Product rule

Original article: w:Product rule

For Euler's chain rule relating partial derivatives of three independent variables, see Triple product rule. For the counting principle in combinatorics, see Rule of product. For the general product rule in probability, see Chain rule (probability).

미적분학(calculus)에서, 곱 규칙(product rule)은 두 개 이상의 함수(functions)의 곱의 도함수(derivative)를 찾기 위해 사용되는 공식입니다. 그것은 다음으로 말할 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' }

또는 라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)에서:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \dfrac{d}{dx}(u\cdot v) = \dfrac{du}{dx} \cdot v + u\cdot \dfrac{dv}{dx}.}

미분화 표기법에서, 이것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

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라이프니츠의 표기법에서, 세 함수의 곱의 도함수는 다음입니다 (오일러의 삼중 곱 규칙(Euler's triple product rule)과 혼동하지 마십시오):

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}.}

Discovery

이 규칙의 발견은 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의한 것으로 공인되며, 그는 미분(differentials)을 사용하여 그것을 입증했습니다. (어쨌든, 차일드(J. M. Child), 라이프니츠의 논문의 번역가는 그것이 아이작 배로(Isaac Barrow)에 기인한다고 주장합니다.) 다음은 라이프니츠의 논증입니다: u(x)와 v(x)를 x의 두 미분-가능한 함수(differentiable function)로 놓습니다. 그런-다음 uv의 미분은 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align} }

항 du·dv는 (du와 dv에 비교해서) "무시할 수 있으므로", 라이프니츠는 다음임을 결론-짓습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv }

그리고 이것은 실제로 곱 규칙의 미분 형식입니다. 만약 우리가 미분 dx를 통해 나누면, 우리는 다음을 얻습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} }

이것은 다음과 같이 라그랑주의 표기법(Lagrange's notation)에서 역시 쓸 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. }

Examples

• 우리가 f(x) = x² sin(x)를 미분하기를 원한다고 가정합니다. 곱 규칙을 사용함으로써, 우리는 도함수 f′(x) = 2x sin(x) + x² cos(x)를 얻습니다 (왜냐하면 x²의 도함수는 2x이고 사인(sine) 함수의 도함수는 코사인 함수이기 때문입니다).
• 곱 규칙의 한 특별한 경우는 상수 배수 규칙(constant multiple rule)이며, 이것은 다음을 말합니다: 만약 c가 숫자이고 f(x)가 미분-가능 함수이면, cf(x)는 역시 미분-가능이고, 그의 도함수는 (cf)′(x) = cf′(x)입니다. 이것은 곱 규칙으로부터 따르는데, 왜냐하면 임의의 상수의 도함수는 영이기 때문입니다. 이것은, 도함수에 대해 합 규칙과 결합하여, 미분화는 선형(linear)임을 보입니다.
• 부분에 의한 적분화(integration by parts)에 대해 규칙은 곱 규칙으로부터 유도되고, 마찬가지로 (약한 버전의) 몫 규칙(quotient rule)으로부터 유도됩니다. (그것은 몫이 미분-가능이라는 것을 입증하지 못하지만, 오직 만약 그것이 미분 가능이면 그의 도함수가 무엇인지를 말할 수 있으므로 "약한" 버전입니다.)

Proofs

Proof by factoring (Proof from first principles)

h(x) = f(x)g(x)로 놓고 f와 g가 x에서 각각 미분-가능이라고 가정합니다. 우리는 h가 x에서 미분-가능이고 그의 도함수, h′(x)는 f′(x)g(x) + f(x)g′(x)으로 제공됨을 입증하기를 원합니다. 이것을 수행하기 위해, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)} (이것은 영이고, 따라서 값을 변경하지 않습니다)는 그의 인수화를 허용하기 위해 분자에 더해지고, 그런-다음 극한의 속성이 사용됩니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} h'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x)}_\text{See the note below.} + \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x). \end{align}}

다음

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x) }

인 사실은 미분-가능한 함수가 연속이라고 말하는 정리로부터 추론됩니다.

Brief proof

정의에 의해, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } 가 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x } 에서 미분-가능이면, 우리는 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\psi_1(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\psi_2(h)}{h} = 0, } 역시 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \psi_1, \psi_2 \sim o(h)} 으로 쓰이는 것을 만족하는 다음을 쓸 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \psi_1(h) \qquad \qquad g(x+h) = g(x) + g'(x)h + \psi_2(h) }

그런 다음:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} fg(x+h) - fg(x) = (f(x) + f'(x)h +\psi_1(h))(g(x) + g'(x)h + \psi_2(h)) - fg(x)= f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h + o(h) \\[12pt] \end{align} }

작은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle h } 에 대해 극한을 취함으로써 결과를 제공합니다.

Quarter squares

체인 규칙(chain rule)과 사분의 일 제곱 함수의 속성에 의존하는 사분의 일 제곱 곱셈(quarter square multiplication)을 사용하는 증명이 있습니다 (여기서 q로 보이는, 즉, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle q(x)=\tfrac{x^2}4} 을 가집니다):

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f=q(u+v)-q(u-v), }

양쪽 변을 미분함으로써:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} f' &= q'(u+v)(u'+v') - q'(u-v)(u'-v') \\[4pt] &= \left({1 \over 2}(u+v)(u'+v')\right) - \left({1 \over 2}(u-v)(u'-v')\right) \\[4pt] &= {1 \over 2}(uu' + vu' + uv' + vv') - {1 \over 2}(uu' - vu' - uv' + vv') \\[4pt] &= vu'+uv' \\[4pt] &= uv'+u'v \end{align}}

Chain rule

곱 규칙은 여러 변수에 대해 체인 규칙(chain rule)의 특별한 경우로 고려될 수 있습니다.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}. }

Non-standard analysis

u와 v를 x에서 연속 함수로 놓고, dx, du 및 dv을 비-표준 해석학(non-standard analysis)의 프레임워크 이내의 무한소(infinitesimal), 특히 초실수(hyperreal number)로 놓습니다. 유한(finite) 초실수를, 실수가 그것에 무한히 다가갈 때, 결합하는 표준 부분 함수(standard part function)를 나타내기 위해 st를 사용하면, 이것은 다음을 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d(uv)}{dx} &= \operatorname{st}\left(\frac{(u + du)(v + dv) - uv}{dx}\right) \\[4pt] &= \operatorname{st}\left(\frac{uv + u \cdot dv + v \cdot du + dv \cdot du -uv}{dx}\right) \\[4pt] &= \operatorname{st}\left(\frac{u \cdot dv + (v + dv) \cdot du}{dx}\right) \\[4pt] &= u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}. \end{align}}

이것은 (위의 표준 부분의 자리에서) 동차성의 초월적 법칙(transcendental law of homogeneity)을 개척하는 본질적으로 라이프니츠(Leibniz)의 증명이었습니다.

Smooth infinitesimal analysis

무한소에 대한 로비어의 접근의 문맥에서, dx를 거듭제곱영 무한소로 놓습니다. 그런-다음 du = u′ dx 및 dv = v′ dx이므로, 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} d(uv) & = (u + du)(v + dv) -uv \\ & = uv + u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv - uv \\ & = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv \\ & = u\cdot dv + v\cdot du\,\! \end{align} }

왜냐하면

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle du \, dv = u' v' (dx)^2 = 0}

Generalizations

A product of more than two factors

곱 규칙은 두 인수보다 많은 곱들에 대해 일반화될 수 있습니다. 예를 들어, 세 인수에 대해 우리는 다음을 가집니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.}

함수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle f_1, \dots, f_k} 의 모음에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).}

Higher derivatives

Main article: General Leibniz rule

이항 정리(binomial theorem)에 따라 기호적으로 전개함으로써, 두 인수의 곱의 n번째 도함수에 대해 일반적인 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)으로 일반화될 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle d^n(uv) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}

특정 점 x에서 적용된, 위의 공식은 다음을 제공합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}

게다가, 인수의 임의의 숫자의 n번째 도함수에 대해:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \left(\prod_{i=1}^kf_i\right)^{(n)}=\sum_{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}{n\choose j_1,j_2,\ldots,j_k}\prod_{i=1}^kf_i^{(j_i)}.}

Higher partial derivatives

부분 도함수(partial derivative)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle {\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv) = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}}

여기서 인덱스 S는 {1, ..., n}의 모든 2ⁿ 부분-집합을 통해 실행하고, |S|는 S의 카디널리티(cardinality)입니다. 예를 들어, n = 3일 때,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} & {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\[6pt] = {} & u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\[6pt] & + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1} + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}}

Banach space

X, Y, 및 Z는 바나흐 공간(Banach space)이고 (이것은 유클리드 공간을 포함합니다) B : X × Y → Z는 연속(continuous) 쌍선형 연산자(bilinear operator:이중선형 연산자:겹선형 연산자)로 가정합니다. 그런-다음 B는 미분-가능이고, X × Y 안의 점 (x,y)에서 그의 도함수는 다음에 의해 제공되는 선형 맵(linear map) D_(x,y)B : X × Y → Z입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y. }

Derivations in abstract algebra

추상 대수학(abstract algebra)에서, 곱 규칙은 도함수(derivation)로 불리는 것을 정의하기 위해 사용되며, 그 반대는 아닙니다.

Vector functions

곱 규칙은 벡터 함수의 스칼라 곱셈(scalar multiplication), 점 곱(dot product), 및 교차 곱(cross product)으로 확장됩니다.

스칼라 곱셈에 대해: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (f \cdot \mathbf g)' = f\;'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g\;' }

점 곱에 대해: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f\;'\cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g\;' }

교차 곱에 대해: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f\;' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g\;' }

주목: 교차 곱은 교환-속성이 없습니다. 즉, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (f \times g)' \neq f' \times g + g' \times f } 이며, 대신에 곱은 반-교환-속성이므로, 그것은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (f \times g)' = f' \times g - g' \times f } 으로 쓸 수 있습니다.

Scalar fields

스칼라 필드에 대해 그래디언트(gradient)의 개념은 도함수의 아날로그입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \nabla (f \cdot g) = \nabla f \cdot g + f \cdot \nabla g }

Applications

곱 규칙의 응용 중의 하나는, n이 양의 정수일 때, 다음의 증명입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle {d \over dx} x^n = nx^{n-1}}

(비록 n이 양수가 아니거나 정수가 아니더라도, 이 규칙은 참이지만, 그것의 증명은 다른 방법에 반드시 의존합니다). 증명은 지수 n에 대해 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의한 것입니다. 만약 n = 0이면, xⁿ은 상수이고 nx^n − 1 = 0입니다. 규칙은, 해당 경우에서, 유지되는데, 왜냐하면 상수 함수의 도함수가 0이기 때문입니다. 만약 규칙이 임의의 특정 지수 n에 대해 유지되면, 다음 값, n + 1에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{align} {d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\[12pt] &{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \qquad\mbox{(the product rule is used here)} \\[12pt] &{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1\qquad\mbox{(the induction hypothesis is used here)} \\[12pt] &{}= (n + 1)x^n. \end{align} }

그러므로 만약 전제가 n에 대해 참이면, 그것은  n + 1에 대해 역시 참이고, 따라서 모든 자연수 n에 대해 참입니다.