Limit comparison test

수학(mathematics)에서, 극한 비교 테스트(limit comparison test 또는 줄여서 LCT)는 (관련된 직접 비교 테스트(direct comparison test)와 대조적으로) 무한 급수(infinite series)의 수렴에 대해 테스트하는 방법입니다.

Statement

우리는 모든 $n$ 에 대해 $a_{n}\geq 0,b_{n}>0$ 를 갖는 두 급수 $\Sigma _{n}a_{n}$ 및 $\Sigma _{n}b_{n}$ 를 가짐을 가정합니다.

그런-다음 만약 $0<c<\infty$ 를 갖는 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ 이면, 급수 둘 다가 수렴 또는 급수 둘 다가 발산합니다. ^[1]

Proof

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ 이기 때문에 우리는 모든 $\varepsilon >0$ 에 대해, 모든 $n\geq n_{0}$ 에 대해 우리가 $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ , 또는 동등하게

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}

임을 가지는 것을 만족하는 양의 정수 $n_{0}$ 가 있음을 압니다.

$c>0$ 이므로, 우리는 $\varepsilon$ 를 $c-\varepsilon$ 가 양수임을 만족하는 충분하게 작은 것으로 선택할 수 있습니다. 그래서, $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ 및 직접 비교 테스트(direct comparison test)에 의해, 만약 $\sum _{n}a_{n}$ 가 수렴하면 $\sum _{n}b_{n}$ 도 마찬가지입니다.

비슷하게 $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ 이므로, 만약 $\sum _{n}a_{n}$ 가 발산하면, 다시 직접 비교 테스트에 의해, $\sum _{n}b_{n}$ 도 마찬가지입니다.

즉, 급수 둘 다는 수렴 또는 급수 둘 다는 발산합니다.

Example

우리는 만약 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ 이면 수렴을 결정하기를 원합니다. 이것에 대해 우리는 수렴하는 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 와 비교합니다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ 이므로 우리는 원래 급수가 역시 수렴함을 가집니다.

One-sided version

우리가 극한 상부(limit superior)를 사용함으로써 한-쪽 비교 테스트를 말할 수 있습니다. 모든 $n$ 에 대해 $a_{n},b_{n}\geq 0$ 으로 놓습니다. 그런-다음 만약 $0\leq c<\infty$ 와 함께 $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ 및 $\Sigma _{n}b_{n}$ 가 수렴하면, 필연적으로 $\Sigma _{n}a_{n}$ 가 수렴합니다.

Example

모든 자연수 $n$ 에 대해 $a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ 및 $b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ 으로 놓습니다. 이제 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$ 가 존재하지 않으므로 우리는 표준 비교 테스트를 적용할 수 없습니다. 어쨌든, $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )$ 및 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 가 수렴하기 때문에, 한-쪽 비교 테스트는 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ 가 수렴함을 의미합니다.

Converse of the one-sided comparison test

모든 $n$ 에 대해 $a_{n},b_{n}\geq 0$ 으로 놓습니다. 만약 $\Sigma _{n}a_{n}$ 가 수렴하고 $\Sigma _{n}b_{n}$ 가 수렴하면, 필연적으로 $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$ 이며, 즉, $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ 입니다. 여기서 본질적인 내용은 어떤 의미에서 숫자 $a_{n}$ 이 숫자 $b_{n}$ 보다 더 큰 것이라는 것입니다.

Example

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ 를 단위 디스크 $D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ 에서 해석적이고 유한 넓이의 이미지를 가짐으로 놓습니다. 파서반의 공식(Parseval's formula)에 의해, $f$ 의 이미지의 넓이는 $\sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$ 입니다. 게다가, $\sum _{n=1}^{\infty }1/n$ 가 발산합니다. 그러므로, 비교 테스트의 역에 의해, 우리는 $\liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0$ ,즉, $\liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0$ 임을 가집니다.