Antiderivative

Original article: wikipedia:Antiderivative

For lists of antiderivatives of primitive functions, see lists of integrals.

The slope field of $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c$, showing three of the infinitely many solutions that can be produced by varying the arbitrary constant c.

미적분학(calculus)에서, 함수(function) f의 역도함수(antiderivative), 원시 함수(primitive function), 원시 적분(primitive integral) 또는 부정 적분(indefinite integral)은 그의 도함수(derivative)가 원래 함수 f와 같은 미분-가능한 함수 F입니다. 이것은 F ′ = f로 기호적으로 나타낼 수 있습니다. 역도함수(antiderization)를 해결하는 과정은 역미분화(antidifferentiation) (또는 부정 적분화(indefinite integration))로 불리고, 그의 반대의 연산은 미분화로 불리며, 이것은 도함수를 찾는 과정입니다.

역도함수는 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 통해 한정 적분(definite integral)과 관련됩니다: 구간에 걸쳐 함수의 한정 적분은 그 구간의 끝점에서 평가된 역도함수의 값 사이의 차이와 같습니다.

역도함수의 개념의 이산의 동등은 역차이(antidifference)입니다.

Example

함수 $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$는 $f(x)=x^{2}$의 역도함수인데 왜냐하면 ${\tfrac {x^{3}}{3}}$의 도함수는 $x^{2}$이기 때문입니다. 상수(constant)의 도함수는 영(zero)이므로, $x^{2}$은 ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$, 등과 같은, 역도함수의 무한한(infinite) 개수를 가질 것입니다. 따라서, $x^{2}$의 모든 역도함수는 $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$에서 c의 값을 바꿈으로써 얻어질 수 있으며, 여기서 c는 적분화의 상수(constant of integration)로 알려진 임의의 상수입니다. 본질적으로, 주어진 함수의 역도함수의 그래프(graphs)는 서로의 수직 평행이동(vertical translation)입니다; 각 그래프의 수직 위치는 값(value) c에 따라 다릅니다.

보다 일반적으로, 거듭제곱 함수 $f(x)=x^{n}$는 만약 n ≠ −1이면 역도함수 $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$를 가지고, 만약 n = −1이면 $F(x)=\ln x+c$를 가집니다.

물리학에서, 가속도의 적분화는 속도 더하기 상수를 산출합니다. 상수는, 상수 항의 도함수가 영이기 때문에, 속도의 도함수를 취하는 것에 의해 잃어버리는 초기 속도 항입니다. 이 같은 패턴은 (위치, 속도, 가속도, 기타 등등) 운동의 도함수와 뒤따른 적분화에 적용됩니다.

Uses and properties

역도함수는, 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 사용하여, 한정 적분을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다: 만약 F가 구간 $[a,b]$에 걸쳐 적분-가능(integrable) 함수 f의 역도함수이면, 다음입니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

이것 때문에, 주어진 함수 f의 무한하게 많은 역도함수의 각각은 때때로 f의 "일반적인 적분" 또는 "부정 적분"으로 불리고 경계없는 적분 기호를 사용하여 다음처럼 쓰입니다:

$\int f(x)\,dx.$

만약 F가 f의 역도함수이고, 함수 f는 어떤 구간 위에 정의되면, f의 모든 각 다른 역도함수 G는 상수에 의해 F와 다릅니다: 모든 x에 대해 $G(x)=F(x)+c$를 만족하는 숫자 c가 존재합니다. c는 적분화의 상수(constant of integration)로 불립니다. 만약 F의 도메인이 둘 또는 더 많은 (열린) 구간의 분리 합집합(disjoint union)이면, 적분화의 다른 상수는 구간의 각각에 대해 선택될 수 있을 것입니다. 예를 들어

$F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+c_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+c_{2}\quad x>0\end{cases}}$

은 그의 자연수 도메인 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$ 위의 $f(x)=1/x^{2}$의 가장 일반적인 역도함수입니다.

모든 연속 함수(continuous function) f는 역도함수를 가지고, 하나의 역도함수 F는 위쪽 경계 변수를 갖는 f의 한정 적분에 의해 제공됩니다:

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.$

아래 경계를 변화시키는 것은 다른 역도함수를 생성합니다 (그러나 모든 가능한 역도함수를 다 생성하는 것은 아닙니다). 이것은 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 또 다른 공식화입니다.

그의 역도함수는, 비록 그들이 존재할지라도, (다항식(polynomial), 지수 함수(exponential function), 로그(logarithm), 삼각 함수(trigonometric functions), 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions) 및 그들의 조합과 같은) 초등 함수(elementary function)의 관점에서 절대 표현될 수 없는 많은 함수가 있습니다. 이것들의 예제는 다음입니다:

$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin x^{2}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.$

왼쪽에서 오른쪽으로, 처음 네 개는 오차 함수(error function), 프레넬 함수(Fresnel function), 삼각 적분(trigonometric integral), 및 로그 적분 함수(logarithmic integral function)입니다.

보다 자세한 논의에 대해 미분 갈루아 이론(Differential Galois theory)을 역시 참조하십시오.

Techniques of integration

초등 함수의 역도함수를 찾는 것은 그들의 도함수를 찾는 것보다 종종 상당히 더 곤란합니다. 일부 초등 함수에 대해, 다른 초등 함수의 관점에서 역도함수를 찾는 것은 불가능합니다. 더 자세한 정보는 초등 함수(elementary functions) 및 비-초등 적분(nonelementary integral)에 대한 기사를 참조하십시오.

이용할 수 있는 다양한 방법이 있습니다:

• 적분화의 선형성(linearity of integration)은 복잡한 적분을 더 단순한 것들로 나누는 것을 허용합니다
• 치환에 의한 적분화(integration by substitution), 삼각 항등식(trigonometric identities) 또는 자연 로그(natural logarithm)와 함께 종종 결합됩니다.
  • 역 체인 규칙 방법(inverse chain rule method), 치환에 의한 적분화의 특별한 경우
• 함수의 곱을 적분하기 위한 부분에 의한 적분화(integration by parts)
• 역 함수 적분화(inverse function integration), $f$와 $f^{-1}$의 역도함수의 관점에서 역-가능한 및 연속 함수 $f$와 역 $f^{-1}$의 역도함수를 표현하는 공식
• 적분화에서 부분 분수(partial fractions in integration)의 방법은 모든 유리 함수(rational function) (두 다항식의 분수)를 적분하는 것을 허용합니다
• 리시 알고리듬(Risch algorithm)
• 여러 번 적분할 때, 특정 추가적인 기법이 사용될 수 있습니다. 예를 들어 이중 적분(double integral) 및 극 좌표(polar coordinates), 야코비(Jacobian) 및 스토크스의 정리(Stokes' theorem)를 참조하십시오.
• 만약 함수가 기본 역도함수를 가지지 않으면 (예를 들어, $\exp(-x^{2})$), 그의 한정 적분은 수치적 적분화(numerical integration)를 사용하여 근사화될 수 있습니다.
• 다른 적분화 기법이, 치환에 의한 적분화와 같은, 사용될 수 있는 것을 만족하는 피적분을 대수적으로 조작하는 것이 종종 편리합니다.
• 함수 f의 (n번) 반복된 역도함수를 계산하기 위해, 코시(Cauchy)의 공식이 유용합니다 (비교. 반복된 적분화에 대해 코시 공식(Cauchy formula for repeated integration)):

$\int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\dots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\dots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.$

컴퓨터 대수 시스템(Computer algebra system)은 위의 기호적 기법에서 포함된 방법의 일부 또는 전부를 자동화하기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 포함된 대수적 조작이 매우 복잡하거나 길 때 특히 유용합니다. 이미 유도되어 왔던 적분은 적분의 테이블(table of integrals)에서 찾을 수 있습니다.

Of non-continuous functions

비-연속 함수는 역도함수를 가질 수 있습니다. 반면에 이 분야에서 여전히 열린 질문이 있습니다, 그것은 다음인 것으로 알려져 있습니다:

• 불연속성의 큰 집합을 갖는 일부 높은 병리학적 함수(pathological functions)는 그럼에도 불구하고 역도함수를 가질 수 있을 것입니다.
• 입부 경우에서, 그러한 병리학적 함수의 역도함수는 리만 적분화(Riemann integration)에 의해 발견될 수 있지만, 다른 경우에서 이들 함수는 리만 적분-가능이 아닙니다.

함수의 도메인은 열린 구간인 것으로 가정합니다:

• 역도함수를 가지기 위한 함수 f에 대해, 필요이지만, 충분은 아닌 조건은 f가 사잇값 속성(intermediate value property)을 갖는다는 것입니다. 즉, 만약 [a, b]가 f의 도메인의 부분-구간이고 y가 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수이면, f(c) = y를 만족하는 a와 b 사이의 c가 존재합니다. 이것은 다르부의 정리(Darboux's theorem)의 결과입니다.

• f의 불연속성의 집합은 반드시 마른 집합(meagre set)이어야 합니다. 이 집합은 반드시 역시 F-시그마(F-sigma) 집합이어야 합니다 (왜냐하면 임의의 함수의 불연속의 집합은 반드시 이 유형의 것이기 때문입니다). 게다가, 임의의 마른 F-시그마 집합에 대해, 우리는 역도함수를 가지는 어떤 함수 f를 구성할 수 있으며, 이것은 불연속성의 그의 집합으로 주어진 집합를 가집니다.

• 만약 f가 역도함수를 가지고, 도메인의 닫힌 유한 부분-구간 위에 경계진(bounded) 것이고 르베그 측정(Lebesgue measure) 0의 불연속성의 집합을 가지면, 역도함수는 르베그의 의미에서 적분화에 의해 발견될 수 있을 것입니다. 사실, 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)과 같은 더 강력한 적분을 사용하여, 역도함수가 존재하는 것에 대해 모든 각 함수는 적분-가능이고, 그의 일반적인 적분은 그의 역도함수와 일치합니다.

• 만약 f는 닫힌 구간 $[a,b]$ 위의 역도함수 F를 가지면, 분할 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b$의 임의의 선택에 대해, 만약 우리가 평균값 정리(mean value theorem)에 의해 지정된 것처럼 표본 점 $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$을 선택하면, 대응하는 리만 합은 값 $F(b)-F(a)$에 끼워 넣습니다(telescopes).

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}$

어쨌든 만약 f가 무-경계이면, 또는 만약 f가 경계져 있지만 f의 불연속성의 집합이 양의 르베그 측정을 가지면, 표본 점 $x_{i}^{*}$의 다른 선택은, 분할이 얼마나 정교한지 상관없이, 리만 합에 대해 상당히 다른 값을 제공할 수 있을 것입니다. 아래의 예제 4를 참조하십시오.

Some examples

1. $f\left(0\right)=0$과 함께 함수

   $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)$

   는 $x=0$에서 연속은 아니지만 $F\left(0\right)=0$과 함께 다음 역도함수를 가집니다:

   $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

   왜냐하면 f는 닫힌 유한 구간 위에 경계져 있고 단지 0에서 불연속이기 때문이며, 역도함수 F는 적분화: $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$에 의해 얻어질 수 있을 것입니다.
2. $f\left(0\right)=0$과 함께 함수

   $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$

   는 $x=0$에서 연속은 아니지만 $F(0)=0$과 함께 다음 역도함수를 가집니다:

   $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$

   예제 1과 다르게, f(x)는 0을 포함하는 임의의 구간에서 무-경계이므로, 리만-적분은 정의되지 않습니다.
3. 만약 f(x)가 예제 1의 함수이고 F는 그의 역도함수이고, $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$는 열린 구간 $(-1,1),$의 조밀한(dense) 셀-수-있는(countable) 부분-집합(subset)이면, 함수

   $g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}$

   은 다음 역도함수를 가집니다:

   $G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.$

   g의 불연속성의 집합은 정확하게 집합 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$입니다. g는 닫힌 유한 구간 위에 경계지고 불연속성의 집합은 측정 0을 가지므로, 역도함수 G는 적분화에 의해 발견될 수 있을 것입니다.
4. $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$를 열린 구간 $(-1,1)$의 조밀한(dense) 셀-수-있는(countable) 부분-집합으로 놓습니다. 모든 곳에서 연속적으로 엄격하게 증가하는 다음 함수를 생각해 보십시오.

   $F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.$

   그것은, 급수가 수렴하는 모든 값 x에 대해, 다음임을 보여줄 수 있습니다:

   $F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$

   

   Figure 1.

   

   Figure 2.

   또한, F(x)의 그래프는 x의 모든 다른 값에서 수직 접선을 가짐을 보일 수 있습니다. 특히 그래프는 집합 $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ 안의 모든 점에서 수직 접선을 가집니다.

   게다가 도함수가 정의되는 모든 x에 대해 $F(x)\geq 0$입니다. 그것은 역함수 $G=F^{-1}$가 모든 곳에서 미분-가능이고 구간 $[F(-1),F(1)]$ 안의 조밀한 것인 집합 $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ 안의 모든 x에 대해 다음임을 따릅니다:

   $g(x)=G'(x)=0$

   따라서 g는 역도함수 G를 가집니다. 다른 한편으로, 그것은 다음인 것에 절대 참이 될 수 없습니다:

   $\int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,dx=GF(1)-GF(-1)=2,$

   왜냐하면 $[F(-1),F(1)]$의 임의의 분할에 대해, 우리는 합에 대해 0의 값을 제공하는, 집합 $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$으로부터 리만 합에 대해 표본 점을 선택할 수 있기 때문입니다. 그것은 g가 양의 르베그 측정의 불연속성의 집합을 가지는 것을 따릅니다. 오른쪽의 그림 1은 $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$이고 급수는 8 항에서 자른 g(x)의 그래프에 대한 근사를 보여줍니다. 그림 2는, 역시 8 항에서 자른, 역도함수 G(x)에 대한 근사의 그래프를 보여줍니다. 다른 한편으로, 만약 리만 적분이 르베그 적분(Lebesgue integral)으로 대체되면, 파투의 보조정리(Fatou's lemma) 또는 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)는, g가 그 문맥에서 미분학의 기본 정리를 만족시킨다는 것을 보여줍니다.
5. 예제 3과 4에서, 함수 g의 불연속성의 집합은 유한 열린 구간 $(a,b)$ 안에 오직 조밀합니다. 어쨌든 이들 예제는 전체 실수 직선 $(-\infty ,\infty )$ 위에 조밀한 불연속성의 집합을 갖도록 쉽게 수정될 수 있습니다. 다음을 놓습니다:

   $\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.$

   그런-다음 $g(\lambda (x))\lambda '(x)$는 $(-\infty ,\infty )$ 위에 불연속성의 조밀한 집합을 가지고 역도함수 $G\cdot \lambda$를 가집니다.
6. 예제 5에서처럼 비슷한 방법을 사용하여, 우리는 예제 4에서 모든 유리수(rational numbers)에서 사라지도록 g를 수정할 수 있습니다. 만약 우리가 규칙적인 분할에 걸쳐 왼쪽 또는 오른쪽 리만 합의 극한으로 정의된 리만 적분(Riemann integral)의 소박한 버전을 사용하면, 우리는 구간 $[a,b]$에 걸쳐 그러한 함수 g의 적분은, $G(b)-G(a)$ 대신에, a와 b가 둘 다 유리일 때마다 0임을 얻을 수 있습니다. 따라서 미적분학의 기본 정리는 장엄하게 실패할 것입니다.
7. 역도함수를 가지는 함수는 여전히 리만 적분-가능에 실패할 수 있을 것입니다. 볼테라의 함수(Volterra's function)의 도함수는 예제입니다.

See also

• Antiderivative (complex analysis)
• Lists of integrals
• Symbolic integration
• Area

Further reading

• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

External links

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral at HyperPhysics
• Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
• Integral calculator at Symbolab
• The Antiderivative at MIT
• Introduction to Integrals at SparkNotes
• Antiderivatives at Harvy Mudd College