접선의 방정식(미적분2)

Main article: Tangent

고등학교 교과과정에서, 접선의 방정식은 여러 곳에서 출현합니다. 어쨌든, 도함수를 배훈 후로는 접선의 기울기를 도함수를 통해 구하는 것이 공통적입니다.

미적분1의 접선의 방정식은 다항함수에 접하는 직선을 구하기 때문에, 도함수를 이용하지 않고 중근을 통한 접근 방법을 사용할 수 있습니다.

그러나, 초월 함수, 예를 들어, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수 등은 중근의 개념으로 접근할 수 없기 때문에, 도함수를 통한 기울기를 구하는 것이, 고등학교 교과과정에서는, 유일합니다.

이 기사, 즉, 미적분2에서 다루는 접선의 방정식에서, 그의 이론은 미적분1의 접선의 방정식과 완전히 동일하기 때문에, 별도로 설명할 내용이 없습니다.

단지, 함수만이 달라지기 때문에, 도함수를 구하는 과정이 오직 달라집니다.

기본 예제

기본 예제1

예를 들어, $y=\ln x^{2}$에 대해 점 $(e,2)$에서의 접선의 방정식을 구해 보겠습니다.

해설: 먼저, 주어진 점이 곡선 위의 점인지 아닌지 확인하는 것이 중요합니다. 곡선 위의 점이 아닐 경우에는 도함수에 대입해서 접선의 기울기를 바로 구할 수 없습니다.

곡선 위의 점인지 여부의 판정은 식에 대입함으로써, 결정할 수 있습니다. 즉, 점 $(e,2)$를 곡선에 대입했을 때,

$2=\ln e^{2}$

으로 식을 만족하므로, 곡선 위의 점입니다.

그러므로, 그의 도함수

$y'={\frac {2x}{x^{2}}}={\frac {2}{x}}$

로부터 곡선의 기울기는, 곡선 위의 점, 즉 접점을 대입해서, $m={\frac {2}{e}}$입니다.

따라서, 접선의 방정식은

$y-2={\frac {2}{e}}(x-e)$

기본 예제2

곡선 $y=2x+x\ln x$에 접하고, 직선 $2x-y-4=0$에 평행한 접선의 방정식을 구해 보겠습니다.

해설: 먼저, 접선은 곡선이므로, 기울기와 지나는 점으로부터 유일하게 1개를 구할 수 있습니다. 기울기는 이미 $m=2$로 주어졌기 때문에, 지나는 점을 구해야 합니다.

이때, 주어진 함수가 이차함수였다면, 접선의 방정식을 $y=2x+k$로 두고, 연립방정식이 중근을 가지는 것으로 $k$를 구할 수 있습니다.

초월 함수는 이것이 불가능하기 때문에, 또는 비록 다른 방법이 있더라도 비효율적이기 때문에, 접점을 구합니다. 즉,

$y'=2+\ln x+x\cdot {\frac {1}{x}}=2$

이므로, $x={\frac {1}{e}}$이고, $y$-좌표는 함수에 대입해서, $y={\frac {1}{e}}$입니다.

따라서,

$y-{\frac {1}{e}}=2\left(x-{\frac {1}{e}}\right)$

기본 예제3

점 $(2,0)$을 지나고 곡선 $y=e^{x-2}$에 접하는 접선의 방정식을 구해 보겠습니다.

해설: 점 $(2,0)$을 대입했을 때, 식을 만족하지 않기 때문에, 곡선 위의 점이 아닙니다.

먼저, 접점을 $\left(a,e^{a-2}\right)$로 두면,

접선의 기울기는 첫 번째, 접점과 $(2,0)$를 지나므로, 두 점 사이의 기울기로 구할 수 있고,

두 번째, 도함수에 접점의 좌표를 대입해서 구할 수 있는데, 두 값은 서로 같습니다.

${\frac {e^{a-2}-0}{a-2}}=e^{a-2}$

따라서, $a=3$이므로, 그의 기울기, $m=e$이고, 접선의 방정식은 $(2,0)$를 지나므로, (또는 접점의 좌표를 이용해도 같은 결과를 얻습니다)

$y-0=e(x-2)$

응용예제

응용예제1

양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=t^{3}\ln(x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$의 값을 $f(t)$라 하자. $\left\{f'\left({\frac {1}{3}}\right)\right\}^{2}$의 값을 구하시오. [4점] [2020학년도 수능 가형 30번]

해설: mowoum:접선의_방정식(미적분2)#응용예제1

응용예제2

곡선 $y=2e^{-x}$ 위의 점 ${\rm {P\left(t,2e^{-t}\right)\;\;(t>0)}}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 ${\rm {A}}$라 하고, 점 ${\rm {P}}$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 ${\rm {B}}$라 하자. 삼각형 ${\rm {APB}}$의 넓이가 최대가 되도록 하는 $t$의 값은? [4점] [2017학년도 수능 가형 15번]

해설: mowoum:접선의_방정식(미적분2)#응용예제2