Alternating series test

Original article: w:Alternating series test

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 교대하는 급수 테스트(alternating series test)는 절댓값에서 감소하는 항을 갖는 교대하는 급수(alternating series)는 수렴하는 급수(convergent series)임을 입증하기 위해 사용되는 방법입니다. 그 테스트는 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 사용되었고 때때로 라이프니츠의 테스트(Leibniz's test), 라이프니츠의 규칙(Leibniz's rule), 또는 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)으로 알려져 있습니다.

Formulation

다음 형식의 급수는

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots \!$

여기서 모든 a_n은 양수 또는 모든 a_n은 음수이며, 교대하는 급수(alternating series)로 불립니다.

교대하는 급수 테스트(alternating series test)는 그런-다음 말합니다: 만약 $|a_{n}|$이 단조적으로(monotonically) 감소하고 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$이면 교대하는 급수는 수렴합니다.

게다가, L이 급수의 합을 나타내는 것으로 놓으면, 부분 합

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$

은 다음의 생략된 항에 의해 경계진 오차를 갖는 L에 접근합니다.

$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!$

Proof

우리는 형식 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!$의 급수가 주어진 것으로 가정하며, 여기서 모든 자연수 n에 대해 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ 및 $a_{n}\geq a_{n+1}$입니다. (경우 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$는 음을 취함으로써 따릅니다.)

Proof of convergence

우리는 항의 홀수개를 갖는 부분 합 $S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}$, 및 항의 짝수개를 갖는 $S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}$ 둘 다가 같은 숫자 L에 수렴함을 입증할 것입니다. 따라서 보통 부분 합 $S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}$ 역시 L에 수렴합니다.

홀수 부분 합은 단조적으로 감소합니다:

$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}$

반면에 짝수 부분 합은 단조적으로 증가합니다:

$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}$

둘 다는 a_n이 n과 함께 단조적으로 감소하기 때문입니다.

게다가, a_n이 양수이므로, $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0$입니다. 따라서 우리는 다음의 암시적인 부등식을 형성하기 위해 이들 사실을 수집할 수 있습니다:

$a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$

이제, a₁ − a₂이 단조적으로 감소하는 수열 S_2m+1의 낮은 경계임을 주목하며, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)는 그런-다음 이 수열이 m이 무한대로 접근할 때 수렴함을 의미합니다. 비슷하게, 짝수 부분 합의 수열은 역시 수렴합니다.

마지막으로, 그들은 같은 숫자에 반드시 수렴하는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

$\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.$

극한 L을 부르면, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)는 임의의 m에 대해 다음인 여분의 정보를 역시 말합니다:

$S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$

이것은 교대하는 급수의 부분 합이 최종 극한 위와 아래에서 "교대함"을 의미입니다. 보다 정확하게, 항의 홀수 (짝수)가 있을 때, 즉 마지막 항이 더하기 (빼기) 항이면, 부분 합은 최종 극한의 위에 (아래에) 있습니다.

이 이해는, 아래에 보이는, 부분 합의 오차 경계로 즉각적으로 이어집니다.

Proof of partial sum error bound

우리는 두 경우로 나눔으로써 $\left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!$를 보이기를 원합니다.

k = 2m+1, 즉, 홀수일 때,

$\left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}$

k = 2m, 즉, 짝수일 때,

$\left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}$

이것은 바라는대로 입니다.

경우 둘 다는 본질적으로 이전의 증명에서 도출된 마지막 부등식에 의존합니다.

코시의 수렴 테스트(Cauchy's convergence test)를 사용하는 대안적인 증명에 대해, 교대하는 급수(Alternating series)를 참조하십시오.

일반화에 대해, 디리클레의 테스트(Dirichlet's test)를 참조하십시오.

Counterexample

테스트에서 모든 조건, 즉 영으로 수렴 및 단조성이 결론에 대해 참이 되려면 충족되어야 합니다. 예를 들어, 다음 급수를 취하십시오:

${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots$

부호가 교대하고 항이 영으로 경향이 있습니다. 어쨌든, 단조성은 존재하지 않고 우리는 테스트를 적용할 수 없습니다. 사실 급수는 발산합니다. 실제로, 부분 합 $S_{2n}$에 대해, 우리는 $S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}$를 가지며, 이것은 조화 급수의 부분 합의 두 배이며, 발산합니다. 따라서 원래 급수는 발산합니다.

See also

• Alternating series
• Dirichlet's test

Notes

^ In practice, the first few terms may increase. What is important is that $b_{n}\geq b_{n+1}$ for all $n$ after some point.

References

• Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3

External links

• Weisstein, Eric W. "Leibniz Criterion". MathWorld.