Power rule

Original article: w:Power rule

미적분학(calculus)에서, 거듭제곱 규칙(power rule)은, $r$이 실수일 때마다, 형식 $f(x)=x^{r}$의 함수를 미분하기 위해 사용됩니다. 도함수(derivative)는 미분-가능한 함수의 공간에 대한 선형(linear) 연산이므로, 다항식(polynomial)은 이 규칙을 사용하여 역시 미분될 수 있습니다. 거듭제곱 규칙은 테일러 급수(Taylor series)의 기초가 되는데, 왜냐하면 그것은 거듭제곱 급수(power series)를 함수의 도함수(derivative)와 관련시키기 때문입니다.

Power rule

만약 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$가 $f(x)=x^{r}$를 만족하는 함수이고, $f$가 $x$에서 미분-가능이면, 다음입니다:

$f'(x)=rx^{r-1}$

임의의 실수 $r\neq -1$에 대해, 다음 적분

$\int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C$

임을 말하는 적분화에 대해 거듭제곱 규칙은 적분화에 대해 미적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus)를 거듭제곱 규칙에 적용함으로써 도출될 수 있을 것입니다.

Proof

시작하기 위해, 우리는 $f(x)=x^{r}$의 값의 동작하는 정의를 선택해야 하며, 여기서 $r$이 임의의 실수입니다. 비록 우리가 그러한 거듭제곱을 만날 때마다 무리수 거듭제곱에 접근하는 유리수 거듭제곱의 수열의 극한으로, 또는 주어진 거듭제곱 보다 작은 유리수 거듭제곱의 집합의 최소 위쪽 경계로 값을 정의하는 것이 그럴싸할지라도, 정의의 이 유형은 미분화할 수 없습니다. 그러므로, $x>0$의 모든 값에 대해 보통 $x^{r}=\exp(r\ln x)=e^{r\ln x}$로 취해지는, 함수의 정의를 사용하는 것이 바람직하며, 여기서 $\exp$는 자연 지수 함수(natural exponential function)이고 $e$는 오일러의 숫자(Euler's number)입니다. 먼저, 우리는 $f(x)=e^{x}$의 도함수가 $f'(x)=e^{x}$임을 시연할 것입니다.

만약 $f(x)=e^{x}$이면, $\ln(f(x))=x$이며, 여기서 $\ln$은, 오일러에 의해 시연된 것처럼, 지수 함수의 역함수, 자연 로그(natural logarithm) 함수입니다. 후자의 두 함수는 $x>0$의 모든 값에 대해 같으므로, 두 도함수가 존재할 때마다, 그들의 도함수는 역시 같으므로, 체인 규칙(chain rule)에 의해, 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1$

또는 필요에 따라, $f'(x)=f(x)=e^{x}$입니다. 그러므로, $f(x)=e^{r\ln x}$에 체인 규칙을 적용하여, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

$f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}$

이것은 $rx^{r-1}$로 단순화됩니다.

$x<0$일 때, 우리는 $x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}$를 갖는 같은 정의를 사용할 것이며, 여기서 우리는 이제 $-x>0$를 가집니다. 이것은 필연적으로 같은 결과로 이어집니다. 주목할 것은 $r$이 유리수가 아닐 때 $(-1)^{r}$은 전통적인 정의를 가지지 않기 때문에, 무리수 거듭제곱 함수는 음의 밑수에 대해 잘 정의되어 않습니다. 게다가, (가장 낮은 항에서) 짝수 분모를 가진 –1의 유리수 거듭제곱은 실수가 아니기 때문에, 이들 표현은 (가장 낮은 항에서) 홀수 분모를 갖는 유리수 거듭제곱에 대해 오직 실수 값입니다.

마지막으로, 함수가 $x=0$에서 미분-가능일 때마다, 도함수에 대해 정의하는 극한은 다음입니다:

$\lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}$

이것은 $r$이 (가장 낮은 항에서) 홀수 분모를 갖는 유리수이고 $r>1$일 때 오직 0을 산출하고, r = 1일 때 1을 산출합니다. r의 모든 다른 값에 대해, 표현 $h^{r}$은, 위에서 설명한 것처럼, $h<0$에 대해 잘-정의되지 않거나, 실수가 아니므로, 극한은 실수-값 도함수로 존재하지 않습니다. 그것이 존재하는 두 경우에 대해, 값은 0에서 존재하는 거듭제곱 규칙의 값과 일치하므로, 예외는 필요하지 않습니다.

지수화의 우리의 계획으로부터 표현 $0^{0}$ (경우 x = 0)의 제외는 함수 $f(x,y)=x^{y}$가 (0,0)에서 극한을 가지지 않는다는 사실에서 기인하는데, 왜냐하면 $x^{0}$은, x가 0에 접근할 때, 1에 접근하지만, $0^{y}$은, y가 0에 접근할 때, 0에 접근하기 때문입니다. 따라서, 응용에 따라, 값이 두 경우의 하나와 모순될 수 있기 때문에, 그것에 대해 임의의 특정 값에 속하는 것으로 생각하는 것은 문제가 될 것입니다. 그것은 전통적으로 정의되지 않은 채로 남겨집니다.

Proof by induction (non-zero integers)

n을 양의 정수로 놓습니다. 그것은 ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$인 것을 입증하기 위해 요구됩니다.

$n=1$일 때, ${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}$입니다. 그러므로 밑수 경우는 유지됩니다.

명제는 어떤 양의 정수 k에 대해, 즉, ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}$를 만족하는 것으로 가정합니다.

$n=k+1$일 때,

${\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=(k+1)x^{k+1-1}$.

수학적 귀납법의 원리에 의해, 명제는 모든 양의 정수 n에 대해 참입니다.

$m=-n$을 놓으면, m은 음의 정수입니다. 역수 규칙(reciprocal rule)을 사용하여,

${\frac {d}{dx}}x^{m}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{n}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{n}}{(x^{n})^{2}}}=-{\frac {nx^{n-1}}{x^{2n}}}=-nx^{-n-1}=mx^{m-1}$.

결론에서, 임의의 비-영 정수 $\alpha$에 대해, ${\frac {d}{dx}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}$입니다.

Proof by binomial theorem (rational numbers)

1. $y=x^{n}$을 놓는데, 여기서 $n\in \mathbb {N}$입니다:

그런-다음

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+...+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+...+{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\&=nx^{n-1}\\\end{aligned}}$

2. $y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}$을 놓는데, 여기서 $n\in \mathbb {N}$입니다:

그런-다음 $y^{n}=x$입니다.

체인 규칙(chain rule)에 의해, 우리는 $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$을 얻습니다

따라서,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=mx^{m-1}$.

3. $p\in \mathbb {Q} ^{+}$가 되도록 $y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}$을 놓는데, 여기서 $m,n\in \mathbb {N}$입니다:

체인 규칙(chain rule)에 의해,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}$

4. $y=x^{q}$을 놓는데, 여기서 $q=-p$와 $p\in \mathbb {Q} ^{+}$입니다:

체인 규칙(chain rule)과 역수 규칙(reciprocal rule)을 사용함으로써, 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{p}=p\left({\frac {1}{x}}\right)^{p-1}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-px^{-p-1}=qx^{q-1}$

위의 결과로부터, 우리는, r이 유리수일 때, ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$라는 결론을 내릴 수 있습니다.

History

적분에 대해 거듭제곱 규칙은 ${\displaystyle n}$의 모든 양의 정수에 대해 17세기 초에서 이탈리아 수학자 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)에 의한 기하학적 형태로 처음으로 입증되었고, 17세기 중기 동안 모든 유리수 거듭제곱에 대해, 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat), 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli), 질 두 호베르발(Gilles de Roberval), 존 월리스(John Wallis), 및 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)에 의해 각각 독립적으로 입증되었습니다. 그 당시에는, 그들은 유리수 거듭제곱 함수의 그래프와 수평 축 사이의 넓이를 결정하는 것에 대한 논문이었습니다. 뒤늦은 이해와 함께, 어쨌든, 발견된 것에 대해 미적분학의 최초의 일반적인 정리로 여겨집니다. 미분화에 대해 거듭제곱 규칙은 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고프트리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해, 17세기 중반에서 유리수 거듭제곱 함수에 대해, 각각 독립적으로, 유도되었고, 그들 둘 다는 그런-다음 역 연산으로 적분에 대해 거듭제곱 규칙을 유도하기 위해 그것을 사용했습니다. 이것은 관련된 정리가 현대 기본 미적분 교과서에서 제시되는 전통적인 방법을 반영하며, 여기서 미분화 규칙은 보통 적분화 규칙보다 앞에 있습니다.

비록 두 사람이, 오직 유리수 양에 대해 입증된, 그들의 규칙이 모든 실수 거듭제곱에 대해 동작한다고 말했지만, 그 당시에 이론의 응용이 그러한 외래의 거듭제곱 함수와 관련이 없는 때와 마찬가지로, 그런 것의 증명을 찾지도 못했고, 무한 급수의 수렴의 질문은 여전히 모호했었습니다.

$r=-1$의 독특한 경우는 17세기 중반에 플랑드르 예수회 및 수학자 그레고와르 데 생-빈센트(Grégoire de Saint-Vincent) 및 그의 학생 알폰스 안토니오 데 사라사(Alphonse Antonio de Sarasa)에 의해 해결되었으며, 그들은 직각쌍곡선 $xy=1$와 x-축 사이의 넓이를 나타내는, 관련된 한정 적분

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt$

은 로그 함수임을 입증했으며, 그의 밑수는 궁극적으로 초월적 숫자 e로 밝혀졌습니다. 이 한정 적분의 값에 대해 현대 표기법은 자연 로그, $\ln(x)$입니다.

Generalizations

Complex Power Functions

만약 우리가 형식 $f(z)=z^{c}$의 함수를 고려하는데 여기서 $c$는 임의의 복소수이고 $z$는 0의 가지 점 및 그것에 연결된 임의의 가지 자름을 배제하는 슬릿 복소 평면에서 복소수이고, 및 우리가 전통적인 다중-값 정의 $z^{c}:=\exp(c\ln z)$를 사용하면, 복소 로그의 각 가지에서, 위에 사용된 동일한 인수가 비슷한 결과를 산출한다는 것을 보여주는 것은 간단합니다: $f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)$.

게다가, 만약 $c$가 양의 정수이면, 가지 자름이 필요하지 않습니다: 우리는 $f(0)=0$을 정의하거나, 복소수 곱셈을 통해 양의 정수 복소 거듭제곱을 정의하고, 도함수의 정의와 이항 정리로부터, 모든 복소수 $z$에 대해 $f'(z)=cz^{c-1}$임을 보일 수 있습니다.

어쨌든, 비-정수 지수에 대해 복소 거듭제곱 함수의 다중-값 본성으로 인해, 우리는 사용되는 복소 로그의 가지를 지정하는 것에 반드시 주의해야 합니다. 게다가, 어떤 가지가 사용되더라도, 만약 $c$가 양의 정수가 아니면, 함수는 0에서 미분-가능이지 않습니다.

References

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.