Quotient rule

Original article: w:Quotient rule

미적분학(calculus)에서, 몫 규칙(quotient rule)은 두 미분-가능한 함수의 비율인 함수(function)의 도함수(derivative)를 찾는 방법입니다. $f(x)=g(x)/h(x)$로 놓는데, 여기서 $g$와 $h$ 둘 다는 미분-가능이고, $h(x)\neq 0$입니다. 몫 규칙은 $f(x)$의 도함수가 다음임을 말합니다:

$f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.$

Examples

1. 기본 예제:

   ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {e^{x}}{x^{2}}}&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}$

2. 몫 규칙은 다음처럼 $f(x)=\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$의 도함수를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.

   ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}$

Proofs

Proof from derivative definition and limit properties

$f(x)=g(x)/h(x)$로 놓습니다. 도함수의 정의와 극한의 속성을 적용하여 다음 증명을 제공합니다.

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {g(x+k)}{h(x+k)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{h(x)h(x+k)}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(h(x)\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}-g(x)\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}$

Proof using implicit differentiation

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$로 놓는데, 그래서 $g(x)=f(x)h(x)$입니다. 곱 규칙(product rule)은 그런-다음 $g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)$를 제공합니다. $f'(x)$에 대해 풀고 $f(x)$에 대해 다시 대체하면 다음을 제공합니다:

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}$

Proof using the chain rule

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)h(x)^{-1}$로 놓습니다. 그런-다음 곱 규칙은 다음을 제공합니다:

$f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot {\frac {d}{dx}}(h(x)^{-1}).$

두 번째 항에서 도함수를 평가하기 위해, 체인 규칙(chain rule)과 함께 거듭제곱 규칙(power rule)을 적용하십시오:

$f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x).$

마지막으로, 분수로 다시-쓰고 항들을 결합한 후 다음을 얻습니다:

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}$

Higher order formulas

암시적 미분화는 몫의 (부분적으로 그것의 첫 번째 n − 1 도함수의 관점에서) n번째 도함수를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, $fh=g$을 두-번 미분한 다음 ($f''h+2f'h'+fh''=g''$의 결과에서) $f''$에 대해 풀면 다음을 산출합니다:

$f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}.$