Convergence tests

Original article: w:Converence tests

수학에서, 수렴 테스트(convergence tests)는 무한 급수(infinite series) $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$의 수렴(convergence), 조건부 수렴(conditional convergence), 절대 수렴(absolute convergence), 수렴의 구간(interval of convergence) 또는 발산에 대해 테스팅하는 것의 방법입니다.

List of tests

Limit of the summand

만약 더해지는 숫자(summand)의 극한이 비-정의 또는 비-영, 즉 $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$이면, 급수는 반드시 발산합니다. 이 의미에서, 부분 합이 코시(Cauchy)인 것은 이 극한이 존재하고 영과 같은 것의 충분 조건(only if)입니다. 테스트는, 만약 합해지는 숫자의 극한이 영이면, 결정적이지 않습니다.

Ratio test

이것은 달랑베르의 기준(D'Alembert's criterion)으로 역시 알려져 있습니다.

다음을 만족하는 $r$이 존재하는 것을 가정합니다:

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

만약 r < 1이면, 급수는 절대적으로 수렴입니다. 만약 r > 1이면, 급수는 발산입니다. 만약 r = 1이면, 비율 테스트는 결정적이지 않고, 급수는 수렴일 수 있습니다.

Root test

이것은 n번째 근 테스트(nth root test) 또는 코시의 기준(Cauchy's criterion)으로 역시 알려져 있습니다.

다음을 놓습니다:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

여기서 $\limsup$은 극한 상부(limit superior)을 의미합니다 (아마도 $\infty$; 만약 극한이 존재하면 그것은 같은 값입니다).

만약 r < 1이면, 급수는 수렴입니다. 만약 r > 1이면, 급수는 발산입니다. 만약 r = 1이면, 근 테스트는 결정적이지 않고, 급수는 수렴 또는 발산일 수 있습니다.

근 테스트는 비율 테스트보다 더 강력합니다: 비율 테스트가 무한 급수의 수렴 또는 발산을 결정할 때마다, 근 테스트도 그렇지만, 반대는 그렇지 않습니다.

예를 들어, 다음 급수에 대해

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

수렴은 근 테스트로부터 따르지만 비율 테스트로부터 그렇지 않습니다.

Integral test

급수는 수렴 또는 발산을 세우기 위해 적분과 비교될 수 있습니다. $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$를 $f(n)=a_{n}$를 만족하는 비-음의 및 단조적으로 감소하는 함수(monotonically decreasing function)로 놓습니다.

만약 다음이면:

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty$이면,

급수는 수렴입니다. 그러나 만약 적분이 발산이면, 급수는 그래서 마찬가지 그렇습니다.

다른 말로, 급수 ${a_{n}}$이 수렴하는 것과 적분이 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.

Direct comparison test

만약 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$이 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수이고 충분하게 큰 n에 대해 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$이면, 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대적으로 수렴입니다.

Limit comparison test

만약 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$이고 (즉, 두 수열의 각 원소가 양수입니다), 극한 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$이 존재하며, 유한이고 비-영이면, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$이 발산하는 것과 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$이 발산하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.

Cauchy condensation test

$\left\{a_{n}\right\}$을 양의 비-증가하는 수열로 놓습니다. 그런-다음 합 $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴하는 것과 합 $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$이 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다. 게다가, 만약 그들이 수렴하면, $A\leq A^{*}\leq 2A$가 유지됩니다.

Abel's test

다음 명제가 참이라고 가정합니다:

1. $\sum a_{n}$은 수렴 급수입니다,
2. $\left\{b_{n}\right\}$은 단조적 수열이고,
3. $\left\{b_{n}\right\}$은 경계집니다.

그런-다음 $\sum a_{n}b_{n}$은 역시 수렴합니다.

Absolute convergence test

모든 각 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수는 수렴합니다.

Alternating series test

이것은 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)으로 역시 알려져 있습니다.

다음 명제가 참이라고 가정합니다:

1. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$,
2. 모든 각 n에 대해, $a_{n+1}\leq a_{n}$입니다.

그런-다음 $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$와 $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$은 수렴 급수입니다.

Dirichlet's test

만약 $\{a_{n}\}$이 실수(real number)의 수열(sequence)이고 $\{b_{n}\}$이 다음을 만족시키는 복소수(complex number)의 수열이면:

• $a_{n}\geq a_{n+1}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• 모든 각 양의 정수 N에 대해, $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$

여기서 M은 어떤 상수입니다. 그런-다음 급수

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

는 수렴합니다.

Raabe–Duhamel's test

$a_{n}>0$으로 놓습니다.

다음을 정의합니다:

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

만약

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

이 존재하면 다음 세 가지 가능성이 있습니다:

• 만약 L > 1이면 급수는 수렴합니다.
• 만약 L < 1이면 급수는 발산합니다.
• 그리고 만약 L = 1이면 테스트는 결정적이지 않습니다.

이 테스트의 대안적인 공식화는 다음과 같습니다. { a_n }를 실수의 급수로 놓습니다. 그런-다음 만약 모든 n > K에 대해

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

를 만족하는 b > 1이고 (자연수) K가 존재하면, 급수 {a_n}은 수렴합니다.

Bertrand's test

{ a_n }을 양수의 수열로 놓습니다.

다음을 정의합니다:

$b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

만약

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

이 존재하면 세 가지 가능성이 있습니다:

• 만약 L > 1이면 급수는 수렴합니다.
• 만약 L < 1이면 급수는 발산합니다.
• 그리고 만약 L = 1이면 테스트는 결정적이지 않습니다.

Gauss's test

{ a_n }을 양수의 수열로 놓습니다. 만약 어떤 β > 1에 대해 ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$이면, $\sum a_{n}$는 만약 α > 1이면 수렴이고, 만약 α ≤ 1이면 발산입니다.

Notes

• 급수의 일부 특별한 유형에 대해, 보다 전문화된 수렴 테스트가 있습니다. 예를 들어, 푸리에 급수(Fourier series)에 대해 디니 테스트(Dini test)가 있습니다.

Examples

다음 급수를 생각해 보십시오:

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

코시 응집 테스트(Cauchy condensation test)는, 만약

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

이 유한하게 수렴하면, (*)가 유한하게 수렴하는 것을 의미합니다. 왜냐하면

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**)은 비율 $2^{(1-\alpha )}$을 갖는 기하 급수이기 때문입니다. (**)는 만약 그의 비율이 일보다 작으면 (즉, $\alpha >1$), 유한하게 수렴합니다. 따라서, (*)은 유한하게 수렴하는 것과 $\alpha >1$인 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.

Convergence of products

대부분의 테스트는 무한 급수의 수렴을 다루지만, 그들은 무한 곱(infinite product)의 수렴 또는 발산을 보이기 위해 역시 사용될 수 있습니다. 이것은 다음 정리를 사용하여 이루어질 수 있습니다: $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$를 양수의 수열로 놓습니다. 그런-다음 무한 곱 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$이 수렴하는 것과 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$가 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다. 역시 비슷하게, 만약 $0<a_{n}<1$이 유지되면, $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$이 비-영 극한에 접근하는 것과 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$가 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

이것은 곱의 로그를 취하고 극한 비교 테스트를 사용함으로써 입증될 수 있습니다.

See also

• L'Hôpital's rule
• Shift rule

Further reading

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

External links

• Flowchart for choosing convergence test