Tangent

기하학(geometry)에서, 주어진 점(point)에서 평면 곡선(curve)에 접하는 직선(tangent line) (또는 간단히 접(tangent))은 그 점에서 곡선을 "간신히 접촉하는" 직선(straight line)입니다. 라이프니츠(Leibniz)는 이것을 곡선 위의 무한히 근접한(infinitely close) 점의 한 쌍을 통과하는 직선으로 정의했습니다.^[1] 보다 정확하게, 직선은, 만약 곡선 위의 점 (c, f (c))을 통과하고 기울기 f '(c)를 가지면, 곡선 위의 점 x = c에서 곡선 y = f (x)의 접선이라고 말해지며, 여기서 f '은 f의 도함수(derivative)입니다. 비슷한 정의는 공간 곡선(space curve)과 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)의 곡선에 적용됩니다.

접선이 그 점을 통과하며 여기서 접선과 곡선이 만나므로, 접하는 점(point of tangency)으로 불리며, 접선은 곡선과 "같은 방향으로 나아가고", 따라서 그 점에서 곡선에 대한 최상의 직선 근사입니다.

마찬가지로, 주어진 점에서 표면(surface)에 대한 접 평면(tangent plane)은 그 점에서 표면을 "간신히 접촉하는" 평면(plane)입니다. 접하는 것의 개념은 미분 기하학(differential geometry)에서 가장 기본 개념의 하나이고 광범위하게 일반화되어 왔습니다; 접 공간(Tangent space)을 참조하십시오.

단어 "tanget"는, "접촉하는(to touch)"을 의미하는, 라틴어(Latin) tangere에서 유래합니다.

History

유클리드는 원론(Elements) (기원전 c. 300)의 책 III에서 원에 대한 접선 (ἐφαπτομένη ephaptoménē)에 여러 참조를 만들었습니다.^[2] 아폴로니우스(Apollonius)의 연구 Conics (기원전 c. 225)에서, 그는 탄젠트를 다른 직선이 그것과 곡선 사이에 빠질 수 없는 것을 만족하는 직선인 것으로 정의합니다.^[3]

아르키메데스(Archimedes) (기원전 c. 287–212)는 곡선을 따라 움직이는 점의 경로를 고려함으로써 아르키메데스 나선(Archimedean spiral)에 접하는 것을 발견했습니다.^[3]

1630년대에서, 페르마(Fermat)는 해석학에서 접선 및 다른 문제를 계산하기 위해 적합성(adequality)의 기법을 개발했고 이것을 포물선에 대한 접선을 계산하기 위해 사용했습니다. 적합성의 기법은 $f(x+h)$ 와 $f(x)$ 의 차이를 취하고 $h$ 의 거듭제곱으로 나누는 것과 유사합니다. 독립적으로, 데카르트(Descartes)는 원의 반지름이 항상 원 자체에 수직이라는 관찰에 기초한 그의 법선의 방법(method of normals)을 사용했습니다.^[4]

이들 방법은 17세기에서 미분 미적분학(differential calculus)의 발달로 이어졌습니다. 많은 사람들이 기여했습니다. 로베르발(Roberval)은, 곡선을 그의 운동이 여러 더 간단한 운동의 결과인 움직이는 점에 의해 설명된 것으로 고려함으로써, 접선을 그리는 일반적인 방법을 발견했습니다.^[5] 르네 프랑수아 드 슬루즈(René-François de Sluse) 및 요하네스 후데(Johannes Hudde)는 접선을 찾기 위한 대수적 알고리듬을 발견했습니다.^[6] 추가적인 개발은 존 월리스(John Wallis) 및 아이작 배로(Isaac Barrow)의 그것을 포함하며, 아이작 뉴턴(Isaac Newton) 및 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)의 이론이 이어집니다.

접선의 1828년 정의는 "곡선에 닿지만, 생성될 때, 그것을 자르지 않는 수직 직선(a right line which touches a curve, but which when produced, does not cut it)"이었습니다.^[7] 이 오래된 정의는 임의의 접선을 가지는 것으로부터 변곡점(inflection point)을 방지합니다. 그것은 사라져 왔고 현대의 정의는 라이프니츠(Leibniz)의 그것과 동등한데, 그는 접선을 곡선 위의 무한히 가까운(infinitely close) 점의 쌍을 통한 직선으로 정의했습니다.

Tangent line to a curve

접선이 곡선에 "접촉하는" 것인 직관적인 개념은 함수 곡선 위에 놓이는 두 점, A와 B를 통과하는 직선 (가름선(secant line))의 수열을 고려함으로써 보다 명확하게 만들어질 수 있습니다. A에서 접선은 점 B가 A에 접근하는 또는 경향이 있을 때 극한입니다. 접선의 존재와 고유성은 "미분-가능성"으로 알려진 수학적 매끄러움의 특정 유형에 의존합니다. 예를 들어, 만약 두 원호가 날카로운 점 (꼭짓점)에서 만나면, 꼭짓점에서 고유하게 정의된 접선이 없는데 왜냐하면 가름선의 진행의 극한은 "점 B"가 꼭짓점에 접근하는 방향에 의존하기 때문입니다.

대부분의 점에서, 접선은 곡선을 가로지르는 것없이 (비록 그것이, 계속되었을 때, 접점으로부터 떨어진 다른 위치에서 곡선을 가로지를지라도) 곡선에 접촉합니다. 접선 (이 점에서) 곡선을 가로지르는 점은 변곡점(inflection point)으로 불립니다. 원(circle), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola) 및 타원(ellipse)은 임의의 변곡점을 가지지 않지만, 더 복잡한 곡선은 변곡점을 가지는데, 삼차 함수(cubic function)의 그래프는 정확하게 하나의 변곡점을 가질 수 있고, 사인파는 사인(sine)의 각 주기(period) 당 두 변곡점을 가집니다.

반대로, 곡선이 그것 위의 한 점을 통과하는 직선의 한 쪽에 전적으로 놓일 수 있고, 여전히 이 직선은 접선이 아닌 것으로 발생할 수 있습니다. 이것은, 예를 들어, 삼각형(triangle)의 꼭짓점을 통과하고 그 외에 그것을 교차하지 않는 직선의 경우입니다—여기서 접선은 위에서 설명된 이유로 존재하지 않습니다. 볼록 기하학(convex geometry)에서, 그러한 직선은 받치는 직선(supporting lines)으로 불립니다.

At each point, the moving line is always tangent to the curve. Its slope is the derivative; green marks positive derivative, red marks negative derivative and black marks zero derivative. The point (x,y) = (0,1) where the tangent intersects the curve, is not a max, or a min, but is a point of inflection.

Analytical approach

가름선의 극한으로 접선의 기하학적 아이디어는 명시적으로 접선을 찾기 위해 사용되는 해석적 방법에 대한 동기-부여 역할을 합니다. 그래프에 대한 접선을 찾는 질문, 또는 접하는 직선 문제는 17세기에서 미적분학(calculus)의 개발을 이끄는 주요 질문 중 하나였습니다. 그의 Geometry의 두 번째 책에서, 르네 데카르트(René Descartes)는^[8] 곡선에 대한 접선을 구성하는 문제에 대해 말했습니다, "이것은 내가 아는 기하학에서 가장 유용하고 가장 일반적인 문제일뿐 아니라, 한층 더 내가 알기를 계속 희망해 왔던 것이라고 감히 말합니다".^[9]

Intuitive description

곡선이 함수(function), y = f(x)의 그래프로 제공된다고 가정합니다. 점 p = (a, f(a))에서 접선을 찾기 위해, 곡선 위의 또 다른 가까운 점 q = (a + h, f(a + h))을 생각해 보십시오. p와 q를 통과하는 가름선(secant line)의 기울기(slope)는 다음 차이 몫(difference quotient)과 같습니다:

{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

점 q를 p에 접근할 때, 이것은 h를 점점 더 작게 만드는 것에 해당하며, 차이 몫은 특정 극한하는 값 k에 접근해야 하며, 이것은 그 점 p에서 접선의 기울기입니다. 만약 k가 알려지면, 접선의 방정식은 점-기울기 형식으로 구할 수 있습니다:

y-f(a)=k(x-a).\,

More rigorous description

이전 추론을 엄격하게 만들기 위해, 우리는 특정 극한하는 값 k에 접근하는 차이 몫이 무엇을 의미하는지 설명해야 합니다. 정확한 수학적 공식은 19세기에서 코시(Cauchy)에 의해 제공되었고 극한(limit)의 개념에 기초하고 있습니다. 그래프가 p에서 끊어진 또는 날카로운 가장자리를 가지지 않고 그것은 p 근처에서 수직도 아니고 너무 흔들리지도 않는 것으로 가정합니다. 그런-다음, h가 0에 접근할 때, 차이 몫이 k에 점점 더 가까워지고, 그들 사이의 거리는, 만약 h가 충분히 작으면, h의 크기와 비교하여 무시할 수 있게 되는 것을 만족하는 k의 고유한 값이 있습니다. 이것은 함수 f에 대한 차이 몫의 극한으로 그래프에 대한 접선의 기울기의 정의로 이어집니다. 이 극한은 x = a에서 함수 f의 도함수(derivative)이며, f ′(a)로 표시됩니다. 도함수를 사용하여, 접선의 방정식은 다음으로 말할 수 있습니다:

y=f(a)+f'(a)(x-a).\,

미적분은 거듭제곱 함수(power function), 삼각 함수(trigonometric functions), 지수 함수(exponential function), 로그(logarithm), 및 그들의 다양한 조합과 같은, 공식에 의해 제공되는 함수의 도함수를 계산하기 위한 규칙을 제공합니다. 따라서, 모든 이들 함수뿐만 아니라 많은 다른 함수의 그래프에 대한 접선의 방정식은 미적분의 방법으로 구할 수 있습니다.

How the method can fail

미적분은 접선의 기울기를 결정하는 극한이 존재하지 않는 그들의 그래프 위의 점과 함수가 있음을 역시 시연합니다. 이들 점에 대해, 함수 f는 비-미분-가능입니다. 극한과 도함수를 기반으로 접선을 찾는 방법에 실패하는 두 가능한 이유가 있습니다: 첫째, 기하적 접선이 존재하지만, 그것이 수직 직선이며, 이것은 점-기울기 형식으로 절대 제공될 수 없는데 왜냐하면 그것은 기울기를 가지지 않습니다. 둘째, 그래프는 기하적 접선을 배제하는 세 가지 동작 중 하나를 나타냅니다.

그래프 y = x^1/3는 첫 번째 가능성을 예시합니다: 여기서 a = 0에서 차이 몫은 h^1/3/h = h^−2/3와 같으며, 이것은 h가 0에 접근할 때 매우 커지게 됩니다. 이 곡선은 원점에서 수직인 접선을 가집니다.

그래프 y = x^2/3는 또 다른 가능성을 예시합니다: 이 그래프는 원점에서 첨점(cusp)을 가집니다. 이것은, h가 0에 접근할 때, a = 0에서 차이 몫은 x의 부호에 따라 양 또는 음의 무한대에 접근함을 의미합니다. 따라서 곡선의 두 가지는 y = 0에 대해 반 수직 직선에 가깝지만, 어떤 것도 이 직선의 음의 부분에 접근하지 않습니다. 기본적으로, 이 경우에서 원점에서 접선이 없지만, 일부 문맥에서 우리는 이 직선을 접선, 및 심지어, 대수 기하학(algebraic geometry)에서, 이중 접선(double tangent)으로 고려할 수 있을 것입니다.

절댓값(absolute value) 함수의 그래프 y = |x|는 원점에서 연결되는 다른 기울기를 갖는 두 직선으로 구성됩니다. 점 q가 오른쪽에서 원점으로 접근할 때, 가름선은 항상 기울기 1을 가집니다. 점 q가 왼쪽에서 원점으로 접근할 때, 가름선은 항상 기울기 –1을 가집니다. 그러므로, 원점에서 그래프에 대한 고유한 접선은 없습니다. 두 다른 (그러나 유한한) 기울기를 가지는 것은 구석(corner)으로 불립니다.

마지막으로, 미분-가능성이 연속성을 의미하므로, 대우(contrapositive) 상태의 불연속성(discontinuity)은 비-미분-가능성을 의미합니다. 임의의 그러한 점프 또는 점 불연속성은 접선을 가지지 않을 것입니다. 이것은 한 기울기는 양의 무한대에 접근하는 반면 다른 하나는 음의 무한대에 접근하여, 무한 점프 불연속성으로 이어지는 경우를 포함합니다

Equations

곡선이 y = f(x)로 제공될 때, 접선의 기울기는 ${\frac {dy}{dx}}$ 이므로, 점-기울기 공식(point–slope formula)에 의해 (X, Y)에서 접선의 방정식은 다음입니다:

y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)

여기서 (x, y)는 접선 위의 임의의 점이고, 도함수는 $x=X$ 에서 평가됩니다.^[10]

곡선이 y = f(x)로 제공될 때, 접선의 방정식은 $f\,(x)$ 를 $(x-X)^{2}$ 로 나누기 위해 다항식 나눗셈(polynomial division)을 사용함으로써 역시 구할 수 있습니다;^[11] 만약 나머지가 $g(x)$ 로 표시되면, 접선의 방정식은 다음으로 제공됩니다:

y=g(x).

곡선의 방정식이 형식 f(x, y) = 0으로 제공될 때, 기울기의 값은 암시적 미분화(implicit differentiation)에 의해 구할 수 있으며, 다음으로 제공됩니다:

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.

f(X,Y) = 0을 만족하는 점 point (X,Y)에서 접선의 방정식은 그런-다음 다음입니다:^[10]

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.

이 방정식은, 만약 ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ 이지만, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ 이면 참으로 남습니다 (이 경우에서 접선의 기울기는 무한대입니다). 만약 ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0$ 이면, 접선은 정의되지 않고 점 (X,Y)는 특이점(singular)으로 말합니다.

대수적 곡선(algebraic curve)에 대해, 계산은 동차 좌표(homogeneous coordinate)로 변환함으로써 약간 간단히 될 수 있을 것입니다. 구체적으로, 곡선의 동차 방정식을 g(x, y, z) = 0로 놓는데 여기서 g는 차수 n의 동차 함수입니다. 그런-다음, 만약 (X, Y, Z)가 곡선 위에 놓이면, 오일러의 정리(Euler's theorem)는 다음을 암시합니다: ${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$

그것은 접선의 동차 방정식이 다음인 것을 따릅니다:

{\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.

데카르트 좌표에서 접선의 방정식은 이 방정식에서 z=1로 설정함으로써 구할 수 있습니다.^[12]

이것을 대수적 곡선에 적용하기 위해, 다음으로 f(x, y)를 쓰십시오:

f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,

여기서 각 u_r는 차수 r의 모든 항의 합입니다. 그 곡선의 동차 방정식은, 그런-다음, 다음입니다:

g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,

위의 방정식을 적용하고 z=1을 설정하면 접선의 방정식으로 다음을 생성합니다:^[13]

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0

이 형식에서 방정식은 실제로 사용하기 위해 더 간단해지는데, 왜냐하면 더 이상의 단순화는 그것이 적용된 후에 필요하지 않기 때문입니다.^[12]

만약 곡선이 다음에 의해 매개-변수적으로(parametrically) 제공되면,

x=x(t),\quad y=y(t)

접선의 기울기는 다음입니다:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}

$\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ 에서 접선에 대해 방정식은 다음으로 제공됩니다:^[14]

{\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).

만약 ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0$ 이면, 접선은 정의되지 않습니다. 어쨌든, 그것은 접선이 존재하고 곡선의 암시적 방정식으로부터 계산될 수 있는 것에서 발생할 수 있을 것입니다.

Normal line to a curve

접하는 점에서 곡선에 대한 접선에 수직인 직선은 해당 점에서 곡선에 대한 법선(normal line)으로 불립니다. 수직 직선의 기울기는 곱 −1을 가지므로, 만약 곡선의 방정식이 y = f(x)이면, 법선의 기울기는 다음입니다:

-{\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}

그리고 그것은 (X, Y)에서 법선의 방정식이 다음임을 따릅니다:

(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.

비슷하게, 만약 곡선의 방정식이 형식 f(x, y) = 0을 가지면, 법선의 방정식은 다음으로 제공됩니다:^[15]

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.

만약 곡선이 다음에 의해 매개-변수적으로 제공되면:

x=x(t),\quad y=y(t)

법선의 방정식은 다음입니다:^[14]

{\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.

Angle between curves

두 곡선이 교차하는 점에서 그들 사이의 각도는 해당 점에서 그들 접선 사이의 각도로 정의됩니다. 보다 구체적으로, 두 곡선은 만약 그들이 한 점에서 같은 접선을 가지면 한 점에서 접하는 것, 만약 그들의 접선이 직교이면 직교하는 것으로 말합니다.^[16]

Multiple tangents at a point

The limaçon trisectrix: a curve with two tangents at the origin.

위의 공식은 그 점이 특이점(singular point)일 때 실패합니다. 이 경우에서, 그 점을 통과하는 곡선의 두 개 이상의 가지가 있을 수 있으며, 각 가지는 그 자체 접선이 있습니다. 그 점이 원점일 때, 이들 직선의 방정식은 원래 방정식에서 가장-낮은 차수 항을 제외한 모든 항을 제거함으로써 형성된 방정식을 인수화함으로써 대수적 곡선에 대해 구할 수 있습니다. 임의의 점은 변수의 변경에 의해 (또는 곡선을 평행-이동함으로써) 원점으로 만들어질 수 있으므로, 이것은 임의의 특이점에서 접선을 찾는 한 방법을 제공합니다.

예를 들어, 오른쪽 보이는 리마촘 삼단선(limaçon trisectrix)의 방정식은 다음입니다:

(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,

이것을 전개하고 차수 2의 항을 제외한 모두를 제거하면 다음을 제공합니다:

a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,

이것은, 인수화될 때, 다음이 됩니다:

y=\pm {\sqrt {3}}x.

그래서 이들은 원점을 통과하는 두 접선의 방정식입니다.^[17]

곡선이 자기-교차가 아니면, 참조 점에서 접선은 여전히 고유하게 정의되지 않을 수 있는데 왜냐하면 곡선이 다른 곳에서 미분-가능할지라도 해당 점에서 미분-가능이 아니기 때문입니다. 이 경우에서, 왼쪽 및 오른쪽 도함수(left and right derivative)는 각각 왼쪽 (낮은 값) 또는 오른쪽 (높은 값)으로부터 참조 점에 접근할 때 그 점에서 도함수를 평가하는 도함수의 극한으로 정의됩니다. 예를 들어, 곡선 y = | x |는 x = 0에서 미분-가능이 아닙니다: 그의 왼쪽 및 오른쪽 도함수는 각각 기울기 −1 및 1을 가집니다; 그들 기울기를 갖는 해당 점에서 접선은 왼쪽 및 오른쪽 접선으로 불립니다.^[18]

때때로 왼쪽 및 오른쪽 접선의 기울기가 같으므로, 접선은 일치합니다. 이것은 참인데, 예를 들어, 곡선 y = x ^2/3에 대해, x = 0에서 왼쪽 및 오른쪽 도함수 둘 다는 무한대입니다; 왼쪽 및 오른쪽 접선 둘 다는 방정식 x = 0을 가집니다.

Tangent line to a space curve

수학(mathematics)에서, 접 벡터(tangent vector)는 주어진 점에서 곡선 또는 표면에 접하는 벡터(vector)입니다. 접 벡터는 Rⁿ에서 곡선의 맥락에서 곡선의 미분 기하학에 설명되어 있습니다. 보다 일반적으로, 접 벡터는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)의 접 공간(tangent space)의 원소입니다. 접 벡터는 싹틈(germs)의 측면에서도 설명될 수 있습니다. 형식적으로, 점

x

에서 접 벡터는

x

에서 싹틈의 집합에 의해 정의된 대수의 선형 유도(derivation)입니다.

Tangent circles

같은 평면에서, 같지-않은 반지름의 두 원은 만약 그들이 오직 한 점에서 만나면 서로 접하는 것으로 말합니다. 동등하게, i = 1, 2에 대해 r_i의 반지름(radii)과 (x_i, y_i)에 중심을 둔 두 원(circles)은 만약 다음이면 서로 접하는 것으로 말합니다:

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,

두 원은 만약 그들 중심 사이의 거리(distance)가 그들 반지름의 합과 같으면 외부적으로 접하는 것입니다.

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.\,

두 원은 만약 그들 중심 사이의 거리(distance)가 그들 반지름 사이의 차이과 같으면 내부적으로 접하는 것입니다.^[19]

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.\,

Tangent plane to a surface

주어진 점 p에서 표면(surface)에 대한 접 평면(tangent plane)은 곡선의 경우에서 접선과 유사한 방식으로 정의됩니다. 그것은 p에서 평면에 의한 표면의 가장 좋은 근사이고, 이들 점이 p에 수렴할 때 p에 접근하는 표면 위에 3개의 구별되는 점을 통과하는 평면의 극한하는 위치로 얻을 수 있습니다.

Higher-dimensional manifolds

보다 일반적으로, n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 k-차원 매니폴드(manifold)의 각 점에서 k-차원 접 공간(tangent space)이 있습니다.

References

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Sources

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External links

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Weisstein, Eric W. "Tangent Line". MathWorld.
Tangent to a circle With interactive animation
Tangent and first derivative — An interactive simulation

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[E194-15] Edwards Art. 194

[E195-16] Edwards Art. 195

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