이계도함수는 미적분2에서 다루는 초월함수의 그래프의 개형에서 중요한 역할을 합니다.
미적분1의 함수의 증가와 감소 에서, 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle f'(x)>0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle f'(x)<0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
미적분1의 함수의 극대와 극소 에서, 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
이것을 도함수를 통해서 표현하면, 주어진 구간에서 미분가능한 함수는
f
′
(
a
)
=
0
{\displaystyle f'(a)=0}
h
{\displaystyle h}
f
′
(
a
−
h
)
>
0
,
f
′
(
a
+
h
)
<
0
{\displaystyle f'(a-h)>0,f'(a+h)<0}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
′
(
a
−
h
)
<
0
,
f
′
(
a
+
h
)
>
0
{\displaystyle f'(a-h)<0,f'(a+h)>0}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
한편, 미적분1에서는 다항함수, 오직 삼차함수와 사차함수, 등을 다룸으로써, 위와 같이 도함수의 증감으로부터 극대, 극소를 판정하지 않고, 도함수의 근을 판정하고, 그런-다음 그래프의 개형을 그리고, 그런-다음 그래프로부터 극대와 극소를 판정합니다. 다항함수의 이런 특징은 더 높은 차수에서도 여전히 유지됩니다.
반면에, 초월함수를 다루는 미적분2는 초월함수와 다함함수의 곱셈 또는 나눗셈 등의 형태의 함수를 다룸으로써, 그래프의 개형을 그리기가 쉽지 않습니다. 따라서, 극대와 극소는 그래프의 개형이 아니라, 도함수의 증감표로부터 판정될 수 있습니다.
게다가, 미분가능한 함수에서,
x
=
1
{\displaystyle x=1}
f
′
(
1
−
h
)
>
0
,
f
′
(
1
)
=
0
,
f
′
(
1
+
h
)
<
0
⋯
(
1
)
{\displaystyle f'(1-h)>0,\;f'(1)=0,\;f'(1+h)<0\cdots (1)}
이고, 이계 도함수는 도함수의 증감 상태로부터 구해지므로, 식 (1)은 도함수가 감소상태(양수
→
{\displaystyle \rightarrow }
→
{\displaystyle \rightarrow }
따라서, 극대에서의 이계도함수는
f
″
(
1
)
<
0
{\displaystyle f''(1)<0}
반면에 극소에서는 도함수
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
→
{\displaystyle \rightarrow }
→
{\displaystyle \rightarrow }
f
″
(
x
)
>
0
{\displaystyle f''(x)>0}
정리하면, 이계도함수를 갖는 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
a
)
=
0
{\displaystyle f'(a)=0}
f
″
(
a
)
<
0
{\displaystyle f''(a)<0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
″
(
a
)
>
0
{\displaystyle f''(a)>0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
