메트릭 공간 사이의 맵 $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ 입니다:
1. $x,x'\in X$ 에 대해 $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ 을 가집니다, 그리고
2. 임의의 점 $y\in Y$ 에 대해 $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$ 을 갖는 점 $x\in X$ 이 존재합니다

즉, ε-등거리변환은 ε 이내의 거리를 보존하고 도메인의 원소의 이미지에서 ε보다 더 멀리 떨어진 코도메인의 원소를 두지 않습니다. ε-등거리변환은 연속(continuous)인 것으로 가정되지 않음을 주목하십시오.

제한된 등거리-변환 속성(restricted isometry property)은 희소 벡터에 대한 거의 등거리-변환적 행렬을 특성화합니다.
준-등거리변환(Quasi-isometry)은 또 다른 유용한 일반화입니다.
추상 단위 C*-대수의 원소를 등거리-변환으로 정의할 수도 있습니다:
$a\in {\mathfrak {A}}$ 가 등거리변환인 것과 $a^{*}\cdot a=1$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

서론에서 언급했듯이 이것은 일반적으로 왼쪽 역행렬이 오른쪽 역행렬이라는 것이 없기 때문에 반드시 유니태리 원소일 필요는 없습니다.

유사-유클리드 공간(pseudo-Euclidean space) 위에, 용어 등거리변환(isometry)은 크기를 보존하는 선형 전단사를 의미합니다. 역시 이차 공간(Quadratic spaces)을 참조하십시오.

References

^ ^a ^b Coxeter 1969, p. 29 "We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $P\to P'$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair... In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length..."
^ Coxeter 1969, p. 46
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.
^ Coxeter 1969, p. 393.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.
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Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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Bibliography

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[CoxeterIsometryDef-1] Coxeter 1969, p. 29 "We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $P\to P'$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair... In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length..."

[2] Coxeter 1969, p. 46
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.

[3] Coxeter 1969, p. 393.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.

[4] Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
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Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275–339-5] Narici & Beckenstein 2011, pp. 275–339.

[FOOTNOTEWilansky201321–26-6] Wilansky 2013, pp. 21–26.

[Thomsen_2017_p125-7] Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Linear algebra] (in Danish). Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. p. 125.

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[9] Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$

[10] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137/s1064827502419154.

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Manifold

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See also

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