치환적분법

Main article: Integration by substitution

합성함수의 미분법에서, $t=g(x)$로 두면,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}$

로 부터,

${\frac {d}{dx}}(f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$

반면에, 미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여, $x=g(t)$로 놓으면,

${\frac {dx}{dt}}=g'(t)\rightarrow dx=g'(t)dt$

따라서, 치환적분법은 적분의 변수를 바꿈으로써, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$

즉, 오른쪽 변의 합성함수로 표현된 적분을 왼쪽의 하나의 변수에 대한 적분으로 바꿀 수 있습니다.

예를 들어, $\int (2x-6)^{5}dx$에 대해, 다항함수이므로, 비록 시간이 걸릴지라도, 전개한 후, 부정적분의 성질에 의해, 각 항을 적분할 수 있습니다.

반면에 치환적분을 사용하면, $2x-6=t$로 두면,

$2dx=dt\rightarrow dx={\frac {1}{2}}dt$

이므로,

${\begin{aligned}\int (2x-6)^{5}dx&=\int t^{5}\cdot {\frac {1}{2}}dt\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}t^{6}+C\\&={\frac {1}{12}}(2x-6)^{6}+C\\\end{aligned}}$

기본예제

기본예제1

부정적분 $\int e^{3x^{2}-5}6xdx$에 대해,

$3x^{2}-6=t\rightarrow 6xdx=dt$

따라서,

${\begin{aligned}\int e^{3x^{2}-5}6xdx&=\int e^{t}dt\\&=e^{t}+C\\&=e^{3x^{2}-5}+C\\\end{aligned}}$

기본예제2

부정적분 $\int {\frac {6x^{2}+1}{2x^{3}+x}}dx$에 대해,

$2x^{3}+x=t\rightarrow (6x^{2}+1)dx=dt$

따라서,

${\begin{aligned}\int {\frac {6x^{2}+1}{2x^{3}+x}}dx&=\int {\frac {1}{t}}dt\\&=\ln |t|+C\\&=\ln |2x^{3}+x|+C\\\end{aligned}}$

이 예제에서처럼, $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx$에 대해,

$f(x)=t\rightarrow f'(x)dx=dt$

따라서,

${\begin{aligned}\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx&=\int {\frac {1}{t}}dt\\&=\ln |t|+C\\&=\ln |f(x)|+C\\\end{aligned}}$

만약, f(x)가 다항함수이면, f′(x)는 f(x)보다 차수가 1 낮습니다. 따라서, 부분분수를 참조해서 식을 분리해야 합니다.