Euclidean space

유클리드 공간(Euclidean space)은 물리적 공간(physical space)을 표현하기 위해 의도된 기하학(geometry)의 기본 공간입니다. 원래, 즉, 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에서, 그것은 유클리드 기하학의 삼-차원 공간이었지만, 현대 수학(mathematics)에서 삼-차원 공간과 유클리드 평면 (차원 2)을 포함하여 임의의 양의 정수 차원(dimension)의 유클리드 공간이 있습니다.^[1] 한정어 "유클리드"는 유클리드 공간을 나중에 물리학(physics)과 현대 수학에서 고려되었던 다른 공간과 구별하기 위해 사용됩니다.

고대 그리스 기하학자들은 물리적 공간을 모델링하는 데 유클리드 공간을 도입했습니다. 그들의 연구는 고대 그리스 수학자 유클리드가 그의 원론에서 수집되었으며,^[2] 이는 명백한 것으로 여겨지거나 (예를 들어, 두 점을 지나는 정확하게 하나의 직선이 있음), 입증하기에 불가능한 것 (평행 공준)처럼 보이는 공준(postulates)이라고 불리는 몇 가지 기본 속성에서 시작함으로써 공간의 모든 속성을 정리(theorems)로 입증하는 위대한 혁신입니다.

19세기 말에 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)의 도입 후, 공리적 이론(axiomatic theory)을 통해 유클리드 공간을 정의하기 위해 오래된 공준이 다시 공식화되었습니다. 벡터 공간(vector spaces)과 선형 대수(linear algebra)를 수단으로 유클리드 공간의 또 다른 정의는 공리적 정의와 동등한 것으로 나타났습니다. 현대 수학에서 더 공통적으로 사용되는 것이 이 정의이고, 이 기사에서 자세히 설명합니다.^[3] 모든 정의에서, 유클리드 공간은 유클리드 공간을 형성하기 위해 가져야 하는 속성에 의해서만 정의되는 점으로 구성됩니다.

본질적으로 각 차원의 오직 하나의 유클리드 공간이 있습니다; 즉, 주어진 차원의 모든 유클리드 공간은 동형(isomorphic)입니다. 그러므로, 많은 경우에서, 점 곱(dot product)을 갖춘 일반적으로 실수 $n$ -공간(real $n$ -space) $\mathbb {R} ^{n}$ 특정인 유클리드 공간으로 연구할 수 있습니다. 유클리드 공간에서 $\mathbb {R} ^{n}$ 으로의 동형은 유클리드 공간에서 해당 점을 배치하고 해당 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)라고 불리는 실수의 각 점 $n$ -튜플( $n$ -tuple)과 결합됩니다.

Definition

History of the definition

유클리드 공간은 고대 그리스인에 의해 물리적 공간의 추상화로 도입되었습니다. 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에 나타난 그들의 위대한 혁신은 물리적 세계에서 추상화되고, 더 기본적인 도구의 결핍 때문에 수학적으로 입증될 수 없는 몇 가지 매우 기본적인 속성에서 시작함으로써 모든 기하학을 구축하고 입증(prove)하는 것이었습니다. 이들 속성은 공준(postulates), 또는 현대 언어로 공리(axioms)라고 불립니다. 유클리드 공간을 정의하는 이러한 방법은 합성 기하학(synthetic geometry)이라는 이름으로 여전히 사용됩니다.

1637년에, 르네 데카르트(René Descartes)는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 도입했고 이것이 기하학적 문제를 숫자와 함께 대수적 계산으로 줄일 수 있음을 보여주었습니다. 기하학을 대수학(algebra)으로 축소한 것은 그 당시까지 실수가 길이와 거리의 관점에서 정의되었기 때문에 관점의 주요 변화였습니다.

유클리드 기하학은 19세기까지 삼보다 많은 차원의 공간에 적용되지 않았습니다. Ludwig Schläfli는 합성과 대수적 방법 둘 다를 사용하여 유클리드 기하학을 차원 $n$ 의 공간으로 일반화했고, 임의의 차원의 유클리드 공간에 존재하는 모든 정규 폴리토프(polytopes), (플라톤 고체의 고-차원 유사체)를 발견했습니다.^[4]

해석적 기하학(analytic geometry)이라고 불리는 데카르트의 접근 방식의 광범위한 사용에도 불구하고, 유클리드 공간의 정의는 19세기 말까지 변경되지 않고 남아 있었습니다. 추상 벡터 공간(vector spaces)의 도입은 순수하게 대수적 정의로 유클리드 공간을 정의하는 데 사용할 수 있었습니다. 이 새로운 정의는 기하적 공리의 관점에서 고전적 정의와 동등한 것으로 나타났습니다. 이 대수적 정의는 이제 유클리드 공간을 도입하는 데 가장 자주 사용됩니다.

Motivation of the modern definition

유클리드 평면을 생각하는 한 가지 방법은 거리와 각도의 관점에서 표현할 수 있는 특정 관계를 만족시키는 점(points)의 집합(set)입니다. 예를 들어, 평면 위에 두 가지 기본 연산 (운동(motions)으로 참조됨)이 있습니다. 하나는 평행이동(translation)으로, 모든 각 점이 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동하도록 평면을 이동하는 것을 의미합니다. 다른 하나는 평면에서 고정된 점을 중심으로 회전하는 것으로, 평면에서 모든 점이 같은 각도로 고정된 점을 중심으로 회전합니다. 유클리드 기하학의 기본 신조 중 하나는 평면의 두 도형 (보통 부분-집합으로 고려됨)이 평행-이동, 회전 및 반사(reflections)의 일부 열에 의해 다른 도형으로 변환될 수 있으면 동등 (합동)으로 고려되어야 한다는 것입니다 (아래를 참조하십시오).

이 모든 것을 수학적으로 정확하게 만들기 위해, 이론은 유클리드 공간이 무엇인지, 거리, 각도, 평행-이동, 및 회전과 관련된 개념을 명확하게 정의해야 합니다. 심지어 물리적 이론에서 사용될 때, 유클리드 공간은 실제 물리적 위치, 특정 참조 프레임, 측정 도구, 등에서 분리된 추상화(abstraction)입니다. 유클리드 공간의 순전하게 수학적 정의는 길이의 단위(units of length)와 기타 물리적 차원(physical dimensions)의 문제도 무시합니다: "수학적" 공간에서 거리는 인치나 미터로 표현된 어떤 것이 아니라 숫자입니다.

이 기사의 나머지 부분에서 수행될 때, 유클리드 공간을 수학적으로 정의하는 표준 방법은 실수 벡터 공간이 작용하는, 안의 곱(inner product)을 갖춘 평행이동의 공간(space of translations) 위의 점 집합입니다.^[1] 평행이동의 동작은 공간을 아핀 공간(affine space)으로 만들고, 이를 통해 직선, 평면, 부분-공간, 차원, 및 평행성(parallelism)을 정의할 수 있습니다. 안의 곱은 거리와 각도를 정의하는 것을 허용합니다.

점 곱(dot product)을 갖춘 실수의 $n$ -튜플의 집합 $\mathbb {R} ^{n}$ 은 차원 $n$ 의 유클리드 공간입니다. 반대로, 원점이라고 하는 한 점과 평행이동 공간의 직교-정규 기저(orthonormal basis)의 선택은 차원 $n$ 의 유클리드 공간과 유클리드 공간으로 보이는 $\mathbb {R} ^{n}$ 사이의 동형(isomorphism)을 정의하는 것과 동등합니다.

유클리드 공간에 대해 말할 수 있는 모든 것은 $\mathbb {R} ^{n}$ 에 대해서도 말할 수 있음이 따릅니다. 그러므로, 많은 저자, 특히 기초 수준에서, $\mathbb {R} ^{n}$ 을 차원 $n$ 의 표준 유클리드 공간,^[5] 또는 단순히 차원 $n$ 의 유클리드 공간이라고 부릅니다.

유클리드 공간에 대한 그러한 추상적인 정의를 도입하고, $\mathbb {R} ^{n}$ 대신 그것을 사용하는 이유는 그것이 좌표-없고 원점-없는 (즉, 선호하는 기저와 선호하는 원점을 선택 없는) 방식으로 연구하는 것이 종종 바람직하기 때문입니다. 또 다른 이유는 물리적 세계에는 원점도 없고 기저도 없기 때문입니다.

Technical definition

유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)은 실수에 걸쳐 유한-차원 안의 곱 공간(inner product space)입니다.

유클리드 공간(Euclidean space)은 결합된 벡터 공간이 유클리드 벡터 공간임을 만족하는 실수(reals)에 걸쳐 아핀 공간(affine space)입니다. 유클리드 공간은 때때로 유클리드 벡터 공간과 구별하기 위해 유클리드 아핀 공간이라고 불립니다.^[6]

만약 $E$ 가 유클리드 공간이면, 그것의 결합된 벡터 공간은 종종 ${\overrightarrow {E}}$ 로 표시됩니다. 유클리드 공간의 차원은 결합된 벡터 공간의 차원(dimension)입니다.

$E$ 의 원소는 점이라고 불리고 공통적으로 대문자로 표시됩니다. ${\overrightarrow {E}}$ 의 원소는 유클리드 벡터(Euclidean vectors) 또는 자유 벡터(free vectors)라고 불립니다. 그것들은 역시 평행이동이라고 불리지만, 적절하게 말해서, 평행이동(translation)은 유클리드 공간 위에 유클리드 벡터의 동작(action)으로 인한 기하학적 변환(geometric transformation)입니다.

점 $P$ 위에 평행이동 $v$ 의 동작은 $P + v$ 로 표시된 점을 제공합니다. 이 동작은 다음을 만족시킵니다:

$P+(v+w)=(P+v)+w.$

(왼쪽 변에서 두 번째 $+$ 는 벡터 덧셈입니다; 모든 다른 $+$ 는 점 위에 벡터의 동작을 나타냅니다. 이 표기법은 + 의 두 가지 의미를 구별하기 위해 왼쪽 논증의 본질을 살펴보는 것으로 충분하기 때문에 모호하지 않습니다.)

동작이 자유롭고 전이적이라는 사실은 모든 각 점 쌍 $(P, Q)$ 에 대해 $P + v = Q$ 임을 만족하는 정확하게 하나의 벡터 $v$ 가 있음을 의미합니다. 이 벡터 $v$ 는 $Q - P$ 또는 ${\overrightarrow {PQ}}$ 로 표시됩니다.

앞서 설명했듯이, 유클리드 공간의 기본 속성 중 일부는 아핀 공간 구조의 결과입니다. 그것들은 § Affine structure와 그것의 하위 섹션에 설명되어 있습니다. 안의 곱에서 발생하는 속성은 § Metric structure과 그것의 하위 섹션에 설명되어 있습니다.

Prototypical examples

임의의 벡터 공간에 대해, 덧셈은 벡터 공간 자체에서 자유롭고 전이적으로 작용합니다. 따라서 유클리드 벡터 공간은 자체를 결합된 벡터 공간으로 가지는 유클리드 공간으로 볼 수 있습니다.

유클리드 벡터 공간의 전형적인 경우는 $\mathbb {R} ^{n}$ 을 안의 곱(inner product)으로 점 곱(dot product)을 갖춘 벡터 공간으로 볼 수 있습니다. 유클리드 공간의 이 특별한 예제의 중요성은 모든 각 유클리드 공간이 그것과 동형(isomorphic)이라는 사실에 있습니다. 보다 정확하게, 차원 $n$ 의 유클리드 공간 $E$ 가 주어지면, 원점이라고 불리는 하나의 점과 ${\overrightarrow {E}}$ 의 직교-정규 기저(orthonormal basis)의 선택은 $E$ 에서 $\mathbb {R} ^{n}$ 로의 유클리드 공간의 동형을 정의합니다.

차원 $n$ 의 모든 각 유클리드 공간이 그것과 동형이기 때문에, 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 은 때때로 차원 $n$ 의 표준 유클리드 공간이라고 불립니다.^[5]

Affine structure

유클리드 공간의 일부 기본 속성은 유클리드 공간이 아핀 공간(affine space)이라는 사실에만 의존합니다. 그것들은 아핀 속성(affine properties)이라고 하고 다음 하위 섹션에서 자세히 설명되는 직선, 부분-공간, 및 평행성의 개념을 포함합니다.

Subspaces

$E$ 를 유클리드 공간이라고 놓고 ${\overrightarrow {E}}$ 를 그것의 결합된 벡터 공간이라고 놓습니다.

$E$ 의 플랫, 유클리드 부분-공간 또는 아핀 부분-공간은 다음이 ${\overrightarrow {E}}$ 의 선형 부분-공간(linear subspace)임을 만족하는 $E$ 의 부분집합 $F$ 입니다:

${\overrightarrow {F}}=\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid P\in F,Q\in F\right\}$

유클리드 부분-공간 $F$ 는 ${\overrightarrow {F}}$ 를 결합된 벡터 공간으로 갖는 유클리드 공간입니다. 이 선형 부분-공간 ${\overrightarrow {F}}$ 는 $F$ 의 방향(direction)이라고 불립니다.

만약 $P$ 가 $F$ 의 점이면

$F=\left\{P+v\mid v\in {\overrightarrow {F}}\right\}.$

반대로, 만약 $P$ 가 $E$ 의 점이고 $V$ 가 ${\overrightarrow {E}}$ 의 선형 부분-공간(linear subspace)이면, 다음은 방향 $V$ 의 유클리드 부분-공간입니다:

$P+V=\left\{P+v\mid v\in V\right\}\;.$

유클리드 벡터 공간 (즉, $E={\overrightarrow {E}}$ 임을 만족하는 유클리드 공간)은 그것의 유클리드 부분-공간과 그것의 선형 부분-공간이라는 두 가지 종류의 부분-공간을 가집니다. 선형 부분-공간은 유클리드 부분-공간이고 유클리드 부분-공간이 선형 부분-공간인 것과 그것이 영 벡터를 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

Lines and segments

유클리드 공간에서, 직선은 차원 일의 유클리드 부분-공간입니다. 차원 일의 벡터 공간은 임의의 비-영 벡터로 스팬되므로, 직선은 다음 형식의 집합입니다:

$\left\{P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\},$

여기서 $P$ 와 $Q$ 는 유클리드 공간의 두 개의 구별되는 점입니다.

두 개의 구별되는 점을 통과하는 (포함하는) 정확하게 하나의 직선이 있음을 따릅니다. 이것은 두 개의 구별되는 직선이 많아야 한 점에서 교차한다는 것을 의미합니다.

$P$ 와 $Q$ 를 통과하는 직선의 보다 대칭적 표현은 다음입니다:

$\left\{O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\},$

여기서 $O$ 는 임의적인 점입니다 (반드시 직선 위일 필요는 없습니다).

유클리드 벡터 공간에서, 영 벡터는 보통 $O$ 에 대해 선택됩니다; 이를 통해 이전 형식을 다음으로 단순화할 수 있습니다:

$\left\{(1-\lambda )P+\lambda Q\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}.$

표준 관례에 따라 모든 각 유클리드 공간에서 이 형식을 사용할 수 있으며, Affine space § Affine combinations and barycenter를 참조하십시오.

점 $P$ 와 $Q$ 를 연결하는 선분(line segment, 또는 단순히 segment)은 이전 형식에서 $0 \leq λ \leq 1$ 임을 만족하는 점의 부분-집합입니다. 그것은 $PQ$ 또는 $QP$ 로 표시됩니다; 즉,

$PQ=QP=\left\{P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mid 0\leq \lambda \leq 1\right\}.$

Parallelism

유클리드 공간에서 같은 차원의 두 부분-공간 $S$ 와 $T$ 는 만약 그것들이 같은 방향을 가지면 평행합니다.^[a] 동등하게, 그것들은 만약 하나를 다른 하노로 매핑하는 평행이동 $v$ 벡터가 있으면 평행합니다:

$T=S+v.$

점 $P$ 와 부분공간 $S$ 가 주어졌을 때, $P$ 를 포함하고 $S$ 와 평행한 정확하게 하나의 부분공간이 존재하며, 이는 $P+{\overrightarrow {S}}$ 입니다. $S$ 가 직선 (차원 일의 부분공간)인 경우에서, 이 속성은 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)입니다.

유클리드 평면에서, 두 직선은 한 점에서 만나거나 평행함을 따릅니다.

평행 부분-공간의 개념은 다른 차원의 부분-공간으로 확장되어 왔습니다: 두 부분-공간은 만약 그들 중 하나의 방향이 다른 하나의 방향으로 포함되면 평행합니다.

Metric structure

유클리드 공간 $E$ 와 결합된 벡터 공간 ${\overrightarrow {E}}$ 는 안의 곱 공간(inner product space)입니다. 이것은 다음 대칭 쌍-선형 형식(symmetric bilinear form)을 의미합니다:

${\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}$

즉 양의 한정(positive definite)입니다 (즉 $\langle x,x\rangle$ 는 $x \neq 0$ 에 대해 항상 양수입니다).

유클리드 공간의 안의 곱은 종종 점 곱(dot product)이라고 불리고 $x \cdot y$ 로 표시됩니다. 이것은 특히 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)이 선택되었을 때이며, 이 경우에서, 두 벡터의 안의 곱이 그것들 좌표 벡터(coordinate vectors)의 점 곱(dot product)이기 때문입니다. 이러한 이유와 역사적 이유에 대해, 점 표기법은 유클리드 공간의 안의 곱에 대해 괄호 표기법보다 더 공통적으로 사용됩니다. 이 기사는 이 사용법을 따를 것입니다; 즉, $\langle x,y\rangle$ 는 이 기사의 남아있는 부분에서 $x \cdot y$ 를 나타낼 것입니다.

벡터 $x$ 의 유클리드 노름(Euclidean norm)은 다음입니다:

$\|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.$

안의 곱과 노름을 통해 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 메트릭(metric)과 토폴로지적(topological) 속성을 표현하고 입증할 수 있습니다. 다음 하위 섹션은 가장 기본적인 것들을 설명합니다. 이들 하위 섹션에서, $E$ 는 임의적인 유클리드 공간을 나타내고, ${\overrightarrow {E}}$ 는 평행이동의 그것의 벡터 공간을 나타냅니다.

Distance and length

유클리드 공간의 두 점 사이의 거리 (더 정확하게 유클리드 거리)는 한 점을 나머지 한 점으로 매핑하는 평행이동 벡터의 노름입니다; 즉

$d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {|}{}}}{\Bigr \|}.$

선분 $PQ$ 의 길이는 그것의 끝점 사이의 길이 $d (P, Q)$ 입니다. 그것은 종종 $|PQ|$ 로 나타냅니다.

그 거리는 양의 한정이고, 대칭이고, 삼각형 부등식(triangle inequality)을 만족시키기 때문에 메트릭(metric)입니다:

$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).$

더욱이, 상등이 참인 것과 $R$ 이 선분 $PQ$ 에 속하는 것은 필요충분 조건입니다. 이 부등식은 삼각형(triangle)의 임의의 가장자리의 길이가 다른 가장자리들의 길이의 합보다 작다는 것을 의미합니다. 이것이 삼각형 부등식이라는 용어의 기원입니다.

유클리드 거리와 함께, 모든 각 유클리드 공간은 완비 메트릭 공간(complete metric space)입니다.

Orthogonality

${\overrightarrow {E}}$ 의 두 개의 비-영 벡터는 만약 그것들의 안의 곱이 영이면 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal)입니다:

$u\cdot v=0$

${\overrightarrow {E}}$ 의 두 개의 선형 부분-공간이 만약 첫 번째 부분공간의 모든 각 비-영 벡터가 두 번째 부분-공간의 모든 각 비-영 벡터에 수직이면 직교입니다. 이것은 선형 부분-공간의 교집합이 영 벡터로 줄어듬을 의미합니다.

두 개의 직선, 더 일반적으로 두 개의 유클리드 부분공간은 만약 그것들의 방향이 직교이면 직교입니다. 교차하는 두 개의 직교 직선은 수직(perpendicular)이라고 말합니다.

공통 끝점을 공유하는 두 개의 선분 $AB$ 와 $AC$ 는 만약 벡터 ${\overrightarrow {AB}}$ 와 ${\overrightarrow {AC}}$ 가 직교이면 수직 또는 직각(right angle)을 형성합니다.

만약 $AB$ 와 $AC$ 가 직각을 형성하면, 다음을 가집니다:

$|BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.$

이것이 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)입니다. 그것의 증명은 쉬운데, 왜냐하면, 안의 곱의 관점에서 이것을 표현하여, 안의 곱의 쌍선형성과 대칭성을 사용하여 다음을 가지기 때문입니다:

${\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\\&=\left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)\\&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}$

Angle

${\overrightarrow {E}}$ 에서 두 개의 비-영 벡터 $x$ 와 $y$ 사이의 (비-방향화된) 각도 $θ$ 는 다음입니다:

$\theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{\left\|x\right\|\left\|y\right\|}}\right)$

여기서 $arccos$ 는 아크-코사인(arccosine) 함수의 주요 값(principal value)입니다. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)에 의해, 아크-코사인의 인수는 구간 $[-1, 1]$ 안에 있습니다. 그러므로 $θ$ 는 실수이고, $0 \leq θ \leq π$ 입니다 (또는 각이 각도에서 측정되면 $0 \leq θ \leq 180$ 입니다).

각도는 유클리드 직선에서 유용하지 않은데, 왜냐하면 그것들은 오직 0 또는 $π$ 일 수 있기 때문입니다.

방향화된(oriented) 유클리드 평면에서, 두 벡터의 방향화된 각도를 정의할 수 있습니다. 두 벡터 $x$ 와 $y$ 의 방향화된 각도는 그때에 $y$ 와 $x$ 의 방향화된 각도의 반대입니다. 이 경우에서, 두 벡터의 각도는 모듈로(modulo) $2 π$ 의 정수 배수로 임의의 값을 가질 수 있습니다. 특히, 반사 각도(reflex angle) $π < θ < 2 π$ 는 음의 각도 $- π < θ - 2 π < 0$ 와 같습니다.

두 벡터의 각도는 만약 그것들이 양수에 의해 곱해지면 변하지 않습니다. 보다 정확하게, 만약 $x$ 와 $y$ 가 두 벡터이고, $λ$ 와 $μ$ 가 실수이면,

$\operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}$

만약 $A$ , $B$ , 및 $C$ 가 유클리드 공간에서 세 점이면, 선분 $AB$ 와 $AC$ 의 각도는 벡터 ${\overrightarrow {AB}}$ 와 ${\overrightarrow {AC}}$ 의 각도입니다. 벡터에 양수를 곱해도 각도가 변경되지 않으므로, 초기 점 $A$ 를 갖는 두 개의 반-직선(half-lines)의 각도는 정의될 수 있습니다: 그것은 선분 $AB$ 와 $AC$ 의 각도이며, 여기서 $B$ 와 $C$ 는 각각의 반-직선 위의 임의적인 점입니다. 이것은 덜 사용되지만, 초기 점을 공유하지 않는 선분 또는 반직선의 각도를 유사하게 정의할 수 있습니다.

두 직선의 각도는 다음과 같이 정의됩니다. 만약 $θ$ 가 각 직선 위에 하나씩 있는 두 선분의 각도이면, 각 직선 위에 하나씩 있는 임의의 두 개의 다른 선분의 각도는 $θ$ 또는 $π - θ$ 입니다. 이들 각도 중 하나는 구간(interval) $[0, π /2]$ 에 있고, 다른 하나는 $[π /2, π]$ 에 있습니다. 두 직선의 비-방향화된 각도는 구간 $[0, π /2]$ 에 있는 각도입니다. 방향화된 유클리드 평면에서, 두 직선의 방향화된 각도는 구간 $[- π /2, π /2]$ 에 속합니다.

Cartesian coordinates

모든 각 유클리드 벡터 공간은 직교-정규 기저 (사실, 일보다 더 높은 차원에서 무한하게 많고, 차원 일에서 두 개), 즉 쌍-별 직교 ( $i \neq j$ 에 대해 $e_{i}\cdot e_{j}=0$ )인 단위 벡터 ( $\|e_{i}\|=1$ )의 기저 $(e_{1},\dots ,e_{n})$ 를 가집니다. 더 정확하게, 임의의 기저 $(b_{1},\dots ,b_{n})$ 가 주어졌을 때, 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)은 모든 각 i에 대해, $(e_{1},\dots ,e_{i})$ 와 $(b_{1},\dots ,b_{i})$ 의 선형 스팬(linear spans)이 같음을 만족하는 직교-정규 기저를 계산합니다.^[7]

유클리드 공간 $E$ 가 주어졌을 때, 데카르트 프레임(Cartesian frame)은 ${\overrightarrow {E}}$ 의 직교-정규 기저로 구성된 데이터의 집합과 원점이라고 하고 종종 $O$ 로 표시되는 $E$ 의 한 점으로 구성됩니다. 데카르트 프레임 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 은 다음과 같은 방법으로 $E$ 와 $E$ 모두에 대해 데카르트 좌표를 정의하는 것을 허용합니다.

벡터 $v$ 의 데카르트 좌표는 기저 $e_{1},\dots ,e_{n}$ 위에 $v$ 의 계수입니다. 기저가 직교-정규이므로, i번째 계수는 점 곱 $v\cdot e_{i}$ 입니다.

$E$ 의 점 $P$ 의 데카르트 좌표는 벡터 ${\overrightarrow {OP}}$ 의 데카르트 좌표입니다.

Other coordinates

유클리드 공간은 아핀 공간(affine space)이므로, 기저가 직교-정규일 필요가 없다는 점을 제외하고는 유클리드 프레임과 같은 그것 위에 아핀 프레임(affine frame)을 고려할 수 있습니다. 이것은 기저 벡터가 쌍-별 직교하지 않는다는 것을 강조하기 위해 때때로 꼬인 좌표(skew coordinates)라고 하는 아핀 좌표(affine coordinates)를 정의합니다.

차원 $n$ 의 유클리드 공간의 아핀 기저(affine basis)는 초평면에 포함되지 않은 $n + 1$ 점의 집합입니다. 아핀 기저는 모든 각 점에 대해 베리-센터 좌표(barycentric coordinates)를 정의합니다.

많은 다른 좌표 시스템은 다음과 같은 방법으로 차원 $n$ 의 유클리드 공간 $E$ 위에 정의될 수 있습니다. $f$ 를 $E$ 의 조밀한 열린 부분-집합에서 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 열린 부분-집합으로의 위상-동형 (또는, 더 자주, 미분-동형(diffeomorphism))이라고 놓습니다. $E$ 의 점 $x$ 의 좌표(coordinates)는 $f (x)$ 의 구성 요소입니다. 극 좌표 시스템(polar coordinate system) (차원 2)와 구형과 원통 좌표 시스템 (차원 3)은 이러한 방법으로 정의됩니다.

$f$ 의 도메인 밖에 있는 점에 대해, 좌표는 때때로 이웃 점의 좌표의 극한으로 정의될 수 있지만, 이들 좌표는 고유하게 정의되지 않을 수 있고, 점의 이웃에서 연속적이지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 구형 좌표 시스템에 대해, 경도는 극점에서 정의되지 않고, 반자오선(antimeridian) 위에, 경도가 –180°에서 +180°까지 불연속적으로 통과합니다.

좌표를 정의하는 이 방법은 다른 수학적 구조, 특히 매니폴드(manifolds)로 쉽게 확장됩니다.

Isometries

두 메트릭 공간(metric spaces) 사이의 등거리-변환(isometry)은 거리를 보존하는 전단사입니다.^[b] 즉,

$d(f(x),f(y))=d(x,y).$

유클리드 벡터 공간의 경우에서, 원점을 원점으로 매핑하는 등거리-변환은 노름을 보존합니다:

$\|f(x)\|=\|x\|,$

왜냐하면 벡터의 노름은 영 벡터로부터의 거리이기 때문입니다. 그것은 역시 안의 곱을 보존합니다:

$f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,$

왜냐하면

$x\cdot y={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$

유클리드 벡터 공간의 등거리-변환은 선형 동형(linear isomorphism)입니다.^[c]^[8]

유클리드 공간의 등거리-변환 $f\colon E\to F$ 은 결합된 유클리드 벡터 공간의 등거리-변환 ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ 를 정의합니다. 이것은 두 개의 동형 유클리드 공간이 같은 차원을 가진다는 것을 의미합니다. 반대로, 만약 $E$ 와 $F$ 가 유클리드 공간이고, $O \in E$ , $O' \in F$ , 및 ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ 가 등거리-변환이면, 다음에 의해 정의된 맵 $f\colon E\to F$ 는 유클리드 공간의 등거리-변환입니다:

$f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}\left({\overrightarrow {OP}}\right)\;.$

앞의 결과로부터 유클리드 공간의 등거리-변환은 직선을 직선으로 매핑하고, 더 일반적으로 같은 차원에서 유클리드 부분공간을 유클리드 부분공간으로 매핑하고, 이들 부분 공간 위의 등거리변환의 제한은 이들 부분-공간의 등거리-변환임이 따릅니다.

Isometry with prototypical examples

만약 $E$ 가 유클리드 공간이면, 그것의 결합된 벡터 공간 ${\overrightarrow {E}}$ 는 유클리드 공간으로 고려될 수 있습니다. 모든 각 점 $O \in E$ 는 다음 유클리드 공간의 등거리-변환으로 정의됩니다:

$P\mapsto {\overrightarrow {OP}},$

이는 $O$ 를 영 벡터로 매핑하고 항등식을 결합된 선형 맵으로 가집니다. 역 등거리-변환은 다음 맵입니다:

$v\mapsto O+v.$

유클리드 프레임 $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ 은 다음 맵을 정의하는 것을 허용합니다:

${\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto \left(e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}\right),\end{aligned}}$

이는 유클리드 공간의 등거리-변환입니다. 역 등거리-변환은 다음입니다:

${\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}$

이것은, 동형까지, 주어진 차원의 정확하게 하나의 유클리드 공간이 있음을 의미합니다.

이것은 많은 저자들이 $\mathbb {R} ^{n}$ 을 차원 $n$ 의 유클리드 공간이라고 말하는 것을 정당화합니다.

Euclidean group

유클리드 공간에서 자체로의 등거리-변환은 유클리드 등거리변환(Euclidean isometry), 유클리드 변환(Euclidean transformation) 또는 강체 변환(rigid transformation)이라고 불립니다. 유클리드 공간의 강체 변환은 유클리드 그룹이라고 하는 (합성 아래에서) 그룹을 형성하고, 종종 $ISO(n)$ 의 $E(n)$ 으로 표시됩니다.

가장 간단한 유클리드 변환은 평행이동(translations)입니다:

$P\to P+v.$

그것들은 벡터와 전단사 대응 관계에 있습니다. 이것이 유클리드 공간과 결합된 벡터 공간의 평행이동의 공간(space of translations)을 부르는 이유입니다. 평행이동은 유클리드 그룹의 정규 부분-그룹(normal subgroup)을 형성합니다.

유클리드 공간 $E$ 의 유클리드 등거리-변환 $f$ 는 다음과 같은 방법으로 결합된 벡터 공간의 선형 등거리변환 ${\overrightarrow {f}}$ 를 정의합니다 (선형 등거리변환에 의해, 그것은 때때로 선형 맵이기도 한 등거리변환을 의미함): $Q - P$ 에 의해 벡터 ${\overrightarrow {PQ}}$ 를 표시하여, 만약 $O$ 가 $E$ 의 임의적인 점이면, 다음을 가집니다:

${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {OP}})=f(P)-f(O).$

이것이 $O$ 의 선택에 의존하지 않는 선형 맵임을 입증하는 것은 간단합니다.

맵 $f\to {\overrightarrow {f}}$ 는 유클리드 그룹에서 직교 그룹(orthogonal group)이라고 하는 선형 등거리-변환의 그룹 위로의 그룹 준동형(group homomorphism)입니다. 이 준동형의 커널은 평행이동 그룹으로, 유클리드 그룹의 정규 부분-그룹임을 보여줍니다.

주어진 점 $P$ 를 고정하는 등거리변환은 $P$ 에 관한 유클리드 그룹의 안정기 부분그룹(stabilizer subgroup)을 형성합니다. 위의 그룹 준동형의 이 안정기에 대한 제한은 동형입니다. 따라서 주어진 점을 고정하는 등거리변환은 직교 그룹과 동형적인 그룹을 형성합니다.

$P$ 를 점, $f$ 를 등거리변환, 및 $t$ 를 $P$ 를 $f (P)$ 에 매핑하는 평행이동이라고 놓습니다. 등거리변환 $g=t^{-1}\circ f$ 는 $P$ 를 고정합니다. 따라서 $f=t\circ g$ 이고, 유클리드 그룹은 평행이동 그룹과 직교 그룹의 반직접 곱(semidirect product)입니다.

특수 직교 그룹(special orthogonal group)은 손모양(handedness)을 보존하는 직교 그룹의 정규 부분그룹입니다. 그것은 직교 그룹의 인덱스 2의 부분그룹입니다. 그룹 준동형 $f\to {\overrightarrow {f}}$ 에 의한 그것의 역 이미지는 특수 유클리드 그룹(special Euclidean group) 또는 변위 그룹(displacement group)이라고 하는 유클리드 그룹의 인덱스 2의 정규 부분그룹입니다. 그 원소는 강체 운동(rigid motions) 또는 변위(displacements)라고 불립니다.

강성 운동은 항등, 평행이동, 회전 (적어도 한 점을 고정하는 강체 운동), 및 역시 나사 운동을 포함합니다.

강체 운동이 아닌 강체 변환의 전형적인 예제는 초평면을 고정하고 항등이 아닌 강체 변환인 반사(reflections)입니다. 그것들은 역시 일부 유클리드 프레임에 걸쳐 한 좌표의 부호를 변경하는 것으로 구성된 변환입니다.

특수 유클리드 그룹은 반사 $r$ 이 주어지면 유클리드 그룹의 인덱스 2의 부분그룹이므로, 강체 운동이 아닌 모든 각 강체 변환은 $r$ 과 강체 운동의 곱입니다. 미끄럼 반사(glide reflection)는 강체 운동이나 반사가 아닌 강체 변환의 예입니다.

이 섹션에서 고려되어 온 모든 그룹은 리 그룹(Lie groups)과 대수적 그룹(algebraic groups)입니다.

Topology

유클리드 거리는 유클리드 공간을 메트릭 공간(metric space)으로 만들고, 따라서 토폴로지적 공간(topological space)을 만듭니다. 이 토폴로지는 유클리드 토폴로지(Euclidean topology)라고 불립니다. $\mathbb {R} ^{n}$ 의 경우에서, 이 토폴로지는 곱 토폴로지(product topology)이기도 합니다.

열린 집합(open sets)은 각 점 주위에 열린 공(open ball)을 포함하는 부분집합입니다. 다른 말로, 열린 공은 토폴로지의 기저(base of the topology)를 형성합니다.

유클리드 공간의 토폴로지적 차원(topological dimension)은 그것의 차원과 같습니다. 이것은 다른 차원의 유클리드 공간이 위상-동형(homeomorphic)이 아님을 의미합니다. 더욱이, 도메인 불변(invariance of domain)의 정리는 유클리드 공간의 부분집합이 (부분공간 토폴로지에 대해) 열린 것과 그것이 같은 차원의 유클리드 공간의 열린 부분집합과 위상-동형인 것은 필요충분 조건이라고 주장합니다.

유클리드 공간은 완비이고 지역적으로 컴팩트입니다. 즉, 유클리드 공간의 닫힌 부분집합은 만약 그것이 경계진 것이면 (즉, 공에 포함되면) 컴팩트입니다. 특히, 닫힌 공은 컴팩트입니다.

Axiomatic definitions

이 글에서 설명되어 온 유클리드 공간의 정의는 유클리드의 정의와 근본적으로 다릅니다. 실제로, 유클리드는 공간을 형식적으로 정의하지 않았는데, 왜냐하면 인간의 마음과 독립적으로 존재하는 물리적 세계의 설명으로 생각했기 때문입니다. 형식적 정의의 필요성은 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)의 도입과 함께 19세기 말에야 나타났습니다.

두 가지 다른 접근 방식이 사용되어 왔습니다. 펠릭스 클라인(Felix Klein)은 대칭(symmetries)을 통해 기하학을 정의할 것을 제안했습니다. 이 기사에서 제공되는 유클리드 공간의 표현은 본질적으로 평행이동과 등거리변환의 그룹에 중점을 둔 그의 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)에서 발행되었습니다.

다른 한편, 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 유클리드의 공준(Euclid's postulates)에서 영감을 받은 공리(axioms)의 집합을 제안했습니다. 그것들은 합성 기하학(synthetic geometry)에 속하는데, 왜냐하면 그것들이 실수의 임의의 정의를 포함하지 않기 때문입니다. 나중에 G. D. Birkhoff와 Alfred Tarski는 실수를 사용하는 더 간단한 공리의 집합을 제안했습니다 (Birkhoff's axioms와 Tarski's axioms를 참조하십시오).

Geometric Algebra에서, 에밀 아르틴(Emil Artin)은 유클리드 공간의 이들 모든 정의가 동등함을 입증했습니다.^[9] 유클리드 공간의 모든 정의가 힐베르트의 공리를 만족시키고, 실수를 포함하는 정의 (위의 주어진 정의 포함)가 동등하다는 것을 입증하는 것은 오히려 쉽습니다. 아르틴의 증명에서 어려운 부분은 다음과 같습니다. 힐베르트의 공리에서, 합동(congruence)은 선분 위에 동치 관계(equivalence relation)입니다. 따라서 선분의 길이를 동치 클래스로 정의할 수 있습니다. 따라서 이 길이가 비-음의 실수를 특징짓는 속성을 만족시킨다는 것을 입증해야 합니다. 아르틴은 힐베르트의 공리와 동등한 공리로 이것을 입증했습니다.

Usage

고대 그리스부터 유클리드 공간은 물리적 세계에서 모양(shapes)을 모델링하는 데 사용됩니다. 그것은 따라서 물리학, 역학, 및 천문학과 같은 많은 과학에서 사용됩니다. 그것은 역시 건축, 측지학, 지형, 항법, 산업 디자인, 또는 기술 도면과 같이 모양, 도형, 배치, 및 위치와 관련된 모든 기술 영역에서 널리 사용됩니다.

3보다 높은 차원의 공간은 여러 현대 물리학 이론에서 발생합니다; 더 높은 차원(Higher dimension)을 참조하십시오. 그것들은 물리적 시스템(physical systems)의 구성 공간(configuration spaces)에서도 발생합니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry) 외에도, 유클리드 공간은 수학의 다른 영역에서도 널리 사용됩니다. 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds)의 접 공간(tangent spaces)은 유클리드 벡터 공간입니다. 보다 일반적으로, 매니폴드(manifold)는 유클리드 공간에 의해 지역적으로 근사화된 공간입니다. 대부분의 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)은 다양체에 의해 모델링될 수 있고, 더 높은 차원의 유클리드 공간에 삽입될 수 있습니다. 예를 들어, 타원 공간(elliptic space)은 타원체(ellipsoid)로 모델링될 수 있습니다. 기하학적 본성이 아닌 하나의 선험(a priori)으로 수학적 대상을 유클리드 공간에서 표현하는 것이 공통적입니다. 많은 것 중 하나의 예제는 그래프(graphs)의 보통의 표현입니다.

Other geometric spaces

19세기 말에 비-유클리드 기하학(Non-Euclidean geometries)의 도입 이래로, 유클리드 공간과 같은 방법으로 기하학적 추론을 할 수 있는 여러 종류의 공간이 고려되어 왔습니다. 일반적으로, 그것들은 유클리드 공간과 일부 속성을 공유하지만, 다소 이상하게 보일 수 있는 속성을 가질 수도 있습니다. 이들 공간 중 일부는 그것들의 정의에 대해 유클리드 기하학을 사용하거나, 더 높은 차원의 유클리드 공간의 부분-공간으로 모델링될 수 있습니다. 그러한 공간이 기하학적 공리(axioms)에 의해 정의될 때, 유클리드 공간에서 공간을 삽입(embedding)하는 것은 정의의 일관성(consistency)을 증명하기 위한 표준 방법이거나, 더 정확하게, 만약 유클리드 기하학(Euclidean geometry)이 일관적이면 (이는 입증될 수 없음) 그것의 이론이 일관적이라는 것을 입증하기 위한 것입니다.

Affine space

유클리드 공간은 메트릭(metric)을 갖춘 아핀 공간입니다. 아핀 공간은 수학에서 다른 많은 용도로 사용됩니다. 특히, 그것들은 임의의 필드(field)에 걸쳐 정의되므로, 그것들은 다른 문맥에서 기하학을 수행하는 것을 허용합니다.

비-선형 질문이 고려되자마자, 일반적으로 복소수에 걸쳐 아핀 공간을 유클리드 공간의 확장으로 고려하는 것이 유용합니다. 예를 들어, 원(circle)과 직선(line)은 복소 아핀 공간에서 항상 두 개의 교차점 (아마도 구별되지 않을 수 있음)을 가집니다. 그러므로, 대부분의 대수적 기하학(algebraic geometry)은 복소 아핀 공간과 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed fields)에 걸쳐 아핀 공간에 구축됩니다. 따라서 이들 아핀 공간에서 대수적 기하학에서 연구되는 모양은 아핀 대수적 다양체(affine algebraic varieties)라고 불립니다.

유리수에 걸쳐 아핀 공간과 보다 일반적으로 대수적 숫자 필드(algebraic number fields)에 걸쳐 아핀 공간은 (대수적) 기하학과 숫자 이론 사이의 연결을 제공합니다. 예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 "2보다 높은 차수의 페르마 곡선은 유리수에 걸쳐 아핀 평면에서 점을 가지지 않는다"라고 말할 수 있습니다.

유한 필드(finite fields)에 걸쳐 아핀 공간에서 기하학도 널리 연구되어 왔습니다. 예를 들어, 유한 필드에 걸쳐 타원 곡선(elliptic curves)은 암호학(cryptography)에서 널리 사용됩니다.

Projective space

원래, 투영 공간은 "두 개의 공통-평면 직선이 정확하게 한 점에서 만난다"는 주장을 사실로 만들기 위해 유클리드 공간에 "무한대에서 점"을 추가하고, 보다 일반적으로 아핀 공간에 추가함으로써 도입되어 왔습니다. 투영 공간은 유클리드 공간과 아핀 공간과 등방적이라는 속성, 즉, 두 점 또는 두 직선 사이를 구분할 수 있는 공간의 속성이 없음을 공유합니다. 그러므로, 더 많은 등방적 정의가 공통적으로 사용되며, 이는 하나 더 많은 차원의 벡터 공간(vector space)에서 벡터 직선(vector lines)의 집합으로 투영 공간을 정의하는 것으로 구성됩니다.

아핀 공간에 대한 것처럼, 투영 공간은 임의의 필드(field)에 걸쳐 정의되고, 대수적 기하학(algebraic geometry)의 기본 공간입니다.

Non-Euclidean geometries

비-유클리드 기하학은 보통 평행 공준(parallel postulate)이 거짓인 기하학적 공간을 나타냅니다. 그것들은 삼각형의 각도의 합이 180°보다 큰 타원 기하학(elliptic geometry)과 이 합이 180°보다 작은 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)을 포함합니다. 19세기 후반에 그것들의 도입과 그것들의 이론이 일관적이라는 증명 (만약 유클리드 기하학이 모순이 아니면)는 20세기 초 수학에서 토대적 위기의 근원이 되는 역설 중 하나이고, 수학에서 공리적 이론의 시스템화에 동기를 부여했습니다.

Curved spaces

매니폴드(manifold)는 각 점의 이웃에서 유클리드 공간과 닮은 공간입니다. 기술적인 측면에서, 매니폴드는 각 점이 유클리드 공간의 열린 부분집합(open subset)과 위상-동형(homeomorphic)인 이웃(neighborhood)을 가짐을 만족하는 토폴로지적 공간(topological space)입니다. 매니폴드는 이러한 "닮음"의 증가하는 정도에 따라 토폴로지적 매니폴드, 미분-가능 매니폴드, 매끄러운 매니폴드, 및 해석적 매니폴드로 분류될 수 있습니다. 어쨌든, 이들 유형의 "닮음" 중 어느 것도 거리와 각도를, 심지어 근사적으로도 고려하지 않습니다.

거리와 각도는 매니폴드의 점에서 접 공간 위에 매끄럽게 변화하는 유클리드 메트릭을 제공함으로써 매끄러운 매니폴드 위에 정의될 수 있습니다 (이들 접 공간은 따라서 유클리드 벡터 공간입니다). 이것은 리만 매니폴드(Riemannian manifold)를 초래합니다. 일반적으로, 직선은 리만 매니폴드에 존재하지 않지만, 두 점 사이의 "최단 경로"인 측지선(geodesics)에 의해 그 역할이 수행됩니다. 이를 통해 측지선을 따라 측정되는 거리와 교차점의 접 공간에서 접선의 각도인 측지선 사이의 각도를 정의할 수 있습니다. 따라서, 리만 매니폴드는 구부러진 유클리드 공간처럼 지역적으로 행동합니다.

유클리드 공간은 자명한 리만 매니폴드입니다. 이것을 잘 보여주는 예제는 구(sphere)의 표면입니다. 이 경우에서, 측지선은 항해의 맥락에서 올소드롬(orthodromes)이라고 불리는 큰 원의 호입니다. 보다 일반적으로, 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)의 공간은 리만 매니폴드로 실현될 수 있습니다.

Pseudo-Euclidean space

실수 벡터 공간의 안의 곱(inner product)은 양의 한정 쌍선형 형식이고, 따라서 양의 한정 이차 형식에 의해 특징짓습니다. 유사-유클리드 공간은 비-퇴화 이차 형식 (무한일 수 있음)을 갖춘 결합된 실수 벡터 공간을 갖는 아핀 공간입니다.

그러한 공간의 근본적인 예제는 아인슈타인의 특수 상대성의 시공간(space-time)인 민코프스키 공간(Minkowski space)입니다. 그것은 메트릭이 다음 이차 형식(quadratic form)에 의해 정의되는 4-차원 공간입니다:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},$

여기서 마지막 좌표 (t)는 시간이고, 나머지 셋 (x, y, z)는 공간입니다.

중력(gravity)을 고려하기 위해, 일반 상대성은 민코프스키 공간을 접 공간(tangent spaces)으로 가지는 유사-리만 매니폴드(pseudo-Riemannian manifold)를 사용합니다. 한 점에서 이 매니폴드의 곡률(curvature)은 이 점에서 중력 필드(gravitational field)의 값의 함수입니다.

Footnotes

^ It may depend on the context or the author whether a subspace is parallel to itself
^ If the condition of being a bijection is removed, a function preserving the distance is necessarily injective, and is an isometry from its domain to its image.
^ Proof: one must prove that $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ . For that, it suffices to prove that the square of the norm of the left-hand side is zero. Using the bilinearity of the inner product, this squared norm can be expanded into a linear combination of $\|f(x)\|^{2},$ $\|f(y)\|^{2},$ and $f(x)\cdot f(y).$ As $f$ is an isometry, this gives a linear combination of $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ and $x\cdot y,$ which simplifies to zero.

References

^ ^a ^b Solomentsev 2001.
^ Ball 1960, pp. 50–62.
^ Berger 1987.
^ Coxeter 1973.
^ ^a ^b Berger 1987, Section 9.1.
^ Berger 1987, Chapter 9.
^ Anton (1987, pp. 209–215)
^ Berger 1987, Proposition 9.1.3.
^ Artin 1988.

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Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.
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Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[7] It may depend on the context or the author whether a subspace is parallel to itself

[9] If the condition of being a bijection is removed, a function preserving the distance is necessarily injective, and is an isometry from its domain to its image.

[10] Proof: one must prove that $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ . For that, it suffices to prove that the square of the norm of the left-hand side is zero. Using the bilinearity of the inner product, this squared norm can be expanded into a linear combination of $\|f(x)\|^{2},$ $\|f(y)\|^{2},$ and $f(x)\cdot f(y).$ As $f$ is an isometry, this gives a linear combination of $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ and $x\cdot y,$ which simplifies to zero.

[FOOTNOTESolomentsev2001-1] Solomentsev 2001.

[FOOTNOTEBall196050–62-2] Ball 1960, pp. 50–62.

[FOOTNOTEBerger1987-3] Berger 1987.

[FOOTNOTECoxeter1973-4] Coxeter 1973.

[FOOTNOTEBerger1987Section_9.1-5] Berger 1987, Section 9.1.

[FOOTNOTEBerger1987Chapter_9-6] Berger 1987, Chapter 9.

[8] Anton (1987, pp. 209–215)

[FOOTNOTEBerger1987Proposition_9.1.3-11] Berger 1987, Proposition 9.1.3.

[FOOTNOTEArtin1988-12] Artin 1988.

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