Root test

수학(mathematics)에서, 근 테스트(root test)는 무한 급수(infinite series)의 수렴(convergence) (수렴 테스트(convergence test))에 대해 기준입니다. 그것은 다음 양에 의존합니다:

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

여기서 $a_{n}$ 는 급수의 항이고, 급수가 만약 이 양이 일보다 작으면 절대적으로 수렴하지만, 만약 그것이 일보다 크면 발산한다고 말합니다. 그것은 특히 거듭제곱 급수(power series)와 연결에서 유용합니다.

Root test explanation

근 테스트는 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)에 의해 처음으로 개발되었으며 그는 그것을 그의 교과서 Cours d'analyse (1821)에 출판했습니다.^[1] 따라서, 그것은 때때로 코시의 근 테스트(Cauchy root test) 또는 코시의 제곱근 테스트(Cauchy's radical test)로 역시 알려져 있습니다. 다음 급수에 대해,

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.

근 테스트는 다음 숫자를 사용합니다:

C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

여기서 "lim sup"는 극한 상부(limit superior), 아마도 ∞+를 나타냅니다. ^[2] 만약 다음이면,

\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

그것은 C와 같고 대신에 근 테스트에서 사용될 수 있을 것임에 주목하십시오.

근 테스트는 다음임을 말합니다:

만약 C < 1이면 급수는 절대적으로 수렴하며(converges absolutely),
만약 C > 1이면 급수는 발산하며(diverges),
만약 C = 1이고 극한이 위로부터 엄격하게 접근하면 급수는 발산합니다.
그렇지 않으면 급수는 비-결정적입니다 (급수는 발산, 절대적으로 수렴 또는 조건적으로 수렴(converge conditionally)일 수 있습니다).

C = 1이고 급수가 수렴하는 일부 급수, 예를 들어, $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ 가 있고, C = 1이고 급수가 발산하는 다른 것, 예를 들어, $\textstyle \sum 1/n$ 가 있습니다.

Application to power series

이 테스트는 다음 거듭제곱 급수(power series)와 함께 사용될 수 있습니다:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}

여기서 계수 c_n, 및 중심 p는 복소수(complex number)이고 인수 z는 복소 변수입니다.

이 급수의 항은 그런-다음 a_n = c_n(z − p)ⁿ에 의해 주어집니다. 우리는 그런-다음 근 테스트를 위에서 처럼 a_n에 적용합니다. 때때로 이와 같은 급수는 "p 주위의" 거듭제곱 급수로 불리는데, 왜냐하면 수렴의 반지름(radius of convergence)은, 급수가 내부에서 엄격하게 모든 점 z에 대해 수렴할 것을 만족하도록, 가장-큰 구간 또는 p를 중심을 둔 디스크의 반지름 R입니다 (일반적으로 구간 또는 디스크의 경계 위에 수렴은 별도로 확인해야 합니다). 그러한 거듭제곱 급수에 적용되는 근 테스트의 따름정리(corollary)는 코시–아다마르 정리(Cauchy–Hadamard theorem)입니다: 수렴의 반지름은 정확히 $1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ 이며, 우리는 분모가 0이면 실제로 ∞를 의미하므로 주의가 필요합니다.

Proof

급수 Σa_n의 수렴의 증명은 비교 테스트(comparison test)의 응용입니다. 만약 모든 n ≥ N (N 어떤 고정된 자연수(natural number))에 대해 우리가 ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1$ 를 가지면, $|a_{n}|\leq k^{n}<1$ 입니다. 기하 급수(geometric series) $\sum _{n=N}^{\infty }k^{n}$ 는 수렴하므로, 비교 테스트에 의해 $\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|$ 역시 수렴합니다. 따라서 Σa_n는 절대적으로 수렴합니다.

만약 무한하게 많은 n에 대해 ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ 이면, a_n는 0으로 수렴을 실패하며, 따라서 급수는 발산합니다.

따름정리의 증명: 거듭제곱 급수 Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ에 대해, 우리는, 급수는 모든 n ≥ N에 대해 우리가, 모든 n ≥ N에 대해,

{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1

와 동등한, 다음을 가짐을 만족하는 N이 존재하면 수렴함을 위의 사실에 의해 압니다:

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,

이것은 급수가 수렴하기 위해 우리가 모든 충분하게 큰 n에 대해 $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ 을 가져야 함을 의미합니다. 이것은 다음을 말하는 것과 동등하므로

|z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},

$R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ 입니다. 이제 수렴이 가능한 유일한 다른 위치는 다음일 때입니다:

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,

(왜냐하면 points > 1는 발산일 것입니다) 그리고 이것은 수렴의 반지름을 변경하지 않을 것인데 왜냐하면 이들은 단지 구간 또는 디스크의 경계 위에 놓이는 점이므로, 다음입니다:

R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.

References

^ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.
^ Terrence Tichaona Dobbie (2017)

Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). "§ 2.35". A Course in Modern Analysis (fourth ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)

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[1] Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.

[2] Terrence Tichaona Dobbie (2017)

[1]

[2]

Root test explanation

Application to power series

Proof

See also

References