Stochastic calculus

확률론적 미적분(Stochastic calculus)은 확률적 과정(stochastic processes)에서 작동하는 수학(mathematics)의 한 가지입니다. 그것은 확률론적 과정에 관한 확률론적 과정의 적분(integrals)에 대해 일관된 적분의 이론을 정의되도록 허용합니다. 이 필드는 제2차 세계 대전 중 일본의 수학자 키요시 이토(Kiyoshi Itô)에 의해 만들어졌고 시작되었습니다.

확률론적 미적분이 적용되는 가장 잘 알려진 확률적 과정은 위너 과정(Wiener process, 노버트 위너(Norbert Wiener)를 기리며 이름-지어짐)으로, 1900년 루이 바슐리에(Louis Bachelier)와 1905년 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)에 의해 설명된 브라운 운동(Brownian motion)과 무작위 힘을 받는 입자의 공간에서 기타 물리적 확산(diffusion) 과정을 모델링하는 데 사용됩니다. 1970년대 이후, 위너 과정은 금융 수학(financial mathematics)과 경제학(economics)에서 주식 가격과 채권 이자율의 진화를 모델링하기 위해 광범위하게 적용되었습니다.

확률론적 미적분의 주요 특징은 이토 미적분과 변형과 관련된 말리아빈 미적분(Malliavin calculus)입니다. 기술적인 이유로 이토 적분은 과정의 일반 클래스에 가장 유용하지만, 관련된 스트라토노비치 적분(Stratonovich integral)은 문제 형식화 (특히 공학 분야)에서 자주 유용합니다. 스트라토노비치 적분은 이토 적분으로 쉽게 표현될 수 있습니다. 스트라토노비치 적분의 주요 이점은 보통의 체인 규칙(chain rule)을 따르고 따라서 이토의 보조정리(Itô's lemma)가 필요하지 않다는 것입니다. 이를 통해 좌표 시스템 불변 형식으로 문제를 표현할 수 있으며, 이것은 Rⁿ 이외의 매니폴드 위에 확률론적 미적분을 개발할 때 매우 중요합니다. 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)는 스트라토노비치 적분에 대해 유지되지 않습니다; 결과적으로 적분을 이토 형식으로 다시 표현하지 않고 결과를 증명하는 것은 매우 어렵습니다.

Itô integral

이토 적분(Itô integral)은 확률론적 미적분 연구의 핵심입니다. 적분 $\int H\,dX$ 는 반-마턴게일(semimartingale) X와 지역적으로 경계진 예측-가능한(predictable) 과정 H에 대해 정의됩니다.

Stratonovich integral

또 다른 반-마턴게일(semimartingale) Y에 대한 반-마턴게일 $X$ 의 스트라토노비치 적분은 이토 적분의 관점에서 다음과 같이 정의될 수 있습니다:

\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},

여기서 [X, Y]_t^c는 X와 Y의 연속 부분의 이차 공변동(quadratic covariation)을 나타냅니다. 다음과 같은 대안적인 표기법은 역시 스트라토노비치 적분을 나타내기 위해 사용됩니다:

\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}

Applications

확률론적 미적분의 중요한 응용 분야는 자산 가격이 확률론적 미분 방정식(stochastic differential equations)을 따르는 것으로 종종 가정되는 수학적 금융(mathematical finance)에 있습니다. 예를 들어, 블랙-숄즈 모델(Black–Scholes model)은 확률론적 미적분을 적용할 때의 기회와 위험을 설명하는 기하학적 브라운 운동(geometric Brownian motion)을 따르는 것처럼 옵션 가격을 책정합니다.

References

Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). "Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks". Journal of Theoretical Probability. 22: 203. arXiv:0712.3908. doi:10.1007/s10959-007-0140-8. Preprint

Itô integral

Stratonovich integral

Applications

See also

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