Related rates

Original article: w:Related rates

미분 미적분학(differential calculus)에서, 관련 비율(related rates) 문제는 해당 양을 그의 변화율이 알려진 다른 양과 관련시킴으로써 양이 변하는 비율을 찾는 것을 포함합니다. 변화율은 보통 시간(time)과 관련됩니다. 과학과 공학은 종종 서로 양을 관련시키기 때문에, 관련 비율의 방법은 이들 필드에서 넓은 응용을 가집니다. 시간 또는 다른 변수 중 하나에 관한 미분화는 체인 규칙(chain rule)의 적용을 요구하는데, 왜냐하면 대부분 문제는 여러 변수를 포함하기 때문입니다.

기본적으로, 만약 함수 $F$가 $F=f(x)$를 만족하도록 정의되면, 함수 $F$의 도함수는 또 다른 변수에 관해 취할 수 있습니다. 우리는 $x$는 $t$의 함수, 즉 $x=g(t)$임을 가정합니다. 그런-다음 $F=f(g(t))$이므로, 다음입니다:

$F'=f'(g(t))\cdot g'(t)$.

라이프니츠 표기법에서 쓰일 때, 이것은 다음입니다:

${\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.$

따라서, 만약 그것이 $x$가 $t$에 관해 어떻게 변하는지를 알려져 있으면, 우리는 $F$가 $t$에 관해 어떻게 변하는지 및 그 반대에 대해서 결정할 수 있습니다. 우리는 미적분학의 합, 차이, 곱 및 몫 규칙 등을 가진 체인 규칙의 이 응용을 확장할 수 있습니다.

예를 들어, 만약 $F(x)=G(y)+H(z)$이면 다음입니다:

${\frac {dF}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {dG}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}$.

Procedure

관련 비율 문제에 접근하기 위한 가장 공통적인 방법은 다음입니다:

1. 변화율과 구하려는 변화율을 포함하는, 알려진 변수(variables)를 식별하십시오. (그림을 그리는 것 또는 문제의 표현은 모든 것을 순서대로 유지하기 위해 도움이 될 수 있습니다.)
2. 그의 변화율이 양에서 알려져 있는 양과 그의 변화율이 구하려는 양을 관련시키는 방정식(equation)을 구성하십시오.
3. 시간에 관한 방정식 (또는 다른 변화율)의 양쪽 변을 미분(differentialte)하십시오. 종종, 체인 규칙(chain rule)이 이 단계에서 사용됩니다.
4. 알려진 변화율과 알려진 양을 방정식에서 바꾸십시오.
5. 원했던 변화율에 대해 푸십시오.

이 절차에서 오류는 시간에 관한 도함수를 찾기는 것 (후라기 보다는) 전에 변수에 대해 알려진 값을 대입하는 것에 의해 종종 원인이 됩니다. 그렇게 하면 잘못된 결과를 산출할 수 있는데, 왜냐하면 만약 그들의 값이 미분화 전에 변수에 대해 치환되면, 그들 변수는 상수가 될 것입니다; 그리고 그 방정식이 미분화될 때, 영은 값이 대입되는 것에 대해 모든 변수의 위치에 나타납니다.

Examples

Leaning ladder example

10-미터 사다리가 건물의 벽에 기대어 있고, 사다리의 바닥이 초당 3 미터의 비율로 건물로부터 미끄러져 멀어집니다. 사다리의 바닥이 벽에서 6미터 떨어져 있을 때 사다리의 꼭대기가 얼마나 빨리 벽 아래로 미끄러질까요?

사다리의 바닥과 벽 사이의 거리 x와 벽 위의 사다리 높이 y는 빗변, h인 사다리를 갖는 직각 삼각형(right triangle)의 변을 나타냅니다. 목적은, h, x 및 dx/dt, x의 변화율이 알려져 있을 때, 시간 t에 관한 y의 변화율, dy/dt를 찾는 것입니다.

단계 1:

$x=6$

$h=10$

${\frac {dx}{dt}}=3$

${\frac {dh}{dt}}=0$

${\frac {dy}{dt}}=?$

단계 2: 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)로부터, 방정식

$x^{2}+y^{2}=h^{2}\,$,

은 직각 삼각형에 대해 x, y 및 h 사이의 관계를 설명합니다. 시간, t에 관한 이 방정식의 양쪽 변을 미분하면, 다음을 산출합니다:

${\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})={\frac {d}{dt}}(h^{2})$

단계 3: 원했던 변화율, dy/dt에 대해 풀었을 때, 다음을 제공합니다:

${\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})={\frac {d}{dt}}(h^{2})$

$(2x){\frac {dx}{dt}}+(2y){\frac {dy}{dt}}=(2h){\frac {dh}{dt}}$

$x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}$

${\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.$

단계 4 & 5: 단계 1로부터 변수를 사용하면 다음을 제공합니다:

${\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.$

${\frac {dy}{dt}}={\frac {10\times 0-6\times 3}{y}}=-{\frac {18}{y}}.$

피타고라스 정리를 사용하여 y에 대해 풀면 다음을 제공합니다:

$x^{2}+y^{2}=h^{2}$

$6^{2}+y^{2}=10^{2}$

$y=8$

방정식에 대해 8을 대입하면:

$-{\frac {18}{y}}=-{\frac {18}{8}}=-{\frac {9}{4}}$

일반적으로 음의 값은 아래 방향을 나타내는 것으로 가정합니다. 그렇게 하면, 사다리 꼭대기가 초당 9⁄4 미터의 비율로 벽을 미끄러져 내려오고 있습니다.

Physics Examples

하나의 물리량은 종종 또 다른 것에 의존하며, 이것은 차례로 시간과 같은 다른 것에 의존하기 때문에, 관련-비율 방법은 물리학에서 광범위한 응용을 가집니다. 이 섹션은 관련 비율 운동학(kinematics) 및 전자기 유도(electromagnetic induction)의 예제를 제공합니다.

Physics Example I: Relative Kinematics of Two Vehicles

One vehicle is headed North and currently located at (0,3); the other vehicle is headed West and currently located at (4,0). The chain rule can be used to find whether they are getting closer or further apart.

예를 들어, 우리는, 자동차가 시간당 80 마일로 교차로를 향해 서쪽으로 향하고 또 다른 자동차는 시간당 60 마일로 교차로에서 북쪽으로 향하는 동안 운동학 문제를 생각해 볼 수 있습니다. 우리는 북쪽 경계 자동차가 교차로의 3마일 북쪽에 있고 서쪽 경계 자동차가 교차로의 동쪽 4마일에 있을 때, 자동차가 점점 더 가까워지는지 또는 더 멀어지는지 및 그 때의 순간 비율에 관해 물어볼 수 있습니다.

큰 아이디어: 두 자동차 사이의 거리의 변화율을 계산하기 위해 체인 규칙을 사용합니다.

계획:

1. 좌표 시스템을 선택합니다
2. 변수를 식별합니다
3. 그림을 그립니다
4. 큰 아이디어: 두 자동차 사이의 거리의 변화율을 계산하기 위해 체인 규칙을 사용합니다
5. 피타고라스 정리를 통해 x와 y의 관점에서 c를 표현합니다
6. dx/dt와 dy/dt의 관점에서 체인 규칙을 사용하여 dc/dt를 표현합니다
7. x, y, dx/dt, dy/dt에서 대체합니다
8. 간단히합니다

좌표 시스템을 선택합니다: y-축을 북쪽 점으로, x-축을 동쪽 점으로 놓습니다.

변수를 식별합니다: y(t)를 원점으로부터 북쪽으로 향하는 자동차의 거리로 정의하고 x(t)를 원점에서 서쪽으로 향하는 자동차의 거리로 정의합니다.

피타고라스 정리를 통해 x와 y의 관점에서 c를 표현합니다:

$c=(x^{2}+y^{2})^{1/2}$

dx/dt와 dy/dt의 관점에서 체인 규칙을 사용하여 dc/dt를 표현합니다:

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{1/2}$	전체 함수에 미분 연산자를 적용합니다
$={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})$	제곱근은 함수 밖에 있습니다; 제곱의 합은 함수 안에 있습니다.
$={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	미분 연산자를 분배합니다
$={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\left[2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}\right]$	x(t)와 y(t)에 체인 규칙을 적용합니다
$={\frac {x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	간단히합니다.

x = 4 마일, y = 3 마일, dx/dt = -80 마일/시간, dy/dt = 60 마일/시간을 대입하고 간단히합니다

${\begin{aligned}{\frac {dc}{dt}}&={\frac {4mi\cdot (-80mi/hr)+3mi\cdot (60)mi/hr}{\sqrt {(4mi)^{2}+(3mi)^{2}}}}\\&={\frac {-320mi^{2}/hr+180mi^{2}/hr}{5mi}}\\&={\frac {-140mi^{2}/hr}{5mi}}\\&=-28mi/hr\\\end{aligned}}$

결과적으로, 두 자동차는 28 마일/시간의 비율로 서로 더 가까워지고 있습니다.

Physics Example II: Electromagnetic induction of conducting loop spinning in magnetic field

그의 법선이 강도 B의 자기 필드(자기장)에 대해 각도 θ인 넓이 A의 고리를 통과하는 자기 흐름(magnetic flux,자속)은 다음입니다:

$\Phi _{B}=BA\cos(\theta ),$

전자기 유도의 페러데이의 법칙(Faraday's law)은 유도된 기전력(electromotive force) ${\mathcal {E}}$는 전도되는 고리를 통한 자기 흐름 $\Phi _{B}$의 음의 변화율입니다.

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},$

만약 고리 넓이 A와 자기 필드 B가 일정하게 유지되지만, 각도 θ가 시간의 함수로 알려져 있도록 고리가 회전되면, θ의 변화율은 다음 흐름 관계의 시간 도함수를 취함으로써 $\Phi _{B}$의 변화율 (따라서 기전력)과 관련될 수 있습니다:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=BA\sin {\theta }{\frac {d\theta }{dt}}$

만약, 예를 들어, 고리가, θ=ωt가 되도록, 상수 각속도 ω에서 회전하면, 다음입니다:

${\mathcal {E}}=\omega BA\sin {\omega t}$