이계도함수

어떤 함수를 $y=f(x)$ 를 미분하면, 도함수 $y'=f'(x)$ 입니다. 이때, $y=g(x)=f'(x)$ 로 두면, $y'=g'(x)$ 는 $y=g(x)$ 의 도함수입니다.

또한, $y=g(x)=f'(x)$ 이므로, $y'=g'(x)=\left\{f'(x)\right\}'$ 으로써, $y=f(x)$ 에 대해 도함수의 도함수입니다. 정의식을 사용해서 적으면,

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}

이처럼, 한번 미분한 결과의 함수를 다시 미분한 것을 최초의 함수의 이계(차) 도함수라고 하고, 다음과 같이 나타냅니다.

y'',\;f''(x),\;{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\;{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)

물론 이런 식으로, 미분이 가능하다면, 계속해서 미분을 할 수 있기 때문에, 일반적으로 $n$ -계(차) 도함수를 정의할 수 있고, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)