Total derivative

수학(mathematics)에서, 한 점에서 함수 $f$ 의 전체 도함수(total derivative)는 그의 인수에 관한 함수의 이 점 근처에서 가장-좋은 선형 근사(linear approximation)입니다. 부분 도함수(partial derivative)와 달리, 전체 도함수는 단지 한 인수가 아니라 그의 인수의 모두에 관한 함수를 근사화합니다. 많은 상황에서, 이것은 동시에 모든 부분 도함수를 고려하는 것과 같습니다. 용어 "전체 도함수"는 $f$ 가 여러 변수의 함수일 때 주로 사용되는데, 왜냐하면 $f$ 가 단일 변수의 함수일 때, 전체 도함수는 함수의 도함수(derivative)와 같기 때문입니다.^[1]^{: 198–203}

"전체 도함수(Total derivative)"는 유체 역학(fluid mechanics)에서 물질 도함수(material derivative)에 대해 동의어로 때때로 역시 사용됩니다.

The total derivative as a linear map

$U\subseteq \mathbf {R} ^{n}$ 를 열린 부분-집합(open subset)를 놓습니다. 그런-다음 함수 $f:U\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ 는 만약 다음을 만족하는 선형 변환(linear transformation) $df_{a}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}$ 가 존재하면 점 $a\in U$ 에서 (전체적으로) 미분-가능이라고 말합니다:

\lim _{x\rightarrow a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.

선형 맵(linear map) $df_{a}$ 은 $a$ 에서 $f$ 의 (전체) 도함수 또는 (전체) 미분으로 불립니다. 전체 도함수에 대해 다른 표기법은 $D_{a}f$ 및 $Df(a)$ 를 포함합니다. 함수는 만약 그것의 전체 도함수가 그것의 도메인에서 모든 각 점에서 존재하면 (전체적으로) 미분-가능입니다.

개념적으로, 전체 도함수의 정의는 $df_{a}$ 가 점 $a$ 에서 $f$ 에 대한 가장-좋은 선형 근사라는 아이디어를 표현합니다. 이것은 $df_{a}$ 에 의해 결정된 선형 근사에서 오차를 정량화함으로써 정확하게 만들어질 수 있습니다. 그렇게 하기 위해, 다음을 씁니다:

f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),

여기서 $\varepsilon (h)$ 는 근사에서 오차와 같습니다. $a$ 에서 $f$ 의 도함수가 $df_{a}$ 임을 말하기 위해 다음 명제와 동등합니다:

\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),

여기서 $o$ 는 작은-o 표기법(little-o notation)이고 $\varepsilon (h)$ 는 $h\to 0$ 일 때 $\lVert h\rVert$ 보다 훨씬 더 작은 것임을 가리킵니다. 전체 도함수 $df_{a}$ 는 오차 항이 이 작은 고유한 선형 변환이고, 이것이 $f$ 대한 가장-좋은 선형 근사라는 의미입니다.

함수 $f$ 가 미분-가능인 것과 그것의 성분 $f_{i}\colon U\to \mathbf {R}$ 의 각각이 미분-가능인 것은 필요충분 이므로, 전체 도함수를 연구할 때, 코도메인에서 시간에서 한 좌표를 연구하는 것이 종종 가능합니다. 만약 $f$ 가 $a$ 에서 미분-가능이면, 각 부분 도함수 $\partial f/\partial x_{i}$ 가 $a$ 에서 존재한다는 것은 참입니다. 반대는 거짓입니다: $a$ 에서 $f$ 의 부분 도함수의 모두가 존재하지만, $f$ 가 $a$ 에서 미분-가능이 아님이 일어날 수 있습니다. 이것은 함수가 $a$ 에서 매우 "거칠고", 그것의 행동이 좌표 방향에서 그것의 행동에 의해 적절히 설명될 수 없을 정도로 그러한 극단임을 의미합니다. $f$ 가 너무 거칠지 않으면, 이것은 절대 발생할 수 없습니다. 보다 정확하게, 만약 $a$ 에서 $f$ 의 부분 도함수의 모두가 존재하고 $a$ 의 이웃에서 연속이면, $f$ 는 $a$ 에서 미분-가능입니다. 이것이 발생할 때, 게다가, $f$ 의 전체 도함수가 해당 점에서 부분 도함수의 야코비 행렬(Jacobian matrix)에 해당하는 선형 변환입니다.^[2]

The total derivative as a differential form

구성 아래에서 함수가 실수-값일 때, 전체 도함수는 미분 형식(differential form)을 사용하여 다시-할당할 수 있습니다. 예를 들어, $f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R}$ 가 변수 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 의 미분-가능 함수임을 가정합니다. $a$ 에서 $f$ 의 전체 도함수는 그것의 야코비 행렬의 관점에서 쓸 수 있으며, 이것은 이 예제에서 행 행렬 (그래디언트(gradient)의 전치(transpose))입니다:

df_{a}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},&\cdots &,&{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.

전체 도함수의 선형 근사 속성은 만약 다음

\Delta x={\begin{pmatrix}\Delta x_{1},&\cdots &,&\Delta x_{n}\end{pmatrix}}^{T}

이 작은 벡터이면 (여기서 $T$ 는 전치를 나타내므로, 이 벡터는 열 벡터입니다),

f(a+\Delta x)-f(a)\approx df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}.

임을 의미합니다.

발견적으로, 이것은 만약 $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ 가 좌표 방향에서 무한소(infinitesimal) 증분이면, 다음임을 제안합니다:

df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx_{i}.

실제로, 여기서 단지 기호적인, 무한소의 개념은 광범위한 수학적 구조를 갖춰질 수 있습니다. 미분 형식(differential form)의 이론과 같은, 기술은 무한소 증분, $dx_{i}$ 와 같은 대상의 해석적 및 대수적 설명을 효과적으로 제공합니다. 예를 들어, $dx_{i}$ 는 벡터 공간 $\mathbf {R} ^{n}$ 에 대한 선형 함수형(linear functional)으로 표시될 수 있습니다. $\mathbf {R} ^{n}$ 에서 벡터 $h$ 에서 $dx_{i}$ 를 평가하는 것은 $i$ 번째 좌표 방향에서 $h$ 점이 얼마나 많은지를 측정합니다. 전체 도함수 $df_{a}$ 는 선형 함수형의 선형 조합이고 따라서 자체로 선형 함수형입니다. 평가 $df_{a}(h)$ 는 $a$ 에서 $f$ 에 의해 결정된 방향에서 $h$ 점이 얼마나 많은지를 측정하고, 이 방향은 그래디언트입니다. 이 관점은 전체 미분을 외부 도함수(exterior derivative)의 예제로 만듭니다.

이제 $f$ 가 벡터-값 함수, 즉, $f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}$ 임을 가정합니다. 이 경우에서, $f$ 의 성분 $f_{i}$ 는 실수-값 함수이므로, 그들은 결합된 미분 형식 $df_{i}$ 를 가집니다. 전체 도함수 $df$ 는 이들 형식을 단일 대상으로 통합하고 따라서 벡터-값 미분 형식(vector-valued differential form)의 예제입니다.

The chain rule for total derivatives

체인 규칙은 전체 도함수의 관점에서 특히 우아한 명제를 가집니다. 그것은, 두 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, $a$ 에서 합성 $g\circ f$ 의 전체 도함수는 다음을 만족시킵니다:

d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\circ df_{a}.

만약 $f$ 와 $g$ 의 전체 도함수가 그들의 야코비 행렬과 식별되면, 오른쪽 변에 대한 합성은 단순히 행렬 곱셈입니다. 이것은 응용에서 매우 유용한데, 왜냐하면 합성 함수의 인수들 사이에서 본질적으로 임의의 의존성에 대해 고려하는 것이 가능하게 만들기 때문입니다.

Example: Differentiation with direct dependencies

f가 두 변수, x와 y의 함수임을 가정합니다. 만약 이들 두 변수가, f의 도메인이 $\mathbf {R} ^{2}$ 가 되도록, 독립이면, f의 행동은 x와 y 방향에서 그것의 부분 도함수의 관점에서 이해될 수 있습니다. 어쨌든, 일부 경우에서, x와 y가 종속일 수 있습니다. 예를 들어, f가 곡선 $y=y(x)$ 로 제한되는 것으로 일어날 수 있습니다. 이 경우에서, 우리는 실제로 합성 함수 $f(x,y(x))$ 의 행동에 관심이 있습니다. x에 관한 f의 부분 도함수는 변화하는 x가 필연적으로 y를 변화시키기 때문에 x의 변화에 관한 f의 참 변화율을 제공하지 않습니다. 어쨌든, 전체 도함수에 대해 체인 규칙은 그러한 종속성을 고려합니다. $\gamma (x)=(x,y(x))$ 를 씁니다. 그런-다음 체인 규칙은 다음을 말합니다:

d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\circ d\gamma _{x_{0}}.

전체 도함수를 야코비 행렬로 표현함으로써, 이것은 다음이 됩니다:

{\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).

가독성을 위해 $x_{0}$ 에서 평가를 억제하면, 우리는 다음과 같이 역시 쓸 수 있습니다:

{\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.

이것은 $f$ 의 부분 도함수와 $y(x)$ 의 도함수의 관점에서 $f(x,y(x))$ 의 도함수에 대해 간단한 공식을 제공합니다.

예를 들어, 다음을 가정합니다:

f(x,y)=xy.

x에 관한 f의 변화율은 보통 x에 관한 f의 부분 도함수입니다; 이 경우에서,

{\frac {\partial f}{\partial x}}=y.

어쨌든, 만약 y가 x에 종속되면, 부분 도함수는 x가 변화할 때 f의 참 변화율을 제공하지 않는데 왜냐하면 부분 도함수는 y가 고정되어 있음을 가정하기 때문입니다. 우리는 직선에 구속되어 있다고 가정합니다:

y=x.

그런-다음

f(x,y)=f(x,x)=x^{2},

그리고 x에 관한 f의 전체 도함수는 다음입니다:

{\frac {df}{dx}}=2x,

이것은 우리가 부분 도함수 $\partial f/\partial x$ 와 같지 않음을 압니다. x의 관점에서 y에 대해 즉시 대체하는 대신에, 어쨌든, 우리는 위와 같이 체인 규칙을 역시 사용할 수 있습니다:

{\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.

Example: Differentiation with indirect dependencies

우리가 간접 종속성을 제거하기 위해 대체를 종종 수행할 수 있지만, 체인 규칙(chain rule)은 보다 효과적이고 일반적인 기술을 제공합니다. $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ 이 자체로 시간에 종속하는 $t$ 및 $n$ 변수 $x_{i}$ 의 함수라고 가정합니다. 그런-다음, $L$ 의 시간 도함수는 다음입니다:

{\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.

체인 규칙은 $L$ 의 부분 도함수와 함수 $x_{i}$ 의 시간 도함수의 관점에서 이 도함수를 표현합니다:

{\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).

이 표현은 라그랑주(Lagrangian)의 게이지 변환(gauge transformation)에 대해 물리학(physics)에서 종종 사용되는데, 시간의 함수의 전체 시간 도함수에 의해 오직 다른 라그랑주와 $n$ 일반화된 좌표(generalized coordinates)가 운동의 같은 방정식으로 이어집니다. 흥미로운 예제는 휠러–파인만 시간-대칭 이론(Wheeler–Feynman time-symmetric theory)과 관련한 인과-관계의 해결에 관한 것입니다. (위의 마지막 표현식에서) 대괄호 안에 있는 연산자는 ( $t$ 에 관한) 전체 도함수 연산자라고 역시 불립니다.

예를 들어, $f(x(t),y(t))$ 의 전체 도함수는 다음입니다:

{\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.

여기서 $\partial f/\partial t$ 항은 없는데 왜냐하면 $f$ 자체는 독립 변수 $t$ 에 직접 의존하지 않기 때문입니다.

Total differential equation

전체 미분 방정식은 전체 도함수의 관점에서 표현된 미분 방정식(differential equation)입니다. 외부 도함수(exterior derivative)는 좌표-없는 것이므로, 기술적 의미를 제공할 수 있다는 의미에서, 그러한 방정식은 본질적이고 기하학적입니다.

Application to equation systems

경제학(economics)에서, 전체 도함수에 대해 방정식의 시스템의 문맥에서 발생하는 것이 공통적입니다.^[1]^{: pp. 217–220} 예를 들어, 간단한 수요-공급 시스템(supply-demand system)은 가격 p와 소비자의 소득 I의 함수 D로 요구되는 제품의 수량 q를 지정할 수 있으며, 후자는 외인성 변수(exogenous variable)이고, 생산자에 의해 공급되는 수량을 그것의 가격과 두 외인성 자원 비용 변수 r과 w의 함수 S로 지정할 수 있습니다. 결과 방정식의 시스템

q=D(p,I),

q=S(p,r,w),

은 변수 p와 q의 시장 평형 값을 결정합니다. r에 관한 p의 전체 도함수 $dp/dr$ 은, 예를 들어, 외인성 변수 r에 대한 시장 가격의 반응의 부호와 크기를 제공합니다. 지시된 시스템에서, 전체로 여섯 가능한 전체 도함수가 있으며, 이 맥락에서 비교 정적 도함수(comparative static derivatives): $dp / dr$ , $dp / dw$ , $dp / dI$ , $dq / dr$ , $dq / dw$ , 및 $dq / dI$ 로 역시 알려져 있습니다. 전체 도함수는 방정식 시스템을 완전히 미분화하고, 말하자면 $dr$ 로 나누고, $dq / dr$ 및 $dp / dr$ 을 미지수로 취급하고, $dI = dw = 0$ 으로 설정하고, 두 개의 완전히 미분화된 방정식을 동시에, 전형적으로 크라메르의 규칙(Cramer's rule)을 사용함으로써 구합니다.

References

^ ^a ^b Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor (2012). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer Science & Business Media. p. 78.

A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
From thesaurus.maths.org total derivative

External links

Weisstein, Eric W. "Total Derivative". MathWorld.
Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes from Virginia Tech

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.

[2] Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor (2012). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer Science & Business Media. p. 78.

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