Euclidean geometry

Original article: wikipedia:Euclidean geometry

"Plane geometry" redirects here. For other uses, see Plane geometry (disambiguation).

Detail from Raphael's The School of Athens featuring a Greek mathematician – perhaps representing Euclid or Archimedes – using a compass to draw a geometric construction.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)은 고대 그리스 수학자(Greek mathematician) 유클리드(Euclid)에 기인한 수학적 시스템이며, 그는 기하학(geometry)에 대한 그의 교과서: 원론(Elements)에 그것을 묘사했습니다. 유클리드의 접근 방식은 직관적으로 호소하는 공리(axiom) (공준)의 작은 집합을 가정하고 이것들로부터 많은 다른 제안(proposition) (정리(theorem))를 연역하는 것으로 구성됩니다. 비록 유클리드의 결과의 많은 것이 초기 수학자들에 의해 기술되었지만, 유클리드는 이들 명제를 각각의 결과가 공리와 이전에 입증된 정리로부터 입증되는 논리적 시스템(logical system)으로 조직한 최초의 사람입니다.

원론(Elements)은 평면 기하학(plane geometry)에서 시작하여, 중학교(secondary school)에서 첫 번째 공리적 시스템(axiomatic system)이고 수학적 증명(mathematical proof)의 첫 번째 예제로 여전히 가르칩니다. 그것은 삼 차원(three dimensions)의 고체 기하학(solid geometry)으로 나아갑니다. 원론(Elements)의 대부분은, 기하학적 언어로 설명되는 현재 대수학(algebra)과 숫자 이론(number theory)이라고 불리는 것의 결과를 나타냅니다.

이천 년 이상 동안, 형용사 "유클리드(Euclidean)"는 기하학의 다른 종류는 상상할 수 없었기 때문에 불필요했습니다. 유클리드의 공리는 (평행선 공준(parallel postulate)의 가능한 예외와 함께) 직관적으로 명백하게 보였으며, 그것들로부터 입증된 임의의 정리는 절대적이고, 종종 형이상학적인 의미에서 참으로 생각되었습니다. 오늘날, 어쨌든, 많은 다른 자체-일관적(self-consistent) 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)이 알려졌으며, 첫 번째 기하학은 19세기 초에 발견되었습니다. 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)의 일반 상대성(general relativity)의 이론의 함축은 물리적 공간 자체가 유클리드가 아니고, 유클리드 공간(Euclidean space)은 오직 (중력 필드(gravitational field)의 강도에 비해) 짧은 거리에서만 좋은 근사임을 말합니다.

유클리드 기하학은 점과 직선과 같은 기하학적 대상의 기본 속성을 설명하는 공리에서 그들 대상에 대한 제안으로 논리적으로 진행된다는 점에서 합성 기하학(synthetic geometry)의 한 예제입니다. 이것은 거의 2,000년 후에 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 도입된 해석적 기하학(analytic geometry)과 대조되는 것으로, 이는 좌표(coordinates)를 기하학적 속성을 대수적 수식(algebraic formulas)으로 표현하기 위해 사용합니다.

The Elements

Main article: Euclid's Elements

원론은 주로 기하학의 초기 지식의 시스템화입니다. 이전 취급에 비해 개선된 점은 빠르게 인식되었고, 그 결과 이전 취급을 보존하는 데 거의 관심이 없었고, 그것들은 이제 거의 모두 사라졌습니다.

원론에는 13권의 책이 있습니다:

책 I–IV 및 VI는 평면 기하학을 논의합니다. 평면 도형에 대한 많은 결과가 입증되었습니다. 예를 들어, "임의의 삼각형에서, 임의의 방법으로 함께 취한 두 각도는 두 직각보다 작습니다." (책 I 제안 17) 및 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem) "직각 삼각형에서, 직각을 대하는 변의 제곱은 직각을 포함하는 변의 제곱과 같습니다." (책 1, 제안 47)

책 V 및 VII–X는 숫자 이론(number theory)을 다루며, 숫자가 선분의 길이나 표면 영역의 넓이로 기하학적으로 취급됩니다. 소수(prime numbers), 유리수(rational), 및 무리수(irrational numbers)와 같은 개념이 소개됩니다. 그것은 무한하게 많은 소수가 있음을 입증했습니다.

책 XI–XIII는 고체 기하학(solid geometry)에 관한 것입니다. 전형적인 결과는 높이와 밑면을 갖는 원뿔과 원기둥의 부피 사이의 비율이 1:3이라는 것입니다. 플라톤 고체(platonic solids)가 구성됩니다.

Axioms

The parallel postulate (Postulate 5): If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.

유클리드 기하학은 모든 정리 ("참 명제")가 몇 개의 간단한 공리에서 유도되는 공리적 시스템(axiomatic system)입니다. 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)이 출현하기 전까지, 이들 공리는 모든 정리가 같게 참이 되도록 물리적 세계에서 명백히 참인 것으로 고려됩니다. 어쨌든, 가정에서 결론에 이르는 유클리드의 추론은 물리적 현실과는 독립적으로 유효하게 남습니다.

원론의 첫 번째 책의 시작 부분에서, 유클리드는 평면 기하학에 대해 다섯 가지 공준 (공리)을 제공하며, (Thomas Heath에 의해 번역될 때) 구성의 관점에서 명시됩니다:

다음을 공준이라고 합니다:

1. 임의의 점에서 임의의 점까지 직선을 그리는 것.
2. 직선에서 (연장된) 유한한 직선을 연속적으로 생성하는 것.
3. 임의의 중심과 거리 (반지름)를 갖는 원을 묘사하는 것.
4. 모든 직각은 서로 같습니다.
5. [평행 공준] : 두 직선 위에 떨어지는 직선이 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2 직각보다 작으면, 두 직선을, 무한정 생성하면, 각도가 2 직각보다 작은 쪽은 변에서 만납니다.

비록 유클리드가 구성된 대상의 존재를 명시적으로만 주장하지만, 그의 추론에서 그는 역시 암시적으로 대상을 고유하다고 가정합니다.

원론은 역시 다음 다섯 "공통 개념"을 포함합니다:

1. 같은 것과 동일한 것은 역시 서로 같습니다 (유클리드 관계의 전이적 속성).
2. 만약 같은 것과 같은 것을 더하면, 전체가 같습니다 (상등의 덧셈 속성).
3. 만약 같은 것에서 같은 것을 빼면, 그 차이가 같습니다 (상등의 뺄셈 속성).
4. 서로 일치하는 것은 서로 같습니다 (반사적 속성).
5. 전체는 부분보다 큽니다.

현대 학자들은 유클리드의 공준이 유클리드가 자신의 발표를 위해 요구한 완전한 논리적 토대를 제공하지 않는다는 데 동의합니다. 현대 취급(treatments)은 더 광범위하고 완전한 공리의 집합을 사용합니다.

Parallel postulate

Main article: Parallel postulate

고대인들에게, 평행 공준은 다른 것보다 덜 분명해 보였습니다. 그들은 절대적으로 확실한 제안의 시스템을 만들고자 열망했고, 그들에게는 평행 직선 공준이 더 간단한 명제로부터 증명을 요구하는 것처럼 보였습니다. 평행 공준이 참인 (다른 공리에 따르는) 일관된 기하학의 시스템을 구성할 수 있고, 평행 공준이 거짓인 다른 것을 구성할 수 있기 때문에 그러한 증명이 불가능하다는 것이 이제 알려져 있습니다. 유클리드 자신은 원론의 조직에 의해 입증된 바와 같이 다른 것과 질적으로 다른 것으로 고려한 것으로 보입니다: 그의 첫 28개 제안은 그것 없이 입증될 수 있는 것입니다.

많은 대안적인 공리가 (다른 공리의 맥락에서) 평행 공준과 논리적으로 동등한 것으로 공식화될 수 있습니다. 예를 들어, 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)는 다음과 같이 말합니다:

평면(plane)에서, 주어진 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나고, 많아야 하나의 직선이 주어진 직선과 만나지 않게 그릴 수 있습니다.

"많아야" 절은 적어도 하나의 평행 직선이 존재한다는 것이 남아있는 공리들로부터 입증될 수 있기 때문에 필요한 전부입니다.

A proof from Euclid's Elements that, given a line segment, one may construct an equilateral triangle that includes the segment as one of its sides: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.

Methods of proof

유클리드 기하학은 구성적(constructive)입니다. 공준 1, 2, 3, 및 5는 특정 기하학적 도형의 존재와 고유성을 주장하고, 이들 주장은 구성적 본성을 띕니다: 즉, 우리는 특정 사물이 존재한다는 말을 들었을 뿐만 아니라 그것을 나침반과 표시-없는 직선자 만으로 생성하는 방법을 제공합니다. 이런 의미에서, 유클리드 기하학은 집합 이론(set theory)과 같은 많은 현대 공리적 시스템보다 더 구체적이며, 이는 종종 대상을 구성하는 방법을 말하는 것 없이 대상의 존재를 주장하거나, 심지어 그 이론 내에서 구성될 수 없는 대상의 존재를 주장합니다. 엄밀히 말하면, 종이 위의 직선은 형식적 시스템 내에서 정의된 그들 대상의 인스턴스가 아니라 대상의 모델(models)입니다. 예를 들어, 유클리드 직선은 너비를 가지지 않지만, 실제 그려진 직선은 너비를 가질 것입니다. 거의 모든 현대 수학자들이 비-구성적 방법을 구성적 방법만큼 건전하다고 생각하지만, 유클리드의 구성적 증명은 종종 그릇된 비-구성적 방법을 대체했습니다—예를 들어, 무리수와 관련된 일부 피타고라스의 증명은 보통 "...의 최대 공통 약수를 찾으십시오"와 같은 명제를 요구했습니다.

유클리드는 종종 모순에 의한 증명(proof by contradiction)을 사용했습니다. 유클리드 기하학은 도형을 공간에서 또 다른 점으로 옮기는 중첩의 방법도 허용합니다. 예를 들어, 제안 I.4, 삼각형의 변-각도-변 합동은 변 중 하나가 다른 삼각형의 같은 변과 일치하도록 두 삼각형 중 하나를 움직이고, 그런-다음 다른 변도 마찬가지로 일치함을 입증함으로써 입증됩니다. 일부 현대 취급법은 중첩의 대안으로 사용될 수 있는 삼각형의 강성이라는 여섯 번째 공준을 추가합니다.

Notation and terminology

Naming of points and figures

점은 관례적으로 알파벳 대문자를 사용하여 이름-짓습니다. 직선, 삼각형, 또는 원과 같은 다른 도형은 관련된 도형에서 명확하게 선택할 수 있도록 충분한 수의 점을 나열하여 이름을 지정합니다. 예를 들어 삼각형 ABC는 전형적으로 점 A, B, 및 C에 꼭짓점을 갖는 삼각형입니다.

Complementary and supplementary angles

그 합이 직각인 각도는 보완적(complementary)이라고 불립니다. 반직선이 같은 꼭짓점을 공유하고 직각을 형성하는 두 개의 원래 반직선 사이의 방향을 가리킬 때 보완 각도가 형성됩니다. 두 개의 원래 반직선 사이에 있는 반직선의 수는 무한합니다.

그 합이 직선인 각도는 보충적(supplementary)입니다. 반직선이 같은 꼭짓점을 공유하고 직선 각도 (180도 각도)를 형성하는 두 개의 원래 반직선 사이에 있는 방향을 향할 때 보충 각도가 형성됩니다. 두 개의 원래 반직선 사이에 있는 반직선의 수는 무한합니다.

Modern versions of Euclid's notation

현대 용어에서, 각도는 통상적으로 도(degrees) 또는 라디안(radians)에서 측정됩니다.

현대 학교 교과서는 종종 직선 (무한), 반직선 (반-무한), 및 선분 (유한 길이)이라는 별도의 도형을 정의합니다. 유클리드는, 반직선을 한 방향으로 무한대로 확장되는 대상으로 논의하기보다는, 통상적으로 "직선이 충분한 길이로 연장되면"과 같은 표현을 사용하지만, 그는 때때로 "무한한 직선"을 언급하기도 합니다. 유클리드에서 "직선"은 직선일 수도 있고 곡선일 수도 있고, 그는 필요할 때 더 구체적인 용어인 "바른 직선"을 사용했습니다.

Some important or well known results

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  The pons asinorum or bridge of asses theorem states that in an isosceles triangle, α = β and γ = δ.
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  The triangle angle sum theorem states that the sum of the three angles of any triangle, in this case angles α, β, and γ, will always equal 180 degrees.
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  The Pythagorean theorem states that the sum of the areas of the two squares on the legs (a and b) of a right triangle equals the area of the square on the hypotenuse (c).
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  Thales' theorem states that if AC is a diameter, then the angle at B is a right angle.

Pons asinorum

폰 사시노름(pons asinorum, 당나귀의 다리)은 이등변 삼각형에서 밑면의 각도가 서로 같고, 같은 직선이 더 연장되면 밑면 아래의 각도가 서로 같다고 말합니다. 그 이름은 독자 지능의 원론에서 첫 번째 실제 테스트와 뒤따르는 더 어려운 제안에 대한 다리로서의 빈번한 역할에 기인할 수 있습니다. 그것은 역시 발이 튼튼한 당나귀만이 건널 수 있는 가파른 다리와 기하학적 모양이 닮았기 때문에 그렇게 이름이 붙여졌을 수도 있습니다.

Congruence of triangles

Congruence of triangles is determined by specifying two sides and the angle between them (SAS), two angles and the side between them (ASA) or two angles and a corresponding adjacent side (AAS). Specifying two sides and an adjacent angle (SSA), however, can yield two distinct possible triangles unless the angle specified is a right angle.

삼각형은 만약 그것들이 모두 같은 세 변을 가지거나 (SSS), 두 변과 그 사이의 각도가 같거나 (SAS), 두 각과 한 변이 같으면 (ASA) 합동입니다 (책 I, 제안 4, 8, 및 26). 세 개의 같은 각도를 갖는 삼각형 (AAA)은 닮음이지만, 반드시 합동인 것은 아닙니다. 역시, 두 개의 같은 변과 인접한 각도를 갖는 삼각형은 반드시 같거나 합동은 아닙니다.

Triangle angle sum

삼각형의 각도들의 합은 평각 (180도)과 같습니다. 이것은 등변 삼각형이 60도의 세 개의 내부 각도를 갖도록 합니다. 역시, 그것은 모든 각 삼각형이 적어도 두 개의 예각과 최대 하나의 둔각(obtuse) 또는 직각(right angle)을 갖도록 합니다.

Pythagorean theorem

유명한 피타고라스의 정리 (책 I, 제안 47)는, 임의의 직각 삼각형에서, 한 변이 빗변 (직각의 반대쪽 변)인 정사각형의 넓이는 한 변이 두 개의 다리 (직각에서 만나는 두 개의 변)인 정사각형의 넓이의 합과 같다고 말합니다.

Thales' theorem

밀레토스의 탈레스(Thales of Miletus)의 이름을 딴 탈레스의 정리(Thales' theorem)는, 만약 A, B, 및 C가 원 위의 점이고 직선 AC가 원의 지름이면, 각도 ABC는 직각이라고 말합니다. 칸토어는 탈레스가 유클리드 책 III, 제안 31의 방식을 따라 유클리드 책 I, 제안 32를 수단으로 자신의 정리를 증명했다고 가정했습니다.

Scaling of area and volume

현대 용어에서, 평면 도형의 넓이는 임의의 선형 치수의 제곱에 비례, $A\propto L^{2}$이고, 고체의 부피는 세제곱에 비례, $V\propto L^{3}$입니다. 유클리드는 원의 넓이와 평행-육면체의 부피와 같은 다양한 특수한 경우에서 이들 결과를 입증했습니다. 유클리드는 관련된 비례 상수의 전부는 아니지만 일부를 결정했습니다. 예를 들어, 구의 부피가 둘레-접하는 원기둥의 2/3임을 증명한 사람은 그의 후계자 아르키메데스였습니다.

System of measurement and arithmetic

유클리드 기하학은 두 가지 기본적인 측정 유형: 각도(angle)와 거리(distance)를 가집니다. 각도 스케일은 절대적이고, 유클리드는, 예를 들어, 45-도(degree) 각도는 직각의 절반으로 참조되도록 그의 기본 단위로 직각(right angle)을 사용합니다. 거리 스케일은 상대적입니다; 특정 비-영 길이를 갖는 선분을 단위로 임의적으로 선택하고, 다른 거리를 이와 관련하여 표현합니다. 거리의 덧셈은 하나의 선분을 또 다른 선분의 끝에 복사하여 길이를 늘리는 구성으로 표현되고, 유사하게 뺄셈을 표현합니다.

넓이(area)와 부피(volume)의 측정은 거리에서 파생됩니다. 예를 들어, 너비 3이고 길이 4를 갖는 직사각형(rectangle)은 곱, 12를 나타내는 넓이를 가집니다. 이러한 곱셈의 기하학적 해석은 삼-차원으로 제한되었기 때문에, 4 이상 숫자의 곱을 직접 해석하는 방법이 없었고, 유클리드는 예를 들어 책 IX, 제안 20의 증명에 암시되어 있지만 그러한 곱을 피했습니다.

An example of congruence. The two figures on the left are congruent, while the third is similar to them. The last figure is neither. Congruences alter some properties, such as location and orientation, but leave others unchanged, like distance and angles. The latter sort of properties are called invariants and studying them is the essence of geometry.

유클리드는 한 쌍의 직선 또는 한 쌍의 평면 또는 고체 도형을 만약 그것들의 길이, 넓이 또는 부피가 각각 같고, 각도에 대해서도 유사하면 "같은" (ἴσος)것이라고 참조합니다. 더 강한 용어, "합동"은 전체 도형이 다른 도형과 크기와 모양이 같다는 아이디어를 참조합니다. 대안적으로, 두 도형은 만약 하나가 다른 하나와 정확하게 일치하도록 그 위에 이동할 수 있으면 합동입니다. (뒤집는 것은 허용됩니다.) 따라서, 예를 들어, 2x6 직사각형과 3x4 직사각형은 같지만 합동이 아니고, 문자 R은 거울 이미지와 합동입니다. 서로 다른 크기를 제외하고 합동인 도형은 닮은 도형이라고 참조됩니다. 한 쌍의 닮은 모양에서 대응하는 각도는 합동이고 대응하는 변은 서로 비례적입니다.

Applications

수학에서 유클리드 기하학의 기본적 지위 때문에, 여기에 응용의 대표적인 표본 이상을 제공하는 것은 비-실용적입니다.

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  A surveyor uses a level
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  Sphere packing applies to a stack of oranges.
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  A parabolic mirror brings parallel rays of light to a focus.

단어의 어원에서 알 수 있듯이, 기하학에 대한 가장 초기의 관심 이유 중 하나이자 현재 가장 공통적으로 사용되는 기하학 중 하나는 측량(surveying)이고, 3-4-5 삼각형의 직각 속성과 같은 유클리드 기하학으로부터 특정 실제 결과가 형식적으로 입증되기 오래 전에 사용되었습니다. 유클리드 기하학에서 기본적인 측정 유형은 거리와 각도이며, 둘 다 측량사에 의해 직접 측정될 수 있습니다. 역사적으로, 거리는 종종 군터의 체인(Gunter's chain)과 같은 체인으로 측정되었고, 눈금이 매겨진 원과 나중에는 경위(theodolite)를 사용하여 각도를 측정했습니다.

유클리드 고체 기하학의 응용은 n 차원에서 가장 효율적인 구의 패킹(packing of spheres)을 찾는 문제와 같은 패킹 배열의 결정(determination of packing arrangements)입니다. 이 문제는 오류 감지와 수정(error detection and correction)에 적용됩니다.

기하학적 광학(Geometric optics)은 유클리드 기하학을 렌즈와 거울에 의한 빛의 초점을 분석하기 위해 사용합니다.

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  Geometry is used in art and architecture.
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  The water tower consists of a cone, a cylinder, and a hemisphere. Its volume can be calculated using solid geometry.
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  Geometry can be used to design origami.

기하학은 건축(architecture)에서 광범위하게 사용됩니다.

기하학은 오리가미(origami)를 디자인하기 위해 사용될 수 있습니다. 일부 고전적인 기하학 구성 문제는 컴퍼스와 직선자를 사용하면 불가능하지만, 오리가미를 사용하면 해결될 수 있습니다.

CAD (컴퓨터-지원 설계)와 CAM (컴퓨터-지원 제조)의 대부분은 유클리드 기하학을 기반으로 합니다. 설계 기하학은 전형적으로 평면, 원기둥, 원뿔, 토러스, 및 기타 닮은 모양에 의해 둘러싸인 모양으로 구성됩니다. 오늘날, CAD/CAM은 자동차, 비행기, 선박, 및 스마트폰을 포함하여 거의 모든 각 디자인에 필수적입니다. 수십 년 전에는, 세련된 기안자들이 파스칼의 정리(Pascal's theorem)와 브리앙숑의 정리(Brianchon's theorem)와 같은 것을 포함하여 상당히 진보된 유클리드 기하학을 배웠지만 현대에는 더 이상 필요하지 않습니다.

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Later work

Archimedes and Apollonius

A sphere has 2/3 the volume and surface area of its circumscribing cylinder. A sphere and cylinder were placed on the tomb of Archimedes at his request.

아르키메데스 (기원전 약 287년 – 기원전 약 212년)는 많은 역사적 일화가 기록된 다채로운 인물로, 유클리드와 함께 가장 위대한 고대 수학자 중 한 명으로 기억됩니다. 비록 그의 연구의 토대는 유클리드에 의해 마련되었지만, 유클리드와는 달리 그의 연구는 전체적으로 독창적인 것으로 믿어집니다. 그는 이-차원과 삼-차원에서 다양한 도형의 부피와 넓이에 대한 방정식을 입증했고, 유한한 숫자의 아르키메데스 속성(Archimedean property)을 설명했습니다.

페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga) (기원전 약 262년 – 기원전 약 190년)는 주로 원뿔 단면의 조사로 유명합니다.

René Descartes. Portrait after Frans Hals, 1648.

17th century: Descartes

르네 데카르트(René Descartes) (1596–1650)는 기하학을 대수학으로 바꾸는 데 초점을 맞춘 기하학을 형식화하는 대안적인 방법, 해석적 기하학(analytic geometry)을 개발했습니다.

이 접근 방식에서, 평면 위의 한 점은 데카르트 (x, y) 좌표에 의해 표시되고, 한 직선은 그것의 방정식에 의해 표시되고, 이런 식입니다.

유클리드의 원래 접근 방식에서, 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)는 유클리드의 공리를 따릅니다. 데카르트 접근 방식에서, 공리는 대수학의 공리이고, 피타고라스의 정리를 표현하는 방정식은 유클리드의 공리에서 용어 중 하나의 정의이며, 이는 이제 정리로 고려됩니다.

두 점 P = (p_x, p_y)와 Q = (q_x, q_y) 사이의 거리를 정의하는 다음 방정식은

$|PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,$

그런-다음 유클리드 메트릭으로 알려져 있고, 다른 메트릭은 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)을 정의합니다.

해석적 기하학의 관점에서, 고전 기하학을 컴퍼스와 직선자 구성으로의 제한은 일-차 및 이-차 방정식, 예를 들어, y = 2x + 1 (직선), 또는 x² + y² = 7 (원)으로의 제한을 의미합니다.

역시 17세기에서, 원근법(perspective)의 이론에 동기를 부여받은 지라르 데자그르(Girard Desargues)는 이상화된 무한대에서 점, 직선, 및 평면이라는 개념을 도입했습니다. 그 결과는 일반화된 기하학의 일종, 투영 기하학(projective geometry)으로 볼 수 있지만, 그것은 역시 특수한 경우의 수가 줄어든 보통의 유클리드 기하학에서 증명을 생성하기 위해 사용될 수 있습니다.

Squaring the circle: the areas of this square and this circle are equal. In 1882, it was proven that this figure cannot be constructed in a finite number of steps with an idealized compass and straightedge.

18th century

18세기의 기하학자들은 유클리드 시스템의 경계를 정의하는 데 어려움을 겪었습니다. 많은 사람들이 처음 네 가지 공준에서 다섯 번째 공준을 증명하려고 헛되이 노력했습니다. 1763년까지, 적어도 28개의 서로 다른 증명이 출판되었지만, 모두 잘못된 것으로 밝혀졌습니다.

이 기간에 이르기까지, 기하학자들은 역시 유클리드 기하학에서 어떤 구성이 성취될 수 있는지 결정하려고 노력했습니다. 예를 들어, 컴퍼스와 직선자를 사용하여 각도를 삼등분(trisecting an angle)하는 문제는, 공리가 그들 도구로 수행될 수 있는 구성 작업을 참조하기 때문에 이론 내에서 자연스럽게 발생하는 문제입니다. 어쨌든, 피에르 완젤(Pierre Wantzel)이 1837년에 그러한 구성이 불가능하다는 증명을 발표할 때까지 수 세기에 걸친 노력은 이 문제에 대한 해결책을 찾지 못했습니다. 불가능한 것으로 판명된 다른 구성에는 정육면체를 두 배(doubling the cube)로 늘리고 원을 정사각형화(squaring the circle)하는 것을 포함합니다. 정육면체를 두 배로 하는 경우에서, 구성의 불가능성이 컴퍼스와 직선자 방법은 그들 차수가 2의 정수 거듭제곱인 방정식을 포함하는 반면, 정육면체를 두 배로 만드는 것은 삼-차 방정식의 해를 요구한다는 사실에서 비롯됩니다.

오일러(Euler)는 아핀 기하학(affine geometry)이라고 하는 유클리드 기하학의 일반화에 대해 논의했으며, 이는 수정되지 않은 다섯 번째 공준을 유지하면서 각도의 개념을 제거 (직각 삼각형이 의미가 없게 되는 경우)하고 일반적으로 선분 길이의 상등에 대한 개념을 제거 (원이 무의미해지는 경우)하는 방식으로 3과 4 공준을 약화시키면서 직선 사이의 동치 관계(equivalence relation)로서의 평행성 개념과 평행 선분 길이의 상등 (따라서 선분은 계속 중간점을 가짐)을 유지합니다.

19th century

Comparison of elliptic, Euclidean and hyperbolic geometries in two dimensions

19세기 초에서, 카르노(Carnot)와 뫼비우스(Möbius)는 결과를 단순화하고 통합하는 방법으로 부호화된 각도와 선분의 사용을 시스템적으로 개발했습니다.

Higher dimensions

1840년대에, 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)은 쿼터니언(quaternions)을 개발했고, 존 토머스 그레이브스(John T. Graves)와 아서 케일리(Arthur Cayley)는 옥토니언(octonions)을 개발했습니다. 이들은 복소수(complex numbers)를 확장하는 노름화된 대수(normed algebras)입니다. 나중에 쿼터니언이 네 개의 실수 데카르트 좌표를 갖는 유클리드 기하학 시스템이라는 것이 이해되었습니다. 케일리는 쿼터니언을 4-차원 유클리드 공간에서 회전을 연구하기 위해 사용했습니다.

세기 중반에 루트비히 슐레플리(Ludwig Schläfli)는 유클리드 기하학을 더 높은 차원으로 확장하여 유클리드 공간(Euclidean space)의 일반적인 개념을 개발했습니다. 그는 다각형(polygons)과 다면체(polyhedra)의 고차원 아날로그인 나중에 폴리토프(polytopes)라고 불리는 폴리스킴(polyschemes)을 정의했습니다. 그는 그것들의 이론을 발전시켰고 모든 정규 폴리토프, 즉, 정규 다각형과 플라톤 고체(Platonic solids)의 $n$-차원 아날로그를 발견했습니다. 그는 차원 4에서 6개의 정규 볼록 폴리토프가 있고, 모든 더 높은 차원에서 3개가 있음을 발견했습니다.

Regular convex 4-polytopes
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 𝝅/2 squares x 3	4 𝝅/2 rectangles x 3	4 𝝅/3 hexagons x 4	12 𝝅/5 decagons x 6	50 𝝅/15 dodecagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon	1 octagon	2 octagons	2 dodecagons	4 30-gons	20 30-gons
Isocline polygrams		1 octagram3 √4	2 octagram3 √4	4 hexagram2 √3	4 30-gram2 √1	20 30-gram2 √1
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

슐레플리는 상대적으로 모호하게 이 연구를 수행했고 1901년 사후에야 전체가 출판되었습니다. 1948년 H.S.M. 콕서터(H.S.M. Coxeter)에 의해 재발견되고 완전하게 문서화하기 전까지는 거의 영향을 미치지 않았습니다.

1878년에 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford)는 현재 기하학적 대수(geometric algebra)라고 이름-지은 것을 도입하여, 해밀턴의 쿼터니언을 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)의 대수와 통합하고 특히 4차원에서 이들 시스템의 기하학적 본성을 밝혔습니다. 기하학적 대수학의 연산은 새 위치로 모델링되는 기하학적 대상을 반사, 회전, 평행이동, 및 매핑의 효과를 가집니다. 3-구의 표면의 클리포드 토러스(Clifford torus)는 두 원의 데카르트 곱의 가장 단순하고 가장 대칭적인 평면 삽입입니다 (원기둥의 표면이 "플랫"인 것과 같은 의미에서).

Non-Euclidean geometry

1830년경에 보여이 야노시(János Bolyai)와 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키(Nikolai Ivanovich Lobachevsky)가 평행 공준이 유효하지 않은 비-유클리드 기하학에 대한 연구를 개별적으로 발표했을 때, 기하학에서 세기의 가장 영향력 있는 발전이 일어났습니다. 비-유클리드 기하학은 유클리드 기하학과 상대적으로 일관적임을 입증할 수 있기 때문에 평행 공준은 다른 공준으로부터 입증될 수 없습니다.

19세기에서, 유클리드의 10가지 공리와 공통 개념이 원론에 명시된 모든 정리를 입증하기에 충분하지 않다는 것도 깨달았습니다. 예를 들어, 유클리드는 임의의 직선이 적어도 두 개의 점을 포함한다고 암묵적으로 가정했지만, 이 가정은 다른 공리로부터 입증될 수 없고, 따라서 공리 자체여야 합니다. 위의 그림에 보이는 것처럼 원론에서 첫 번째 기하학적 증명은 임의의 선분이 삼각형의 일부라는 것입니다; 유클리드는 두 끝점 주위에 원을 그리고 그것들의 교차점을 세 번째 꼭짓점으로 취함으로써 보통의 방법으로 이것을 구성합니다. 그의 공리는, 어쨌든, 원들이 실제로 교차한다는 것을 보장하지 않는데, 왜냐하면 그것들은 데카르트 용어로 실수의 완비성(completeness) 속성과 동등한 연속성의 기하학적 속성을 주장하지 않기 때문입니다. 1882년 모리츠 파쉬(Moritz Pasch)를 시작으로, 기하학에 대한 많은 개선된 공리적 시스템이 제안되어 왔으며, 가장 잘 알려진 것은 힐베르트(Hilbert), 조지 버코프(George Birkhoff), 및 타르스키(Tarski)의 시스템입니다.

20th century and relativity

A disproof of Euclidean geometry as a description of physical space. In a 1919 test of the general theory of relativity, stars (marked with short horizontal lines) were photographed during a solar eclipse. The rays of starlight were bent by the Sun's gravity on their way to Earth. This is interpreted as evidence in favor of Einstein's prediction that gravity would cause deviations from Euclidean geometry.

아인슈타인의 특수 상대성(special relativity)은 비-유클리드인 민코프스키 공간, 4-차원 시공간을 포함합니다. 이것은 평행 공준(parallel postulate)이 입증될 수 없음을 보여주기 위해 몇 년 전에 도입된 비-유클리드 기하학이 물리적 세계를 설명하는 데에도 유용하다는 것을 보여줍니다.

어쨌든, 민코프스키 공간의 삼-차원 "공간 부분"은 유클리드 기하학의 공간으로 남아 있습니다. 이것은 시공간의 공간 부분의 기하학이 유클리드 기하학이 아닌 일반 상대성(general relativity)을 갖는 경우가 아닙니다. 예를 들어, 만약 삼각형이 세 개의 빛의 반직선으로 구성되면, 일반적으로 내부 각도는 합해서 중력으로 인해 180도가 되지 않습니다. 지구나 태양과 같이 상대적으로 약한 중력 필드는 근사적으로 유클리드이지만 정확하지는 않은 메트릭으로 표현됩니다. 20세기까지, 유클리드 기하학에서 빛의 반직선에서 이들 편차를 감지할 수 있는 기술이 없었지만, 아인슈타인은 그러한 편차가 존재할 것이라고 예측했습니다. 그것들은 나중에 1919년 일식 동안 태양에 의해 별빛이 약간 구부러지는 것과 같은 관찰에 의해 확인되었고, 그러한 고려 사항은 이제 GPS 시스템을 실행하는 소프트웨어의 필수적인 부분입니다.

As a description of the structure of space

유클리드는 그의 공리(axioms)가 물리적 현실에 대한 자명한 진술이라고 믿었습니다. 유클리드의 증명은 아마도 유클리드의 기본 공리, 특히 도형의 특정 움직임, 도형의 평행이동, 반사, 및 회전을 포함하는 소위 유클리드 운동이 변의 길이와 내부 각도와 같은 기하학적 속성을 변경하지 않는다는 분명하지 않은 가정에 의존합니다. 공간의 물리적 설명으로 취해진, 공준 2 (직선의 연장)는 해당 공간이 구멍 또는 경계를 가지지 않는다고 주장합니다; 공준 4 (직각의 상등)는 공간이 등방적(isotropic)이고 도형은 합동(congruence)을 유지하면서 임의의 위치로 이동할 수 있다고 말합니다; 그리고 공간이 평평하다는 공준 5 (평행 공준)입니다 (고유 곡률을 가지지 않습니다).

위에서 논의한 바와 같이, 알베르트 아인슈타인의 상대성 이론(theory of relativity)은 이러한 견해를 상당히 수정합니다.

유클리드에 의해 원래 공식화된 공리의 모호한 특성은 다른 주석가가 그것이 무한인지 여부 (아래 참조)와 그것의 토폴로지(topology)가 무엇인지와 같은 공간 구조에 대한 일부 다른 의미에 대한 의견-불일치를 만들 수 있습니다. 현대적인, 보다 엄격한 시스템 재구성은 전형적으로 이들 문제를 보다 명확하게 분리하는 것을 목표로 합니다. 보다 현대적인 접근 방식의 정신으로 유클리드의 공리를 해석하면, 공리 1–4는 무한 공간 또는 (타원 기하학에서와 같이) 유한 공간과 일관적이고, 모든 다섯 공리가 다양한 토폴로지 (예를 들어, 평면, 원기둥, 또는 이-차원 유클리드 기하학의 토러스)와 일관적입니다.

Treatment of infinity

Infinite objects

유클리드는 때때로 "유한 직선" (예를 들어, 공준 2)과 "무한 직선" (책 I, 제안 12) 사이를 명시적으로 구분했습니다. 어쨌든, 그는 전형적으로 필요하지 않은 한 그러한 구분을 하지 않았습니다. 공준은 무한 직선을 명시적으로 언급하지 않지만, 예를 들어 일부 주석가는 공준 3, 임의의 반지름을 갖는 원의 존재를 해당 공간이 무한하다는 것을 암시하는 것으로 해석합니다.

무한소 양(infinitesimal quantities)의 개념은 이전에 엘리아 학파(Eleatic School)에서 광범위하게 논의되어 왔었지만, 아무도 보편적인 만족으로 해결되지 않은 제논의 역설(Zeno's paradox)과 같은 역설이 발생하여 확고한 논리적 기반에 놓을 수 없었습니다. 유클리드는 무한소보다는 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했습니다.

프로크로스(Proclus) (기원전 410–485)와 같은 후기 고대 주석가들은 무한에 대한 많은 질문을 증명을 요구하는 문제로 취급했으며, 예를 들어 프로크로스는 그가 직선을 구성하는 짝수의 점과 홀수의 점을 고려한 모순에 의한 증명을 기반으로 직선의 무한한 나눔-가능성을 입증한다고 주장했습니다.

20세기 초에 오토 슈톨츠(Otto Stolz), 폴 뒤 부아-레몽(Paul du Bois-Reymond), 주세페 베로네세(Giuseppe Veronese), 등은 뉴턴-라이프니츠 의미에서 두 점 사이의 거리가 무한하거나 무한소일 수 있는 유클리드 기하학의 비-아르키메데스(non-Archimedean) 모델에 대한 논란이 되는 연구를 수행했습니다. 50년 후, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 베로네세의 연구에 대한 엄격한 논리적 토대를 제공했습니다.

Infinite processes

고대인들이 평행 공준을 다른 공준보다 확실하지 않은 것으로 취급한 한 가지 이유는 그것을 물리적으로 확인하는 것이 두 직선이 매우 먼 지점에서도 교차하지 않았는지 확인하기 위해 두 직선을 검사해야 하고, 이 검사는 잠재적으로 무한한 양의 시간이 필요할 수 있기 때문입니다.

귀납법에 의한 증명(proof by induction)의 현대적 공식은 17세기까지 발전되지 않았지만, 일부 후기 주석가들은 예를 들어 소수의 무한성의 증명과 같은 일부 유클리드의 증명에 암시적으로 포함되어 있다고 고려합니다.

제논의 역설(Zeno's paradox)과 같은 무한 급수를 포함하는 제안된 역설은 유클리드보다 앞서 있습니다. 유클리드는 예를 들어 IX.35에서 항의 수가 무한대가 될 가능성에 대해 언급하지 않고 기하 급수(geometric series)의 부분 합에 대한 표현을 제공함으로써 그러한 논의를 피했습니다.

Logical basis

See also: Hilbert's axioms, Axiomatic system, and Real closed field

Classical logic

유클리드는 모순에 의한 증명(proof by contradiction) 방법을 자주 사용했고, 따라서 유클리드 기하학의 전통적인 표현은 모든 각 제안이 참이거나 거짓인, 즉, 임의의 제안 P에 대해, 제안 "P or not P"는 자동적으로 참인 고전 논리(classical logic)를 가정합니다.

Modern standards of rigor

유클리드 기하학을 견고한 공리적 기초 위에 두는 것은 수세기 동안 수학자들의 선입견이었습니다. 원시 개념(primitive notions) 또는 정의되지 않은 개념의 역할은 1900년 파리 회의에서 대표단 페아노의 알레산드로 파도아(Alessandro Padoa)에 의해 명확하게 제시되었습니다:

...우리가 그 이론을 공식화하기 시작할 때, 우리는 정의되지 않은 기호는 의미의 완전하게 결여된 것이고 증명되지 않은 제안은 단순히 정의되지 않은 기호에 부과된 조건일 뿐이라고 상상할 수 있습니다.

그런-다음, 우리가 처음에 선택한 아이디어의 시스템은 정의되지 않은 기호의 하나의 해석일 뿐입니다; 그러나..이 해석은 독자에 의해 무시될 수 있으며, 독자는 마음속에서 그것을 조건을 만족시키는 또 다른 해석으로 대체할 수 있습니다...

논리적 질문은 따라서 경험적 또는 심리적 질문과 완전하게 독립적이 됩니다...

정의되지 않은 기호의 시스템은 그런-다음...정의되지 않은 기호의 시스템이 각각의 해석으로 연속적으로 대체될 때...초래하는 전문화된 이론에서 얻은 추상화로 고려될 수 있습니다.

— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

즉, 수학은 계층 구조 내에서 문맥-독립적인 지식입니다. 버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 이렇게 말했습니다:

만약 우리의 가설이 무엇이든에 관한 것이고, 하나 이상의 특정한 것에 대한 것이 아니면, 우리의 추론은 수학을 구성합니다. 따라서, 수학은 우리가 무슨 말을 하는지 결코 알 수 없거나, 우리가 말하는 것이 참인지 여부를 알 수 없는 주제로 정의될 수 있습니다.

— Bertrand Russell, Mathematics and the metaphysicians

그러한 토대적인 접근 방식은 토대주의(foundationalism)와 형식주의(formalism) 사이의 범위에 있습니다.

Axiomatic formulations

기하학은 잘못된 도형에 대한 올바른 추론의 과학입니다.

— George Pólya, How to Solve It, p. 208

• 유클리드의 공리: 케임브리지의 트리니티 대학에 제출한 논문에서, 버트런드 러셀은 당시까지 철학자들의 마음에서 유클리드 기하학의 변화하는 역할을 요약했습니다. 그것은 실험과 독립적인 특정 지식과 실험적 입력을 요구하는 경험주의 사이의 갈등이었습니다. 이 문제는 평행 공준이 반드시 유효한 것은 아니고 그 적용-가능성이 경험적 문제라는 것이 발견되면서 명확해졌으며, 적용-가능한 기하학이 유클리드인지 비-유클리드인지를 결정합니다.
• 힐베르트의 공리: 힐베르트의 공리는 가장 중요한 기하학적 정리가 추론될 수 있는 단순하고 완전한 독립적인 공리의 집합을 식별하는 것을 목표로 했습니다. 뛰어난 목적은 유클리드 기하학을 엄격하게 만들고 (숨겨진 가정을 피함) 평행 공준의 결과를 명확히 하는 것이었습니다.
• 버코프의 공리(Birkhoff's axioms): 버코프는 스케일과 각도기와 함께 실험적으로 확인될 수 있는 유클리드 기하학에 대한 네 가지 가정을 제안했습니다. 이 시스템은 실수의 속성에 크게 의존합니다. 각도와 거리의 개념은 원시적인 개념이 됩니다.
• 타르스키의 공리(Tarski's axioms): 알프레트 타르스키(Alfred Tarski) (1902–1983)와 그의 학생들은 기본 유클리드 기하학을 일-차 논리(first-order logic)로 표현될 수 있고 논리적 기반에 대해 집합 이론(set theory)에 의존하지 않는 기하학으로 정의했으며, 점 집합을 포함하는 힐베르트의 공리와 대조적입니다. 타르스키는 기본 유클리드 기하학의 그의 공리적 형식화가 어떤 의미에서 일관되고 완전하다는 것을 입증했습니다: 모든 각 제안에 대해, 참 또는 거짓을 보여줄 수 있는 알고리듬이 있습니다. (이것은 괴델의 정리(Gödel's theorem)를 위반하지 않는데, 왜냐하면 유클리드 기하학은 그 정리를 적용하기에 충분한 양의 산술(arithmetic)을 기술할 수 없기 때문입니다.) 이것은 기본 유클리드 기하학이 모델인 실수 닫힌 필드(real closed fields)의 결정-가능성과 동등합니다.

See also

• Absolute geometry
• Analytic geometry
• Birkhoff's axioms
• Cartesian coordinate system
• Hilbert's axioms
• Incidence geometry
• List of interactive geometry software
• Metric space
• Non-Euclidean geometry
• Ordered geometry
• Parallel postulate
• Type theory

Classical theorems

• Angle bisector theorem
• Butterfly theorem
• Ceva's theorem
• Heron's formula
• Menelaus' theorem
• Nine-point circle
• Pythagorean theorem

References

• Ball, W. W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W. H. Freeman.
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. ISBN 9780684865232.
• Nagel, E.; Newman, J. R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
• Stillwell, John (January 2001). "The Story of the 120-Cell" (PDF). Notices of the AMS. 48 (1): 17–25.

External links

• "Euclidean geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Plane trigonometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)