삼각 치환적분법

Main article: Trigonometric substitution

수학에서, 삼각 치환(Trigonometric substitution)은 다른 표현에 대한 삼각 함수의 치환입니다. 제곱근 표현(radical expression)을 포함하는 특정 적분을 단순화하기 위해 삼각 항등식(trigonometric identities)을 사용할 수 있습니다:

치환 1. 만약 피 적분(integrand)에 a² − x²이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$x=a\sin \theta$

그리고 다음의 항등식(identity)을 사용합니다:

$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .$

치환 2. 만약 피 적분에 a² + x²이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$x=a\tan \theta$

그리고 다음의 항등식을 사용합니다: $1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .$

치환 3. 만약 피 적분에 x² − a²이 포함되면, 다음과 같이 놓고

$x=a\sec \theta$

그리고 다음의 항등식을 사용합니다:

$\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .$

기본예제

기본예제1

부정적분 $\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$에 대해

$x=a\sin \theta \rightarrow dx=a\cos \theta$

따라서,

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=\int d\theta \\&=\theta +C\\\end{aligned}}$

주목할 것은 위의 과정에서 $a>0$ 및 $\cos \theta >0$를 가정합니다; 우리는 $a^{2}$의 양의 제곱근을 $a$로 선택할 수 있습니다; 그리고 코사인이 양수이므로, −π/2 < θ < π/2이 되도록 제한합니다.

기본예제2

부정적분 $\int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}$에 대해,

$x=a\tan \theta \rightarrow dx=a\sec ^{2}d\theta$

따라서,

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\&={\frac {1}{a}}\cdot \theta +C\\\end{aligned}}$

여기서 $a\neq 0$입니다.

기본예제3

부정적분 $\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$에 대해

$x=a\sec \theta \rightarrow dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta$

따라서,

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int \sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}$