Cosines and sines around the unit circle
수학(mathematics) 에서, 삼각 항등식 (trigonometric identities )은 삼각 함수(trigonometric functions) 를 포함하는 상등이고 상등의 양쪽 변이 정의된 곳에서 변수(variables) 에 발생하는 모든 각 값에 대해 참입니다. 기하학적으로, 이들은 하나 이상의 각도(angle) 의 특정 함수를 포함하는 항등식(identities) 입니다. 그들은 삼각형 항등식(triangle identities) 과 구별되며, 이것은 각도를 잠재적으로 포함하지만 삼각형(triangle) 의 변의 길이 또는 다른 길이를 포함하는 항등식입니다.
이들 항등식은 삼각 함수를 포함하는 표현을 단순화해야 할 때 유용합니다. 중요한 적용은 비-삼각 함수의 적분화(integration) 입니다: 공통적인 기술은 먼저 삼각 함수와 함께 치환 규칙 하고, 그런-다음 삼각 항등식과 함께 결과 적분을 단순화하는 것입니다.
Notation
Angles
Signs of trigonometric functions in each quadrant. The mnemonic "All S cience T eachers (are) C razy" lists the basic functions ('All' , s in, t an, c os) which are positive from quadrants I to IV.[1] This is a variation on the mnemonic "All Students Take Calculus ".
이 기사는 각도를 표현하기 위해 알파(alpha) (α ), 베타(beta) (β ), 감마(gamma) (γ ), 및 세타(theta) (θ )와 같은 그리스 문자를 사용합니다. 여러 다른 각도 측정의 단위는 도(degree) , 라디안(radian) , 및 그라디안(gradian) (곤(gon) )을 포함하여 널비 사용됩니다:
1 완전한 원 (바퀴(turn) ) = 360 도 = 2π 라디안 = 400 곤.
만약 각도에 대해 (°) 또는 그라디안에 대해 (
g
{\displaystyle ^{\mathrm {g} }}
)로 특별히 주석을 달지 않으면, 이 기사에서 각도에 대해 모든 값은 라디안에서 주어진 것으로 가정합니다.
다음 테이블은 공통적인 각도와 변환 및 기본 삼각 함수의 값을 보여줍니다:
공통 각도의 변환
바퀴
도
라디안
그라디안
사인
코사인
탄젠트
0
{\displaystyle 0}
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle 0}
0
g
{\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
1
12
{\displaystyle {\dfrac {1}{12}}}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π
6
{\displaystyle {\dfrac {\pi }{6}}}
33
1
3
g
{\displaystyle 33{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}
1
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
3
3
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1
8
{\displaystyle {\dfrac {1}{8}}}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π
4
{\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}}
50
g
{\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}
2
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
1
{\displaystyle 1}
1
6
{\displaystyle {\dfrac {1}{6}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π
3
{\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}
66
2
3
g
{\displaystyle 66{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}
3
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
4
{\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π
2
{\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}
100
g
{\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
Undefined
1
3
{\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}
120
∘
{\displaystyle 120^{\circ }}
2
π
3
{\displaystyle {\dfrac {2\pi }{3}}}
133
1
3
g
{\displaystyle 133{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}
3
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
3
8
{\displaystyle {\dfrac {3}{8}}}
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
3
π
4
{\displaystyle {\dfrac {3\pi }{4}}}
150
g
{\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}
2
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
−
2
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
−
1
{\displaystyle -1}
5
12
{\displaystyle {\dfrac {5}{12}}}
150
∘
{\displaystyle 150^{\circ }}
5
π
6
{\displaystyle {\dfrac {5\pi }{6}}}
166
2
3
g
{\displaystyle 166{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}
1
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}
−
3
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
−
3
3
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
π
{\displaystyle \pi }
200
g
{\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}
0
{\displaystyle 0}
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
7
12
{\displaystyle {\dfrac {7}{12}}}
210
∘
{\displaystyle 210^{\circ }}
7
π
6
{\displaystyle {\dfrac {7\pi }{6}}}
233
1
3
g
{\displaystyle 233{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}
−
1
2
{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}
−
3
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
3
3
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
5
8
{\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}
225
∘
{\displaystyle 225^{\circ }}
5
π
4
{\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}
250
g
{\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}
−
2
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
−
2
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
1
{\displaystyle 1}
2
3
{\displaystyle {\dfrac {2}{3}}}
240
∘
{\displaystyle 240^{\circ }}
4
π
3
{\displaystyle {\dfrac {4\pi }{3}}}
266
2
3
g
{\displaystyle 266{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}
−
3
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
3
4
{\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}
270
∘
{\displaystyle 270^{\circ }}
3
π
2
{\displaystyle {\dfrac {3\pi }{2}}}
300
g
{\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
Undefined
5
6
{\displaystyle {\dfrac {5}{6}}}
300
∘
{\displaystyle 300^{\circ }}
5
π
3
{\displaystyle {\dfrac {5\pi }{3}}}
333
1
3
g
{\displaystyle 333{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}
−
3
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
7
8
{\displaystyle {\dfrac {7}{8}}}
315
∘
{\displaystyle 315^{\circ }}
7
π
4
{\displaystyle {\dfrac {7\pi }{4}}}
350
g
{\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}
−
2
2
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}
−
1
{\displaystyle -1}
11
12
{\displaystyle {\dfrac {11}{12}}}
330
∘
{\displaystyle 330^{\circ }}
11
π
6
{\displaystyle {\dfrac {11\pi }{6}}}
366
2
3
g
{\displaystyle 366{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}
−
1
2
{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}
−
3
3
{\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
400
g
{\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
다른 각도에 대해 결과는 Trigonometric constants expressed in real radicals 에서 찾을 수 있습니다. 니벤의 정리(Niven's theorem) 에 따르면,
(
0
,
30
,
90
,
150
,
180
,
210
,
270
,
330
,
360
)
{\displaystyle (0,\;30,\;90,\;150,\;180,\;210,\;270,\;330,\;360)}
는, 각도에서 취해지는, 첫 번째 바퀴 이내의 해당하는 각도에 대해 유리수 사인-값의 결과를 얻는 유일한 유리수이며, 이것은 예제에서 인기를 설명할 수 있습니다.[2] [3] 단위 라디안에 대해 유사한 조건은 π 로 나눈 인수가 유리수이어야 하고, 해 0, π /6, π /2, 5π /6, π , 7π /6, 3π /2, 11π /6(, 2π )를 산출합니다.
Trigonometric functions
각도의 함수 사인(sine) , 코사인(cosine) 및 탄젠트(tangent) 는 때때로 주요 (primary ) 또는 기본 (basic ) 삼각 함수로 지칭됩니다. 그들의 보통 약어는 각각 sin(θ ) , cos(θ ) 및 tan(θ ) 이며, 여기서 θ 는 각도를 나타냅니다. 함수의 인수 주위로 괄호는 만약 해석이 명백하게 가능하다면, 종종 생략됩니다. 즉 sinθ 및 cosθ로 나타냅니다.
각도의 사인은, 직각 삼각형(right triangle) 의 문맥에서, 각도에 반대되는 변의 길이를 삼각형의 가장 긴 변 (빗변(hypotenuse) )의 길이로 나눈 비율로 정의됩니다.
sin
θ
=
opposite
hypotenuse
.
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}.}
이 문맥에서 각도의 코사인은 각에 인접한 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 비율입니다.
cos
θ
=
adjacent
hypotenuse
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}
이 문맥에서 각도의 탄젠트(tangent) 는 각도에 반대되는 측면의 길이를 각도에 인접하는 변의 길이로 나눈 비율입니다. 이것은, 위의 사인과 코사인의 정의를 대체함으로써 볼 수 있듯이, 이 각도의 코사인에 대한 사인의 비율(ratio) 과 같습니다.
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
=
opposite
adjacent
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.}
남아있는 삼각 함수 시컨트 (sec ), 코시컨트 (csc ), 및 코탄젠트 (cot )는 각각 코사인, 사인, 및 탄젠트의 역수 함수(reciprocal functions) 로 정의됩니다. 드물게, 이들은 이차 삼각 함수로 불립니다:
sec
θ
=
1
cos
θ
,
csc
θ
=
1
sin
θ
,
cot
θ
=
1
tan
θ
=
cos
θ
sin
θ
.
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}
이들 정의는 때때로 비율 항등식(ratio identities) 으로 참조됩니다.
Inverse functions
역삼각 함수는 삼각 함수에 대해 부분 역함수(inverse function) 입니다. 예를 들어, 역 사인 (sin−1 ) 또는 아크 사인 (arcsine , arcsin 또는 asin )으로 알려진 사인에 대한 역함수는 다음을 만족시킵니다:
sin
(
arcsin
x
)
=
x
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1}
및
arcsin
(
sin
x
)
=
x
for
|
x
|
≤
π
2
.
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}
이 기사는 역 삼각 함수에 대해 아래 표기법을 사용합니다:
함수
sin
cos
tan
sec
csc
cot
역
arcsin
arccos
arctan
arcsec
arccsc
arccot
Pythagorean identities
삼각법에서, 사인과 코사인 사이에 기본 관계는 피타고라스 항등식에 의해 제공됩니다:
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
여기서 sin2 θ 는 (sin(θ ))2 를 의미하고 cos2 θ 는 (cos(θ ))2 을 의미합니다.
이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem) 의 버전으로 보일 수 있고, 단위 원(unit circle) 에 대해 방정식 x 2 + y 2 = 1 으로부터 따릅니다. 이 방정식은 사인 또는 코사인에 대해 해결될 수 있습니다:
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
,
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}
여기서 부호는 θ 의 사분면(quadrant) 에 따라 다릅니다.
이 항등식을 sin2 θ 또는 cos2 θ 중 하나로 나누면 다른 두 피티고라스 항등식을 산출합니다:
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
and
tan
2
θ
+
1
=
sec
2
θ
.
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta .}
이들 항등식과 함께 비율 항등식을 사용하면, 임의의 삼각 함수를 (양 또는 음의 부호까지(up to) ) 임의의 다른 관점에서 표현할 수 있습니다:
다른 다섯의 각각의 관점에서 각각의 삼각 함수.[4]
관점
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta }
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta }
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
sin
θ
=
{\displaystyle \sin \theta =}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
±
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
±
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}
±
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}
±
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
cos
θ
=
{\displaystyle \cos \theta =}
±
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
±
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
±
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}
±
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
tan
θ
=
{\displaystyle \tan \theta =}
±
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
±
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
±
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
±
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}
csc
θ
=
{\displaystyle \csc \theta =}
1
sin
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}
±
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta }
±
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
±
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}
sec
θ
=
{\displaystyle \sec \theta =}
±
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}
±
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}
±
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta }
±
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}
cot
θ
=
{\displaystyle \cot \theta =}
±
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}
±
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}
±
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
±
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
Historical shorthands
All of the trigonometric functions of an angle θ can be constructed geometrically in terms of a unit circle centered at O . Many of these terms are no longer in common use, however this diagram is not exhaustive.
벌사인(versine) , 코벌사인(coversine) , 헤벌사인(haversine) , 및 엑시컨트(exsecant) 는 항해에서 사용되었습니다. 예를 들어, 헤벌사인 공식(haversine formula) 은 구 위의 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해 사용되었습니다. 그들은 오늘날 거의 사용되지 않습니다.
이름
약어
값[5] [6]
versed sine, 벌사인
versin
θ
{\displaystyle \operatorname {versin} \theta }
vers
θ
{\displaystyle \operatorname {vers} \theta }
ver
θ
{\displaystyle \operatorname {ver} \theta }
1
−
cos
θ
{\displaystyle 1-\cos \theta }
versed cosine, 벌코사인
vercosin
θ
{\displaystyle \operatorname {vercosin} \theta }
vercos
θ
{\displaystyle \operatorname {vercos} \theta }
vcs
θ
{\displaystyle \operatorname {vcs} \theta }
1
+
cos
θ
{\displaystyle 1+\cos \theta }
coversed sine, 코벌사인
coversin
θ
{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta }
covers
θ
{\displaystyle \operatorname {covers} \theta }
cvs
θ
{\displaystyle \operatorname {cvs} \theta }
1
−
sin
θ
{\displaystyle 1-\sin \theta }
coversed cosine, 코벌코사인
covercosin
θ
{\displaystyle \operatorname {covercosin} \theta }
covercos
θ
{\displaystyle \operatorname {covercos} \theta }
cvc
θ
{\displaystyle \operatorname {cvc} \theta }
1
+
sin
θ
{\displaystyle 1+\sin \theta }
half versed sine, 헤벌사인
haversin
θ
{\displaystyle \operatorname {haversin} \theta }
hav
θ
{\displaystyle \operatorname {hav} \theta }
sem
θ
{\displaystyle \operatorname {sem} \theta }
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{2}}}
half versed cosine, 헤벌코사인
havercosin
θ
{\displaystyle \operatorname {havercosin} \theta }
havercos
θ
{\displaystyle \operatorname {havercos} \theta }
hvc
θ
{\displaystyle \operatorname {hvc} \theta }
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle {\frac {1+\cos \theta }{2}}}
half coversed sine, 헤코벌사인 cohaversine
hacoversin
θ
{\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta }
hacovers
θ
{\displaystyle \operatorname {hacovers} \theta }
hcv
θ
{\displaystyle \operatorname {hcv} \theta }
1
−
sin
θ
2
{\displaystyle {\frac {1-\sin \theta }{2}}}
half coversed cosine, 헤코벌코사인 cohavercosine
hacovercosin
θ
{\displaystyle \operatorname {hacovercosin} \theta }
hacovercos
θ
{\displaystyle \operatorname {hacovercos} \theta }
hcc
θ
{\displaystyle \operatorname {hcc} \theta }
1
+
sin
θ
2
{\displaystyle {\frac {1+\sin \theta }{2}}}
exterior secant, 엑시컨트
exsec
θ
{\displaystyle \operatorname {exsec} \theta }
exs
θ
{\displaystyle \operatorname {exs} \theta }
sec
θ
−
1
{\displaystyle \sec \theta -1}
exterior cosecant, 엑코시컨트
excosec
θ
{\displaystyle \operatorname {excosec} \theta }
excsc
θ
{\displaystyle \operatorname {excsc} \theta }
exc
θ
{\displaystyle \operatorname {exc} \theta }
csc
θ
−
1
{\displaystyle \csc \theta -1}
chord(현)
crd
θ
{\displaystyle \operatorname {crd} \theta }
2
sin
θ
2
{\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}
Reflections, shifts, and periodicity
Reflecting θ in α=0 (α=π )
단위 원을 검사함으로써, 삼각 함수의 다음 속성은 설립될 수 있습니다.
Reflections
유클리드 벡터의 방향이 각도
θ
{\displaystyle \theta }
에 의해 표현될 때, 이것은 (원점에서 시작하는) 자유 벡터와 양의 x -단위 벡터에 의해 결정된 각도입니다. 같은 개념이 유클리드 공간에서 직선에 역시 적용될 수 있으며, 여기서 각도는 원점과 양의 x -축을 통과하는 주어진 직선과 평행하게 결정된 것입니다. 만약 방향
θ
{\displaystyle \theta }
를 가진 직선 (벡터)이 방향
α
{\displaystyle \alpha }
를 갖는 직선에 대해 반사되면, 이 반사된 직선 (벡터)의 방향 각도
θ
′
{\displaystyle \theta '}
가 다음 값을 가집니다:
θ
′
=
2
α
−
θ
.
{\displaystyle \theta '=2\alpha -\theta .}
특정 각도
α
{\displaystyle \alpha }
에 대해 이들 각도
θ
,
θ
′
{\displaystyle \theta ,\;\theta '}
의 삼각 함수의 값은 그들이 같거나, 반대 부호를 갖거나, 보완적인 삼각 함수를 사용하는 것 중의 하나의 단순한 항등식을 만족시킵니다. 이들은 감소 공식 (reduction formulae )으로 역시 알려져 있습니다.[7]
θ reflected in α = 0[8] odd/even identities
θ reflected in α = π / 4
θ reflected in α = π / 2
θ reflected in α = π compare to α = 0
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }
sin
(
π
2
−
θ
)
=
cos
θ
{\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }
sin
(
π
−
θ
)
=
+
sin
θ
{\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }
sin
(
2
π
−
θ
)
=
−
sin
(
θ
)
=
sin
(
−
θ
)
{\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
{\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }
cos
(
π
2
−
θ
)
=
sin
θ
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }
cos
(
2
π
−
θ
)
=
+
cos
(
θ
)
=
cos
(
−
θ
)
{\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }
tan
(
π
2
−
θ
)
=
cot
θ
{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }
tan
(
2
π
−
θ
)
=
−
tan
(
θ
)
=
tan
(
−
θ
)
{\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}
csc
(
−
θ
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }
csc
(
π
2
−
θ
)
=
sec
θ
{\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }
csc
(
π
−
θ
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }
csc
(
2
π
−
θ
)
=
−
csc
(
θ
)
=
csc
(
−
θ
)
{\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}
sec
(
−
θ
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }
sec
(
π
2
−
θ
)
=
csc
θ
{\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }
sec
(
π
−
θ
)
=
−
sec
θ
{\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }
sec
(
2
π
−
θ
)
=
+
sec
(
θ
)
=
sec
(
−
θ
)
{\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }
cot
(
π
2
−
θ
)
=
tan
θ
{\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }
cot
(
2
π
−
θ
)
=
−
cot
(
θ
)
=
cot
(
−
θ
)
{\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}
Shifts and periodicity
삼각 함수의 인수를 특정 각도만큼 이동시킴으로써, 부호를 변경하거나 보완 삼각 함수를 적용하면 특정 결과를 때때로 보다 간단하게 표현할 수 있습니다. 이동의 일부 예제는 아래 테이블에서 보입니다.
한 바퀴 , 또는 360° , 또는 2π 라디안은 단위 원을 고정된 상태로 유지하고 삼각 함수 sin, cos, sec, 및 csc 가 값을 반복하는 최소 구간이고, 따라서 그들의 주기입니다. 한 주기의 임의의 정수 배수에 의해 임의의 주기 함수의 인수를 이동하면 이동되지 않은 인수의 함수 값을 유지합니다.
반 바퀴 , 또는 180° , 또는 π 라디안은, 이들 정의와 삼각 함수를 정의하는 주기로부터 알 수 있듯이, tan(x ) = sin(x ) / cos(x ) 와 cot(x ) = cos(x ) / sin(x ) 의 주기입니다. 따라서 tan(x ) 및 cot(x ) 의 인수를 π 의 임의의 배수로 이동하면 함수 값은 변하지 않습니다.
주기 2π 를 갖는 함수 sin, cos, sec , 및 csc 에 대해 반 바퀴는 그들 주기의 절반입니다. 이 이동에 대해 단위 원에서 다시 볼 수 있듯이 그들의 값의 부호를 바꿉니다. 이 새로운 값은 2π 의 임의의 추가적인 이동 후에 반복되므로, 모두 함께 그들은 임의의 π 의 홀수 배수, 즉 (2k + 1)⋅π 에 의해 이동에 대해 부호를 변경하며, 여기서 k 는 임의의 정수입니다. 임의의 π 의 짝수 배수는 물론 단지 한 주기이고, 주기의 반으로 뒤로 이동하는 것은 한 주기 더하기 주기의 반에 의해 앞으로 이동한 것과 같습니다.
반의 반 바퀴 , 또는 90° , 또는 π / 2 라디안은 주기 π (180° )를 갖는 tan(x ) 와 cot(x ) 에 대해 반 주기 이동이고, 이동되지 않은 인수에 보완 함수를 적용하는 것의 함수 값을 산출합니다. 위의 논증에 의해 이것은 반 주기의 임의의 홀수 배수 (2k + 1)⋅π / 2 에 의한 이동에 대해 역시 유지됩니다.
네 개의 다른 삼각 함수에 대해, 반의 반 회전은 반의 반 주기를 역시 나타냅니다. 반의 반 주기의 임의의 배수, 즉 반 주기에 의해 덮어지지 않는 이동은 주기의 정수 배수, 더하기 또는 빼기 반의 반 주기에서 분해될 수 있습니다. 이들 배수를 나타내는 항은 (4k ± 1)⋅π / 2 입니다. 반의 반 주기에 의해 앞으로/뒤로 이동은 아래 테이블에 반영되어 있습니다. 다시, 이들 이동은 이동되지 않은 인수에 적용된 각각의 보완 함수를 사용하여 함수 값을 산출합니다.
그들의 반의 반 주기 (π / 4 )에 의한 tan(x ) 와 cot(x ) 의 인수를 이동하면 그러한 간단한 결과를 산출할 수 없습니다.
반의 반 주기에 의한 이동
반 주기에 의한 이동[9]
한 주기에 의한 이동[10]
주기
sin
(
θ
±
π
2
)
=
±
cos
θ
{\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }
sin
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
sin
θ
{\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
cos
(
θ
±
π
2
)
=
∓
sin
θ
{\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }
cos
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
cos
θ
{\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
tan
(
θ
±
π
4
)
=
tan
θ
±
1
1
∓
tan
θ
{\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }
tan
(
θ
+
k
⋅
π
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }
π
{\displaystyle \pi }
csc
(
θ
±
π
2
)
=
±
sec
θ
{\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }
csc
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
sec
(
θ
±
π
2
)
=
∓
csc
θ
{\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
{\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }
sec
(
θ
+
k
⋅
2
π
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
cot
(
θ
±
π
4
)
=
cot
θ
±
1
1
∓
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}}
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }
cot
(
θ
+
k
⋅
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }
π
{\displaystyle \pi }
Angle sum and difference identities
Illustration of angle addition formulae for the sine and cosine. Emphasized segment is of unit length.
이들은 각도 더셈 및 뺄셈 정리 (또는 공식 )라고 역시 알려져 있습니다. 항등식은 인접한 다이어그램에서 처럼 직각 삼각형을 결합함으로써, 또는 특정 중심 각도가 주어진 단위 원에서 현의 길이의 불변을 고려함으로써 도출될 수 있습니다. 가장 직관적인 유도는 회전 행렬을 사용합니다 (아래를 참조하십시오).
Illustration of the angle addition formula for the tangent. Emphasized segments are of unit length.
그들의 합이 비-둔각인, 예각 α 와 β 에 대해, 간결한 다이어그램은 사인 및 코사인에 대해 각도 합 공식을 보여줍니다: 레이블된 "1" 굵은 선분은 단위 길이를 가지고 각도 β 를 갖는 직각 삼각형의 빗변으로 사용됩니다; 이 각도에 대해 반대쪽 및 인접한 다리는 각각 길이 sin β 와 cos β 를 가집는다. cos β 다리는 자체로 각도 α 를 갖는 직각 삼각형의 빗변입니다; 해당 삼각형의 다리는, 따라서, sin α 와 cos α 로 주어진 길이에, cos β 를 곱한 길이를 가집니다. sin β 다리는 각도 α 를 갖는 또 다른 직각 삼각형의 빗변으로서, 마찬가지로 길이 cos α sin β 와 sin α sin β 의 선분으로 이어집니다. 이제 우리는 "1" 선분이 각도 α + β 를 가진 직각 삼각형의 역시 빗변임을 관찰합니다; 이 각도의 반대쪽 다리는 반드시 길이 sin(α + β ) 을 가지지만, 인접한 다리는 길이 cos(α + β ) 를 가집니다. 결과적으로, 다이어그램의 바깥-쪽 사각형의 대변이 같기 때문에, 우리는 다음을 추론합니다:
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}
이름지은 각도 중 하나를 재배치하면 사인과 코사인에 대해 각도 차이 공식을 시연하는 다이어그램의 변형을 산출합니다.[11] (다이어그램은 직각보다 더 큰 각도와 합을 수용하기 위해 추가 변형을 허용합니다.) 다이어그램의 모든 요소를 cos α cos β 로 나누면 탄젠트에 대한 각도 합 공식을 보여주는 또 다른 변형을 제공합니다.
이들 항등식은 예를 들어, 동상과 구적법 성분(in-phase and quadrature components) 에서 응용을 가집니다.
Illustration of the angle addition formula for the cotangent. Top right segment is of unit length.
Sine
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
[12] [13]
Cosine
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
[13] [14]
Tangent
tan
(
α
±
β
)
=
tan
α
±
tan
β
1
∓
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}
[13] [15]
Cosecant
csc
(
α
±
β
)
=
sec
α
sec
β
csc
α
csc
β
sec
α
csc
β
±
csc
α
sec
β
{\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}
[16]
Secant
sec
(
α
±
β
)
=
sec
α
sec
β
csc
α
csc
β
csc
α
csc
β
∓
sec
α
sec
β
{\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}
[16]
Cotangent
cot
(
α
±
β
)
=
cot
α
cot
β
∓
1
cot
β
±
cot
α
{\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}
[13] [17]
Arcsine
arcsin
x
±
arcsin
y
=
arcsin
(
x
1
−
y
2
±
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
[18]
Arccosine
arccos
x
±
arccos
y
=
arccos
(
x
y
∓
(
1
−
x
2
)
(
1
−
y
2
)
)
{\displaystyle \arccos x\pm \arccos y=\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}
[19]
Arctangent
arctan
x
±
arctan
y
=
arctan
(
x
±
y
1
∓
x
y
)
{\displaystyle \arctan x\pm \arctan y=\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}
[20]
Arccotangent
arccot
x
±
arccot
y
=
arccot
(
x
y
∓
1
y
±
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}
Matrix form
사인과 코사인에 대해 합과 차이 공식은 각도 α에 의한 평면의 회전, β에 의한 회전에 따른 α+β에 의한 회전과 같다는 사실로부터 따릅니다. 회전 행렬(rotation matrices) 의 관점에서:
(
cos
α
−
sin
α
sin
α
cos
α
)
(
cos
β
−
sin
β
sin
β
cos
β
)
=
(
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
−
cos
α
sin
β
−
sin
α
cos
β
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
−
sin
α
sin
β
+
cos
α
cos
β
)
=
(
cos
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
+
β
)
sin
(
α
+
β
)
cos
(
α
+
β
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}}
회전에 대해 행렬 역(matrix inverse) 은 각도의 음수를 갖는 회전입니다:
(
cos
α
−
sin
α
sin
α
cos
α
)
−
1
=
(
cos
(
−
α
)
−
sin
(
−
α
)
sin
(
−
α
)
cos
(
−
α
)
)
=
(
cos
α
sin
α
−
sin
α
cos
α
)
,
{\displaystyle \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{rr}\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\,,}
이것은 행렬 전치(matrix transpose) 로 역시 알려져 있습니다.
이들 공식은 이러한 행렬이 평면에서 회전 그룹 (기술적으로 특수 직교 그룹(special orthogonal group) SO(2) )의 표시(representation) 를 형성함을 보여주는데, 왜냐하면 구성 법칙이 충족되고 역이 존재하기 때문입니다. 게다가, 열 벡터를 갖는 각도 α 에 대한 회전 행렬의 행렬 곱셉은 열 벡터를 반-시계 방향으로 각도 α 만큼 회전시킵니다.
단위 길이의 복소수(complex number) 에 의한 곱셈은 숫자의 편각(argument) 에 의해 복소 평면을 회전시키기 때문에, 위의 회전 행렬의 곱셈은 복소수의 곱셈과 동등합니다:
(
cos
α
+
i
sin
α
)
(
cos
β
+
i
sin
β
)
=
(
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
)
+
i
(
cos
α
sin
β
+
sin
α
cos
β
)
=
cos
(
α
+
β
)
+
i
sin
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )&=&(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=&\cos(\alpha {+}\beta )+i\sin(\alpha {+}\beta ).\end{array}}}
오일러의 공식(Euler's formula) 의 관점에서, 이것은 간단히
e
i
α
e
i
β
=
e
i
(
α
+
β
)
{\displaystyle e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}}
라고 말하며,
θ
↦
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \theta \ \mapsto \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
가
S
O
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (2)}
의 일-차원 복소 표시임을 보여줍니다.
Sines and cosines of sums of infinitely many angles
급수
∑
i
=
1
∞
θ
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}
가 절대적으로 수렴(converges absolutely) 할 때,
sin
(
∑
i
=
1
∞
θ
i
)
=
∑
odd
k
≥
1
(
−
1
)
k
−
1
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
(
∏
i
∈
A
sin
θ
i
∏
i
∉
A
cos
θ
i
)
{\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
cos
(
∑
i
=
1
∞
θ
i
)
=
∑
even
k
≥
0
(
−
1
)
k
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
(
∏
i
∈
A
sin
θ
i
∏
i
∉
A
cos
θ
i
)
.
{\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.}
급수
∑
i
=
1
∞
θ
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}
가 절대적으로 수렴하기 때문에, 반드시
lim
i
→
∞
θ
i
=
0
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\theta _{i}=0}
,
lim
i
→
∞
sin
θ
i
=
0
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\sin \,\theta _{i}=0}
, 및
lim
i
→
∞
cos
θ
i
=
1
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\cos \theta _{i}=1}
인 경우입니다. 특히, 이들 두 항등식에서, 유한하게 많은 각도의 합의 경우에서 볼 수 없는 비대칭성이 나타납니다: 이들 곱에서, 오직 유한하게 많은 사인 인수가 있지만 여-유한(cofinite) 하게 많은 코사인 인수가 있습니다. 무한하게 많은 사인 인수를 갖는 항은 반드시 영과 같아야 합니다.
오직 유한하게 많은 각도 θi 가 비-영일 때, 오른쪽 변에서 오직 유한하게 많은 항이 비-영인데 왜냐하면 유한하게 많은 것을 제외하고 사인 인수가 사라지기 때문입니다. 게다가, 각 항에서 유한하게 많은 것을 제외하고 코사인 인수가 단위입니다.
Tangents and cotangents of sums
ek (k = 0, 1, 2, 3, ...에 대해)를 변수에서 (i = 0, 1, 2, 3, ...에 대해) k 번째-차수 기본 대칭 다항식(elementary symmetric polynomial) 으로 놓습니다:
x
i
=
tan
θ
i
{\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}
즉,
e
0
=
1
e
1
=
∑
i
x
i
=
∑
i
tan
θ
i
e
2
=
∑
i
<
j
x
i
x
j
=
∑
i
<
j
tan
θ
i
tan
θ
j
e
3
=
∑
i
<
j
<
k
x
i
x
j
x
k
=
∑
i
<
j
<
k
tan
θ
i
tan
θ
j
tan
θ
k
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
그런-다음 위의 사인과 코사인 합 공식을 사용하여,
tan
(
∑
i
θ
i
)
=
sin
(
∑
i
θ
i
)
/
∏
i
cos
θ
i
cos
(
∑
i
θ
i
)
/
∏
i
cos
θ
i
=
∑
odd
k
≥
1
(
−
1
)
k
−
1
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
∏
i
∈
A
tan
θ
i
∑
even
k
≥
0
(
−
1
)
k
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
∏
i
∈
A
tan
θ
i
=
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
cot
(
∑
i
θ
i
)
=
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
.
오른쪽의 항의 숫자는 왼쪽의 항의 숫자에 따라 다릅니다.
예를 들어:
tan
(
θ
1
+
θ
2
)
=
e
1
e
0
−
e
2
=
x
1
+
x
2
1
−
x
1
x
2
=
tan
θ
1
+
tan
θ
2
1
−
tan
θ
1
tan
θ
2
,
tan
(
θ
1
+
θ
2
+
θ
3
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
−
(
x
1
x
2
x
3
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)
,
tan
(
θ
1
+
θ
2
+
θ
3
+
θ
4
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
+
e
4
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
−
(
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
)
+
(
x
1
x
2
x
3
x
4
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}
기타 등등. 오직 유한하게 많은 항의 경우는 수학적 귀납법(mathematical induction) 에 의해 증명될 수 있습니다.[21]
Secants and cosecants of sums
sec
(
∑
i
θ
i
)
=
∏
i
sec
θ
i
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
csc
(
∑
i
θ
i
)
=
∏
i
sec
θ
i
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
여기서 ek 는 n 변수 x i = tan θ i , i = 1, ..., n 에서 k 번째-차수 기본 대칭 다항식(elementary symmetric polynomial) 이고, 분모에서 항의 숫자와 분자에서 곱에서 인수의 숫자는 왼쪽 변에 합에서 항의 숫자에 따라 다릅니다.[22] 오직 유한하게 많은 항의 경우는 그러한 항의 수에 대한 수학적 귀납법에 의해 증명될 수 있습니다.
예를 들어,
sec
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
1
−
tan
α
tan
β
−
tan
α
tan
γ
−
tan
β
tan
γ
csc
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
−
tan
α
tan
β
tan
γ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}
Multiple-angle formulae
Tn is the n th Chebyshev polynomial
cos
(
n
θ
)
=
T
n
(
cos
θ
)
{\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}
[23]
de Moivre's formula , i is the imaginary unit
cos
(
n
θ
)
+
i
sin
(
n
θ
)
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
{\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}
[24]
Double-angle, triple-angle, and half-angle formulae
Double-angle formulae
두 배 각도에 대해 공식.[25]
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
cos
(
2
θ
)
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
tan
(
2
θ
)
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
cot
(
2
θ
)
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}
sec
(
2
θ
)
=
sec
2
θ
2
−
sec
2
θ
{\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}
csc
(
2
θ
)
=
sec
θ
csc
θ
2
{\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}
Triple-angle formulae
세 배 각도에 대해 공식.[25]
sin
(
3
θ
)
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
=
4
sin
θ
sin
(
π
3
−
θ
)
sin
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
cos
(
3
θ
)
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
=
4
cos
θ
cos
(
π
3
−
θ
)
cos
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
tan
(
3
θ
)
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
=
tan
θ
tan
(
π
3
−
θ
)
tan
(
π
3
+
θ
)
{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}
cot
(
3
θ
)
=
3
cot
θ
−
cot
3
θ
1
−
3
cot
2
θ
{\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}
sec
(
3
θ
)
=
sec
3
θ
4
−
3
sec
2
θ
{\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}
csc
(
3
θ
)
=
csc
3
θ
3
csc
2
θ
−
4
{\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}
Half-angle formulae
sin
θ
2
=
sgn
(
2
π
−
θ
+
4
π
⌊
θ
4
π
⌋
)
1
−
cos
θ
2
where
sgn
x
=
±
1
according to whether
x
is positive or negative.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\&\qquad {\text{where }}\operatorname {sgn} x=\pm 1{\text{ according to whether }}x{\text{ is positive or negative.}}\end{aligned}}}
sin
2
θ
2
=
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
cos
θ
2
=
sgn
(
π
+
θ
+
4
π
⌊
π
−
θ
4
π
⌋
)
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}
cos
2
θ
2
=
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
tan
θ
2
=
csc
θ
−
cot
θ
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
sin
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
θ
sin
θ
=
−
1
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
=
tan
θ
1
+
sec
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}}
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sin
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sin
θ
{\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}}
[26] [27]
역시
tan
η
+
θ
2
=
sin
η
+
sin
θ
cos
η
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}}
tan
(
θ
2
+
π
4
)
=
sec
θ
+
tan
θ
{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta }
1
−
sin
θ
1
+
sin
θ
=
|
1
−
tan
θ
2
|
|
1
+
tan
θ
2
|
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}}
Table
이것들은 합과 차이 항등식 또는 배수-각도 공식을 사용함으로써 표시될 수 있습니다.
사인
코사인
탄젠트
코탄젠트
두배-각 공식[28] [29]
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
cos
(
2
θ
)
=
cos
2
θ
−
sin
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
tan
(
2
θ
)
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
cot
(
2
θ
)
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}
세배-각 공식[23] [30]
sin
(
3
θ
)
=
−
sin
3
θ
+
3
cos
2
θ
sin
θ
=
−
4
sin
3
θ
+
3
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )\!&=\!-\sin ^{3}\theta \!+\!3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}}
cos
(
3
θ
)
=
cos
3
θ
−
3
sin
2
θ
cos
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )\!&=\!\cos ^{3}\theta \!-\!3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}
tan
(
3
θ
)
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}
cot
(
3
θ
)
=
3
cot
θ
−
cot
3
θ
1
−
3
cot
2
θ
{\displaystyle \cot(3\theta )\!=\!{\frac {3\cot \theta \!-\!\cot ^{3}\theta }{1\!-\!3\cot ^{2}\theta }}}
절반-각 공식[26] [27]
sin
θ
2
=
sgn
(
A
)
1
−
cos
θ
2
where
A
=
2
π
−
θ
+
4
π
⌊
θ
4
π
⌋
(
or
sin
2
θ
2
=
1
−
cos
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} (A)\,{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or}}\,\,\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}
cos
θ
2
=
sgn
(
B
)
1
+
cos
θ
2
where
B
=
π
+
θ
+
4
π
⌊
π
−
θ
4
π
⌋
(
o
r
cos
2
θ
2
=
1
+
cos
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} (B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}
tan
θ
2
=
csc
θ
−
cot
θ
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
sin
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
θ
sin
θ
tan
η
+
θ
2
=
sin
η
+
sin
θ
cos
η
+
cos
θ
tan
(
θ
2
+
π
4
)
=
sec
θ
+
tan
θ
1
−
sin
θ
1
+
sin
θ
=
|
1
−
tan
θ
2
|
|
1
+
tan
θ
2
|
tan
θ
2
=
tan
θ
1
+
1
+
tan
2
θ
for
θ
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}\!&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left(\!{\frac {\theta }{2}}\!+\!{\frac {\pi }{4}}\!\right)\!&=\!\sec \theta \!+\!\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}\\[8pt]\tan {\frac {\theta }{2}}\!&=\!{\frac {\tan \theta }{1\!+\!{\sqrt {1\!+\!\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sin
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1\!+\!\cos \theta }{1\!-\!\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1\!-\!\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1\!+\!\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}
사인과 코사인에 대한 세배-각도 공식은 단일 함수의 거듭제곱을 오직 포함한다는 사실은 각도 삼등분(angle trisection) 의 나침반과 직직선 구성(compass and straightedge construction) 의 기하학적 문제를 삼차 방정식(cubic equation) 을 푸는 대수적 문제와 관련시킬 수 있으며, 이것은 삼등분이 필드 이론(field theory) 에 의해 주어진 도구를 사용하여 일반적으로 불가능한 것을 입증하는 것을 허용합니다.
삼분의-일 각도에 대한 삼각 항등식을 계산하는 공식이 존재하지만, 삼차 방정식(cubic equation) 4x 3 − 3x + d = 0 의 영들을 찾아야 하는 것이 요구되며, 여기서 x 는 삼분의-일 각도에서 코사인 함수의 값이고 d 는 전체 각도에서 코사인 함수의 알려진 값입니다. 어쨌든, 이 방정식의 판별식(discriminant) 은 양수이므로, 이 방정식은 세 실수 근을 가집니다 (그것의 오직 하나가 삼분의-일 각도의 코사인에 대해 해입니다). 이들 해 중 어느 것도 실수 대수적 표현으로 비-기약일 수 없는데 , 왜냐하면 그들은 세제곱 근(cube root) 아래에서 중간 복소수를 사용하기 때문입니다.
Sine, cosine, and tangent of multiple angles
특정 배수에 대해, 이들은 각도 덧셈 공식으로부터 따르지만, 일반적인 공식은 16-세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète) 에 의해 제공되었습니다.
sin
(
n
θ
)
=
∑
k
odd
(
−
1
)
k
−
1
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
θ
sin
k
θ
,
cos
(
n
θ
)
=
∑
k
even
(
−
1
)
k
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
θ
sin
k
θ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta ,\\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \,,\end{aligned}}}
이것은 k 에서 n 까지의 비-음 값에 대한 것입니다.
이들 두 방정식의 각각에서, 첫 번째 괄호로 묶은 항은 이항 계수(binomial coefficient) 이고, 최종 삼각 함수는 각 합에서 엔트리의 절반이 제거되도록 일 또는 음의 일 또는 영과 같습니다. 이들 공식의 비율은 다음을 제공합니다:
tan
(
n
θ
)
=
∑
k
odd
(
−
1
)
k
−
1
2
(
n
k
)
tan
k
θ
∑
k
even
(
−
1
)
k
2
(
n
k
)
tan
k
θ
.
{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\,.}
Chebyshev method
체비쇼프(Chebyshev) 방법은 (n − 1) 번째 및 (n − 2) 번째 값을 아는 n 번째 배수 각도 공식을 찾기 위한 재귀 알고리듬입니다.[31]
cos(nx ) 는 다음과 함께 cos((n − 1)x ) , cos((n − 2)x ) , 및 cos(x ) 로부터 계산될 수 있습니다:
cos(nx ) = 2 · cos x · cos((n − 1)x ) − cos((n − 2)x ) .
이것은 다음 공식을 함께 더함으로써 입증될 수 있습니다:
cos((n − 1)x + x ) = cos((n − 1)x ) cos x − sin((n − 1)x ) sin x
cos((n − 1)x − x ) = cos((n − 1)x ) cos x + sin((n − 1)x ) sin x .
그것은 cos(nx ) 가 cos x 의 다항식, 소위 첫 번째 종류의 체비쇼프 다항식이라는 귀납법에 의해 따릅니다. 체비쇼프 다항식의 삼각 정의 를 참조하십시오.
비슷하게, sin(nx ) 는 다음과 함께 sin((n − 1)x ) , sin((n − 2)x ) , 및 cos(x ) 로부터 계산될 수 있습니다:
sin(nx ) = 2 · cos x · sin((n − 1)x ) − sin((n − 2)x ) .
이것은 sin((n − 1)x + x ) 및 sin((n − 1)x − x ) 에 대해 공식을 더함으로써 입증될 수 있습니다.
체비쇼프 방법의 목적과 유사한 것을 제공하는, 탄젠트에 대해 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
tan
(
n
x
)
=
tan
(
(
n
−
1
)
x
)
+
tan
x
1
−
tan
(
(
n
−
1
)
x
)
tan
x
.
{\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}
Tangent of an average
tan
(
α
+
β
2
)
=
sin
α
+
sin
β
cos
α
+
cos
β
=
−
cos
α
−
cos
β
sin
α
−
sin
β
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}
α 또는 β 중 하나를 0으로 설정하면 일반적인 탄젠트 절반-각 공식을 제공합니다.
Viète's infinite product
cos
θ
2
⋅
cos
θ
4
⋅
cos
θ
8
⋯
=
∏
n
=
1
∞
cos
θ
2
n
=
sin
θ
θ
=
sinc
θ
.
{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}
(싱크 함수(sinc function) 를 참조합니다.)
Power-reduction formulae
코사인 두배-각도 공식의 두 번째 및 세 번째 버전을 풀어서 얻을 수 있습니다.
사인
코사인
다른 것
sin
2
θ
=
1
−
cos
(
2
θ
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}
cos
2
θ
=
1
+
cos
(
2
θ
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}
sin
2
θ
cos
2
θ
=
1
−
cos
(
4
θ
)
8
{\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}}
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
sin
(
3
θ
)
4
{\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}}
cos
3
θ
=
3
cos
θ
+
cos
(
3
θ
)
4
{\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}}
sin
3
θ
cos
3
θ
=
3
sin
(
2
θ
)
−
sin
(
6
θ
)
32
{\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}}
sin
4
θ
=
3
−
4
cos
(
2
θ
)
+
cos
(
4
θ
)
8
{\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}
cos
4
θ
=
3
+
4
cos
(
2
θ
)
+
cos
(
4
θ
)
8
{\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}
sin
4
θ
cos
4
θ
=
3
−
4
cos
(
4
θ
)
+
cos
(
8
θ
)
128
{\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}}
sin
5
θ
=
10
sin
θ
−
5
sin
(
3
θ
)
+
sin
(
5
θ
)
16
{\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}}
cos
5
θ
=
10
cos
θ
+
5
cos
(
3
θ
)
+
cos
(
5
θ
)
16
{\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}}
sin
5
θ
cos
5
θ
=
10
sin
(
2
θ
)
−
5
sin
(
6
θ
)
+
sin
(
10
θ
)
512
{\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}
그리고 sin θ 또는 cos θ 의 거듭-제곱의 일반적인 관점에서, 다음은 참이고, 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula) , 오일러의 공식(Euler's formula) 및 이항 정리(binomial theorem) 를 사용하여 추론될 수 있습니다.[citation needed ]
코사인
사인
if
n
is odd
{\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is odd}}}
cos
n
θ
=
2
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
θ
)
{\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}
sin
n
θ
=
2
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
−
1
)
(
n
−
1
2
−
k
)
(
n
k
)
sin
(
(
n
−
2
k
)
θ
)
{\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}
if
n
is even
{\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is even}}}
cos
n
θ
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
2
2
n
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
θ
)
{\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}
sin
n
θ
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
2
2
n
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
−
1
)
(
n
2
−
k
)
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
θ
)
{\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}
Product-to-sum and sum-to-product identities
곱을-합으로 항등식 또는 prosthaphaeresis 공식 은 각도 이론 정리(angle addition theorems) 를 사용하여 오른쪽 변을 전개함으로써 입증될 수 있습니다. 곱을-합으로 공식의 적용에 대해 진폭 변조(amplitude modulation) 및 합을-곱으로 공식의 적용에 대해 비트 (음향) 및 위상 검출기(phase detector) 를 참조하십시오.
곱을-합으로 공식[32]
2
cos
θ
cos
φ
=
cos
(
θ
−
φ
)
+
cos
(
θ
+
φ
)
{\displaystyle 2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}
2
sin
θ
sin
φ
=
cos
(
θ
−
φ
)
−
cos
(
θ
+
φ
)
{\displaystyle 2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}}
2
sin
θ
cos
φ
=
sin
(
θ
+
φ
)
+
sin
(
θ
−
φ
)
{\displaystyle 2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}}
2
cos
θ
sin
φ
=
sin
(
θ
+
φ
)
−
sin
(
θ
−
φ
)
{\displaystyle 2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}
tan
θ
tan
φ
=
cos
(
θ
−
φ
)
−
cos
(
θ
+
φ
)
cos
(
θ
−
φ
)
+
cos
(
θ
+
φ
)
{\displaystyle \tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}
∏
k
=
1
n
cos
θ
k
=
1
2
n
∑
e
∈
S
cos
(
e
1
θ
1
+
⋯
+
e
n
θ
n
)
where
S
=
{
1
,
−
1
}
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}
합을 곱으로 공식[33]
sin
θ
±
sin
φ
=
2
sin
(
θ
±
φ
2
)
cos
(
θ
∓
φ
2
)
{\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}
cos
θ
+
cos
φ
=
2
cos
(
θ
+
φ
2
)
cos
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}
cos
θ
−
cos
φ
=
−
2
sin
(
θ
+
φ
2
)
sin
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}
Other related identities
sec
2
x
+
csc
2
x
=
sec
2
x
csc
2
x
.
{\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x.}
[34]
만약 x + y + z = π (절반 원)이면,
sin
(
2
x
)
+
sin
(
2
y
)
+
sin
(
2
z
)
=
4
sin
x
sin
y
sin
z
.
{\displaystyle \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin x\sin y\sin z.}
삼중 탄젠트 항등식 (Triple tangent identity ): 만약 x + y + z = π (절반 원)이면,
tan
x
+
tan
y
+
tan
z
=
tan
x
tan
y
tan
z
.
{\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z.}
특히, 공식은 x , y , 및 z 가 임의의 삼각형의 세 각도일 때 유지됩니다.
(만약 x , y , z 중 하나가 직각이면, 양쪽 변을 ∞ 가 되게 취해져야 합니다. 이것은 +∞ 도 아니고 −∞ 도 아닙니다; 현재 목적에 대해, 단지 무한대에 한 점을 실수 직선(real line) 에 더하는 것이 합리적인데, 즉, tan θ 가 양수 값을 통해 증가 또는 음수 값을 통해 감소할 때 tan θ 에 접근합니다. 이것은 실수 직선의 한-점 압축(one-point compactification) 입니다.)
삼중 코탄젠트 항등식 (Triple cotangent identity ): 만약 x + y + z = π / 2 (직각 또는 반의 반원)이면,
cot
x
+
cot
y
+
cot
z
=
cot
x
cot
y
cot
z
.
{\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z.}
Hermite's cotangent identity
샤를 에르미트(Charles Hermite) 는 다음 항등식을 시연했습니다.[35] a 1 , ..., a n 가 복소수(complex number) 이고 그것의 둘이 π 의 정수 배수로 다르지 않다고 가정합니다. 다음을 놓습니다:
A
n
,
k
=
∏
1
≤
j
≤
n
j
≠
k
cot
(
a
k
−
a
j
)
{\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}
(특히, 빈 곱(empty product) 인, A 1,1 는 1입니다). 그런-다음
cot
(
z
−
a
1
)
⋯
cot
(
z
−
a
n
)
=
cos
n
π
2
+
∑
k
=
1
n
A
n
,
k
cot
(
z
−
a
k
)
.
{\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}
가장-간단한 비-자명한 예제는 경우 n = 2 입니다:
cot
(
z
−
a
1
)
cot
(
z
−
a
2
)
=
−
1
+
cot
(
a
1
−
a
2
)
cot
(
z
−
a
1
)
+
cot
(
a
2
−
a
1
)
cot
(
z
−
a
2
)
.
{\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}
Ptolemy's theorem
프톨레마이오스의 정리는 다음과 같이 현대 삼각법의 언어로 표현될 수 있습니다:
만약 w + x + y + z = π 이면,:
sin
(
w
+
x
)
sin
(
x
+
y
)
=
sin
(
x
+
y
)
sin
(
y
+
z
)
(trivial)
=
sin
(
y
+
z
)
sin
(
z
+
w
)
(trivial)
=
sin
(
z
+
w
)
sin
(
w
+
x
)
(trivial)
=
sin
w
sin
y
+
sin
x
sin
z
.
(significant)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(z+w)\sin(w+x)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin w\sin y+\sin x\sin z.&{\text{(significant)}}\end{aligned}}}
(첫 번째 세 상등은 자명한 재배치입니다; 네 번째는 이 항등식의 실체입니다.)
Finite products of trigonometric functions
서로소(coprime) 정수 n , m 에 대해
∏
k
=
1
n
(
2
a
+
2
cos
(
2
π
k
m
n
+
x
)
)
=
2
(
T
n
(
a
)
+
(
−
1
)
n
+
m
cos
(
n
x
)
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}
여기서 Tn 는 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial) 입니다.
다음 관계는 사인 함수에 대해 유지됩니다:
∏
k
=
1
n
−
1
sin
(
k
π
n
)
=
n
2
n
−
1
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}
보다 일반적으로[36]
sin
(
n
x
)
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
x
+
k
π
n
)
.
{\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).}
Linear combinations
일부 목적에 대해, 같은 주기 또는 주파수이지만 다른 위상 이동의 사인파의 임의의 선형 조합은 역시 같은 주기 또는 주파수이지만, 다른 위상 이동(phase shifts) 을 갖는 사인파라는 것을 아는 것이 중요합니다. 이는 정현파(sinusoid) 데이터 피팅(data fitting) 에 유용한데, 왜냐하면 측정된 또는 관측된 데이터가 아래의 위상과 사분면 성분 기저의 a 와 b 미지수와 선형적으로 관련되어 있으며, c 와 φ 의 그것에 비해 더 단순한 야코비(Jacobian) 를 초래하기 때문입니다.
Sine and cosine
사인파와 코사인파의 선형 조합, 또는 고조파 덧셈은 위상 이동과 스케일된 진폭을 갖는 단일 사인파와 동등합니다,[37] [38]
a
cos
x
+
b
sin
x
=
c
cos
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}
여기서 c 와 φ 는 따라서 다음으로 정의됩니다:
c
=
sgn
(
a
)
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle c=\operatorname {sgn} (a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
φ
=
arctan
(
−
b
a
)
.
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right).}
Arbitrary phase shift
보다 일반적으로, 임의의 위상 이동에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
a
sin
(
x
+
θ
a
)
+
b
sin
(
x
+
θ
b
)
=
c
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}
여기서 c 와 φ 는 다음을 만족시킵니다:
c
2
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
(
θ
a
−
θ
b
)
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),}
tan
φ
=
a
sin
θ
a
+
b
sin
θ
b
a
cos
θ
a
+
b
cos
θ
b
.
{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.}
More than two sinusoids
일반적인 경우는 다음과 같습니다[38]
∑
i
a
i
sin
(
x
+
θ
i
)
=
a
sin
(
x
+
θ
)
,
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}
여기서
a
2
=
∑
i
,
j
a
i
a
j
cos
(
θ
i
−
θ
j
)
{\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}
및
tan
θ
=
∑
i
a
i
sin
θ
i
∑
i
a
i
cos
θ
i
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}
역시 페이저 덧셈(Phasor addition) 을 참조하십시오.
Lagrange's trigonometric identities
이들 항등식은, 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange) 의 이름을 따서 지어졌으며, 다음입니다:[39] [40]
∑
n
=
1
N
sin
(
n
θ
)
=
1
2
cot
θ
2
−
cos
(
(
N
+
1
2
)
θ
)
2
sin
(
θ
2
)
∑
n
=
1
N
cos
(
n
θ
)
=
−
1
2
+
sin
(
(
N
+
1
2
)
θ
)
2
sin
(
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {\cos \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\\[5pt]\sum _{n=1}^{N}\cos(n\theta )&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\end{aligned}}}
관련된 함수는 디리클레 커널(Dirichlet kernel) 이라고 불리는 x 의 다음 함수입니다.
1
+
2
cos
x
+
2
cos
(
2
x
)
+
2
cos
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
(
n
x
)
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
증명(proof) 을 참조하십시오.
Other sums of trigonometric functions
산술 진행에서 인수를 갖는 사인과 코사인의 합:[41] 만약 α ≠ 0 이면,
sin
φ
+
sin
(
φ
+
α
)
+
sin
(
φ
+
2
α
)
+
⋯
⋯
+
sin
(
φ
+
n
α
)
=
sin
(
n
+
1
)
α
2
⋅
sin
(
φ
+
n
α
2
)
sin
α
2
and
cos
φ
+
cos
(
φ
+
α
)
+
cos
(
φ
+
2
α
)
+
⋯
⋯
+
cos
(
φ
+
n
α
)
=
sin
(
n
+
1
)
α
2
⋅
cos
(
φ
+
n
α
2
)
sin
α
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}\quad {\text{and}}\\[10pt]&\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}
sec
x
±
tan
x
=
tan
(
π
4
±
x
2
)
.
{\displaystyle \sec x\pm \tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}
위의 항등식은 구데르만 함수(Gudermannian function) 를 생각할 때 복소수(complex number) 에 의존없이 원형(circular) 과 쌍곡형(hyperbolic) 삼각 함수와 관련이 있을 때 때때로 알기 위해 편리합니다.
만약 x , y , 및 z 가 임의의 삼각형의 세 각도이면, 즉, 만약 x + y + z = π 이면,
cot
x
cot
y
+
cot
y
cot
z
+
cot
z
cot
x
=
1.
{\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1.}
Certain linear fractional transformations
만약 f (x ) 가 선형 분수 변환(linear fractional transformation) 에 의해 주어지면,
f
(
x
)
=
(
cos
α
)
x
−
sin
α
(
sin
α
)
x
+
cos
α
,
{\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}
및 비슷하게 다음이면,
g
(
x
)
=
(
cos
β
)
x
−
sin
β
(
sin
β
)
x
+
cos
β
,
{\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}
다음입니다:
f
(
g
(
x
)
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
(
cos
(
α
+
β
)
)
x
−
sin
(
α
+
β
)
(
sin
(
α
+
β
)
)
x
+
cos
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}
더 간결하게 말하면, 만약 모든 α 에 대해 우리가 fα 를 우리가 위에서 f 라고 부르는 것으로 놓으면,
f
α
∘
f
β
=
f
α
+
β
.
{\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}
만약 x 는 직선의 기울기이면, f (x ) 는 −α 의 각도를 통한 회전의 기울기입니다.
Inverse trigonometric functions
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
arctan
x
+
arccot
x
=
π
2
arctan
x
+
arctan
1
x
=
{
π
2
,
if
x
>
0
−
π
2
,
if
x
<
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x+\arccos x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\operatorname {arccot} x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}}
arctan
1
x
=
arctan
1
x
+
y
+
arctan
y
x
2
+
x
y
+
1
{\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}=\arctan {\frac {1}{x+y}}+\arctan {\frac {y}{x^{2}+xy+1}}}
[42]
Compositions of trig and inverse trig functions
sin
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
sin
(
arctan
x
)
=
x
1
+
x
2
tan
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
x
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
cot
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
x
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
cot
(
arccos
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cot(\arcsin x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cot(\arccos x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}}
Relation to the complex exponential function
i 2 = −1 를 만족시키는 단위 허수(unit imaginary number) i 와 함께,
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
[43] (오일러의 항등식(Euler's formula) ),
e
−
i
x
=
cos
(
−
x
)
+
i
sin
(
−
x
)
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x}
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
(Euler's identity ),
e
2
π
i
=
1
{\displaystyle e^{2\pi i}=1}
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
[44]
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
[45]
tan
x
=
sin
x
cos
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
i
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
.
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\,.}
이들 공식은 많은 다른 삼각 항등식을 증명하는 데 유용합니다. 예를 들어, 해당 e i (θ +φ ) = e iθ e iφ 는 다음임을 의미합니다:
cos(θ +φ ) + i sin(θ +φ ) = (cos θ + i sin θ ) (cos φ + i sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ ) .
왼쪽 변의 실수 부분이 오른쪽 변의 실수 부분과 같다는 것은 코사인에 대한 각도 덧셈 공식입니다. 허수 부분의 상등은 사인에 대한 각도 덧셈 공식을 제공합니다.
Infinite product formulae
특수 함수(special functions) 에 적용에 대해, 삼각 함수에 대해 다음 무한 곱(infinite product) 공식이 유용합니다:[46] [47]
sin
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
n
2
)
sinh
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
n
2
)
cos
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
cosh
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\end{aligned}}\ \,{\begin{aligned}\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
Identities without variables
아크탄젠트(arctangent) 의 관점에서 우리는 다음을 가집니다:[42]
arctan
1
2
=
arctan
1
3
+
arctan
1
7
.
{\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}
모리의 법칙(Morrie's law) 으로 알려진 호기심을 끄는 항등식은,
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
,
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}
하나의 변수를 포함하는 항등식의 특수 경우입니다:
∏
j
=
0
k
−
1
cos
(
2
j
x
)
=
sin
(
2
k
x
)
2
k
sin
x
.
{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}.}
라디안에서 같은 코사인 항등식은 다음입니다:
cos
π
9
cos
2
π
9
cos
4
π
9
=
1
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}
비슷하게,
sin
20
∘
⋅
sin
40
∘
⋅
sin
80
∘
=
3
8
{\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}
경우 x = 20을 갖는 항등식의 특수 경우입니다:
sin
x
⋅
sin
(
60
∘
−
x
)
⋅
sin
(
60
∘
+
x
)
=
sin
3
x
4
.
{\displaystyle \sin x\cdot \sin(60^{\circ }-x)\cdot \sin(60^{\circ }+x)={\frac {\sin 3x}{4}}.}
경우 x = 15에 대해,
sin
15
∘
⋅
sin
45
∘
⋅
sin
75
∘
=
2
8
,
{\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},}
sin
15
∘
⋅
sin
75
∘
=
1
4
.
{\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}
경우 x = 10에 대해,
sin
10
∘
⋅
sin
50
∘
⋅
sin
70
∘
=
1
8
.
{\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
같은 코사인 항등식은 다음입니다:
cos
x
⋅
cos
(
60
∘
−
x
)
⋅
cos
(
60
∘
+
x
)
=
cos
3
x
4
.
{\displaystyle \cos x\cdot \cos(60^{\circ }-x)\cdot \cos(60^{\circ }+x)={\frac {\cos 3x}{4}}.}
비슷하게,
cos
10
∘
⋅
cos
50
∘
⋅
cos
70
∘
=
3
8
,
{\displaystyle \cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},}
cos
15
∘
⋅
cos
45
∘
⋅
cos
75
∘
=
2
8
,
{\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},}
cos
15
∘
⋅
cos
75
∘
=
1
4
.
{\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}
비슷하게,
tan
50
∘
⋅
tan
60
∘
⋅
tan
70
∘
=
tan
80
∘
,
{\displaystyle \tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ },}
tan
40
∘
⋅
tan
30
∘
⋅
tan
20
∘
=
tan
10
∘
.
{\displaystyle \tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }=\tan 10^{\circ }.}
다음은 변수를 포함하는 항등식으로 쉽게 일반화되지는 않습니다 (그러나 아래 설명을 참조하십시오):
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
.
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
우리가 분모에서 21을 갖는 이 정체성을 고려할 때, 각도 측정은 라디안 측정보다 더 잔인하지 않습니다:
cos
2
π
21
+
cos
(
2
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
4
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
5
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
8
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
10
⋅
2
π
21
)
=
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
인수 1, 2, 4, 5, 8, 10은 패턴을 명확하게 만들기 시작할 수 있습니다: 그들은 21과 상대적으로 소수(relatively prime) 인 (또는 21과 공통으로 소수 인수(prime factor) 를 갖지 않는) 21 / 2 보다 작은 정수입니다. 마지막 여러 예제는 기약 원분 다항식(cyclotomic polynomial) 에 대한 기본 사실의 따름정리입니다: 코사인은 그들 다항식의 영들의 실수 부분입니다; 영들의 합은 (위의 가장 마지막 경우에서) 21에서 평가된 뫼비우스 함수(Möbius function) 입니다; 오직 영들의 절반이 위에 존재합니다. 이 마지막 것보다 이전 두 가지 정체성은 각각 21을 10과 15로 대체된 같은 방식으로 발생합니다.
다른 코사인 항등식은 다음을 포함합니다:[48]
2
cos
π
3
=
1
,
{\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{3}}=1,}
2
cos
π
5
×
2
cos
2
π
5
=
1
,
{\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}=1,}
2
cos
π
7
×
2
cos
2
π
7
×
2
cos
3
π
7
=
1
,
{\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}=1,}
그리고 모든 홀수에 대해서도 마찬가지이고, 따라서
cos
π
3
+
cos
π
5
×
cos
2
π
5
+
cos
π
7
×
cos
2
π
7
×
cos
3
π
7
+
⋯
=
1.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}
그들의 호기심을 끄는 항등식의 많은 것은 다음과 같은 보다 일반적인 사실에서 비롯됩니다:[49]
∏
k
=
1
n
−
1
sin
k
π
n
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}
및
∏
k
=
1
n
−
1
cos
k
π
n
=
sin
π
n
2
2
n
−
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}}
이들을 결합하면 다음을 제공합니다:
∏
k
=
1
n
−
1
tan
k
π
n
=
n
sin
π
n
2
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}
만약 n 는 홀수 (n = 2m + 1 )이면, 우리는 다음을 얻기 위해 대칭의 사용을 만들 수 있습니다:
∏
k
=
1
m
tan
k
π
2
m
+
1
=
2
m
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}
버터워스 저역 통과 필터(Butterworth low pass filter) 의 전달 함수는 다항식과 극점의 관점에서 표현될 수 있습니다. 주파수를 차단 주파수로 설정함으로써, 다음 항등식은 입증될 수 있습니다:
∏
k
=
1
n
sin
(
2
k
−
1
)
π
4
n
=
∏
k
=
1
n
cos
(
2
k
−
1
)
π
4
n
=
2
2
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}
Computing π
π 를 계산하는 효율적인 방법은 매친(Machin) 으로 인해 변수없이 다음 항등식을 기반으로합니다:
π
4
=
4
arctan
1
5
−
arctan
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
또는, 대안적으로, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 의 항등식을 사용함으로써:
π
4
=
5
arctan
1
7
+
2
arctan
3
79
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}
또는 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple) 을 사용함으로써:
π
=
arccos
4
5
+
arccos
5
13
+
arccos
16
65
=
arcsin
3
5
+
arcsin
12
13
+
arcsin
63
65
.
{\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}
다른 것은 다음을 포함합니다:
π
4
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
;
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}};}
[50] [42]
π
=
arctan
1
+
arctan
2
+
arctan
3.
{\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}
[50]
π
4
=
2
arctan
1
3
+
arctan
1
7
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}
[42]
일반적으로, 숫자 t 1 , ..., t n −1 ∈ (−1, 1) 에 대해 이것 θ n = ∑n −1k =1 arctan t k ∈ (π /4, 3π /4) 에 대해, t n = tan(π /2 − θ n ) = cot θ n 으로 놓습니다. 이 마지막 표현은 그의 접선이 t 1 , ..., t n −1 이고 그것의 값이 (−1, 1) 안에 있는 각도의 합의 코탄젠트에 대한 공식을 사용하여 직접 계산될 수 있습니다. 특히, 계산된 t n 은 모든 t 1 , ..., t n −1 값이 유리수일 때마다 유리수일 것입니다. 이들 값과 함께,
π
2
=
∑
k
=
1
n
arctan
(
t
k
)
π
=
∑
k
=
1
n
sign
(
t
k
)
arccos
(
1
−
t
k
2
1
+
t
k
2
)
π
=
∑
k
=
1
n
arcsin
(
2
t
k
1
+
t
k
2
)
π
=
∑
k
=
1
n
arctan
(
2
t
k
1
−
t
k
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sign} (t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}
여기서 첫 번째 표현을 제외하고, 우리는 탄젠트 절반-각 공식을 사용했습니다. 처음 두 공식은 만약 하나 이상의 t k 값이 (−1, 1) 이내에 있지 않아도 작동합니다. t = p /q 가 유리수일 때, 위의 공식에서 (2t , 1 − t 2 , 1 + t 2 ) 값은 피타고라스의 트리플 (2pq , q 2 − p 2 , q 2 + p 2 ) 에 비례함에 주목하십시오.
예를 들어, n = 3 항에 대해, 임의의 a , b , c , d > 0 에 대해,
π
2
=
arctan
(
a
b
)
+
arctan
(
c
d
)
+
arctan
(
b
d
−
a
c
a
d
+
b
c
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}
.
A useful mnemonic for certain values of sines and cosines
확실히 간단한 각도에 대해, 사인과 코사인은 0 ≤ n ≤ 4 에 대해 형식 √n / 2 을 취하며, 이것은 그들을 기억하기 쉽게 만듭니다.
sin
(
0
)
=
sin
(
0
∘
)
=
0
2
=
cos
(
90
∘
)
=
cos
(
π
2
)
sin
(
π
6
)
=
sin
(
30
∘
)
=
1
2
=
cos
(
60
∘
)
=
cos
(
π
3
)
sin
(
π
4
)
=
sin
(
45
∘
)
=
2
2
=
cos
(
45
∘
)
=
cos
(
π
4
)
sin
(
π
3
)
=
sin
(
60
∘
)
=
3
2
=
cos
(
30
∘
)
=
cos
(
π
6
)
sin
(
π
2
)
=
sin
(
90
∘
)
=
4
2
=
cos
(
0
∘
)
=
cos
(
0
)
↑
These
radicands
are
0
,
1
,
2
,
3
,
4.
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}}
Miscellany
황금 비율(golden ratio) φ 과 함께:
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
5
+
1
4
=
φ
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
5
−
1
4
=
φ
−
1
2
=
1
2
φ
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}
역시 실수 제곱근에서 푯현된 삼각 상수 를 참조하십시오.
An identity of Euclid
유클리드(Euclid) 는 책 XIII, 그의 원론 (Elements ) 의 제안 10에서, 원에 내접된 정오각형의 변에 있는 정사각형의 넓이가 같은 원에 내접된 정육각형과 정십각형의 변에 있는 정사각형의 넓이의 합과 같다는 것을 보였습니다. 같은 원 안에 새겨 져 있습니다. 현대 삼각법의 언어에서, 이것은 다음임을 말합니다:
sin
2
18
∘
+
sin
2
30
∘
=
sin
2
36
∘
.
{\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}
프톨레마이오스(Ptolemy) 는 이 명제를 현의 그의 테이블 에서 일부 각도를 계산했습니다.
Composition of trigonometric functions
이 항등식은 삼각 함수의 삼각 함수를 포함합니다:[51]
cos
(
t
sin
x
)
=
J
0
(
t
)
+
2
∑
k
=
1
∞
J
2
k
(
t
)
cos
(
2
k
x
)
{\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}
sin
(
t
sin
x
)
=
2
∑
k
=
0
∞
J
2
k
+
1
(
t
)
sin
(
(
2
k
+
1
)
x
)
{\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}
cos
(
t
cos
x
)
=
J
0
(
t
)
+
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
J
2
k
(
t
)
cos
(
2
k
x
)
{\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}
sin
(
t
cos
x
)
=
2
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
J
2
k
+
1
(
t
)
cos
(
(
2
k
+
1
)
x
)
{\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}
여기서 Ji 는 베셀 함수(Bessel function) 입니다.
Calculus
미적분학(calculus) 에서, 아래 언급된 관계는 라디안(radian) 에서 측정된 각도를 요구합니다; 관계는 만약 각도가 도와 같은 또 다른 단위로 측정되면 더 복잡해집니다. 만약 삼각 함수가 호 길이(arc length) 와 넓이(area) 의 정의와 함께 기하학의 관점에서 정의되면, 그들의 도함수는 두 극한을 확인함으로써 구할 수 있습니다. 첫 번째는 다음입니다:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}
이것은 단위 원(unit circle) 과 조임 정리(squeeze theorem) 를 사용하여 확인됩니다. 두 번째는 다음입니다:
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,}
이것은 항등식 tan x / 2 = 1 − cos x / sin x 을 사용하여 확인됩니다. 이들 두 극한을 설립하면, 우리는 도함수의 정의와 덧셈 정리를 (sin x )′ = cos x 및 (cos x )′ = −sin x 임을 보이기 위해 사용할 수 있습니다. 만약 사인 함수와 코사인 함수가 테일러 급수(Taylor series) 에 의해 정의되면, 도함수는 항별로 거듭제곱 급수를 미분함으로써 구할 수 있습니다.
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}
그 외의 삼각 함수는 위의 항등식과 미분화(differentiation) 의 규칙을 사용하여 미분될 수 있습니다:[52] [53] [54]
d
d
x
sin
x
=
cos
x
,
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
,
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
,
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
,
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
sec
x
=
tan
x
sec
x
,
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
,
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}
적분 항등식은 삼각 함수의 적분의 목록 에서 찾을 수 있습니다. 일부 일반적인 형식은 아래에 목록화됩니다.
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
sin
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
1
a
tan
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
u
u
2
−
a
2
=
1
a
sec
−
1
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
Implications
삼각 함수 (사인 및 코사인)의 미분화가 같은 두 함수의 선형 조합(linear combination) 을 초래한다는 사실은 미분 방정식(differential equation) 및 푸리에 변환(Fourier transform) 을 포함하여 많은 수학 분야에서 근본적으로 중요합니다.
Some differential equations satisfied by the sine function
i = √−1 를 허수 단위로 놓고 ∘가 미분 연산자의 합성을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 모든 홀수 양의 정수 n 에 대해,
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
d
d
x
−
sin
x
)
∘
(
d
d
x
−
sin
x
+
i
)
∘
⋯
⋯
∘
(
d
d
x
−
sin
x
+
(
k
−
1
)
i
)
(
sin
x
)
n
−
k
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}&\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\&\qquad \cdots \circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}}
(k = 0일 때, 합성되는 미분 연산자의 숫자는 0이므로, 위의 합에서 해당하는 항은 (sin x )n 입니다.) 이 항등식은 의료 이미징(medical imaging) 에서 연구의 부산물로 발견되었습니다.[55]
Exponential definitions
Function
Inverse function[56]
sin
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}
arccos
x
=
−
i
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
tan
θ
=
−
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
e
i
θ
+
e
−
i
θ
{\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}
csc
θ
=
2
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}
arccsc
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}
sec
θ
=
2
e
i
θ
+
e
−
i
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
+
i
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}
cot
θ
=
i
e
i
θ
+
e
−
i
θ
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}
arccot
x
=
i
2
ln
(
x
−
i
x
+
i
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)}
cis
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}
arccis
x
=
−
i
ln
x
{\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x}
Further "conditional" identities for the case α + β + γ = 180°
다음 공식은, 공식에서 발생하는 함수가 잘 정의되어 있는 한, 임의의 평면 삼각형에 적용되고 α + β + γ = 180°로부터 따릅니다 (후자는 탄젠트 및 코탄젠트가 발생하는 공식에 오직 적용됩니다).
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
=
tan
α
⋅
tan
β
⋅
tan
γ
{\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,}
cot
β
⋅
cot
γ
+
cot
γ
⋅
cot
α
+
cot
α
⋅
cot
β
=
1
{\displaystyle \cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1}
cot
α
2
+
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
cot
α
2
⋅
cot
β
2
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
tan
β
2
tan
γ
2
+
tan
γ
2
tan
α
2
+
tan
α
2
tan
β
2
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1}
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
−
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
+
1
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}
−
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
−
1
{\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
−
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
cos
β
cos
γ
{\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,}
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
cos
β
cos
γ
−
1
{\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,}
−
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,}
−
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,}
−
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}
−
sin
2
(
2
α
)
+
sin
2
(
2
β
)
+
sin
2
(
2
γ
)
=
−
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
{\displaystyle -\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\sin(2\beta )\sin(2\gamma )}
−
cos
2
(
2
α
)
+
cos
2
(
2
β
)
+
cos
2
(
2
γ
)
=
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1}
sin
2
(
α
2
)
+
sin
2
(
β
2
)
+
sin
2
(
γ
2
)
+
2
sin
(
α
2
)
sin
(
β
2
)
sin
(
γ
2
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1}
Miscellaneous
Dirichlet kernel
디리클레 커널 (Dirichlet kernel ) Dn (x ) 는 다음 항등식의 양쪽 변에 발생하는 함수입니다:
1
+
2
cos
x
+
2
cos
(
2
x
)
+
2
cos
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
(
n
x
)
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
디리클레 커널을 갖는 주기 2π 의 적분-가능 함수(integrable function) 의 합성곱(convolution) 은 함수의 n 번째-차수 푸리에 근사와 일치합니다. 같은 것은 임의의 측정(measure) 또는 일반화된 함수(generalized function) 에 대해 유지됩니다.
Tangent half-angle substitution
만약 우리가 다음을 놓으면,
t
=
tan
x
2
,
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}
다음입니다:[57]
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
;
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
;
e
i
x
=
1
+
i
t
1
−
i
t
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}
여기서 e ix = cos x + i sin x 이며, 때때로 cis x 으로 축약됩니다.
tan x / 2 에 대해 t 의 이 치환이 미적분(calculus) 에서 사용될 때, sin x 가 2t / 1 + t 2 로, cos x 가 1 − t 2 / 1 + t 2 로 대체되고, 미분 dx 는 2 dt / 1 + t 2 로 대체됨을 따릅니다. 그것에 따라서 우리는 sin x 와 cos x 의 유리 함수를 그들의 역도함수(antiderivative) 를 찾기 위해 t 의 유리 함수로 변환할 수 있습니다.
See also
Notes
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