적분 미적분(integral calculus) 에서, 바이어슈트라스 치환 (Weierstrass substitution ) 또는 탄젠트 반-각 치환 (tangent half-angle substitution )은
x
{\displaystyle x}
삼각 함수(trigonometric functions) 의 유리 함수(rational function) 를
t
=
tan
(
x
/
2
)
{\displaystyle t=\tan(x/2)}
t
{\displaystyle t}
적분(integrals) 을 평가하기 위한 방법입니다.[1] [2] 손실되지 않습니다 . 일반적인 변환 공식은 다음입니다:
∫
f
(
sin
(
x
)
,
cos
(
x
)
)
d
x
=
∫
2
1
+
t
2
f
(
2
t
1
+
t
2
,
1
−
t
2
1
+
t
2
)
d
t
.
{\displaystyle \int f(\sin(x),\cos(x))\,dx=\int {\frac {2}{1+t^{2}}}f\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,dt.}
그것은 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) (1815–1897)의 이름을 따서 지어졌지만,[3] [4] [5] 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 에 의한 책에서 발견될 수 있습니다.[6] 마이클 스피빅(Michael Spivak) 은 이 방법이 세계에서 "가장 은밀한 치환"이라고 썼습니다.[7]
The substitution 사인과 코사인의 유리 함수로 시작하여, 우리는
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
t
{\displaystyle t}
d
x
{\displaystyle dx}
d
t
{\displaystyle dt}
t
=
tan
(
x
/
2
)
{\displaystyle t=\tan(x/2)}
−
π
<
x
<
π
{\displaystyle -\pi <x<\pi }
[1] [8]
sin
(
x
2
)
=
t
1
+
t
2
and
cos
(
x
2
)
=
1
1
+
t
2
.
{\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.}
따라서,
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
and
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
.
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}
Derivation of the formulas 배-각 공식(double-angle formula) 에 의해,
sin
x
=
2
sin
(
x
2
)
cos
(
x
2
)
=
2
⋅
t
t
2
+
1
⋅
1
t
2
+
1
=
2
t
t
2
+
1
,
{\displaystyle \sin x=2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2\cdot {\frac {t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}},}
및
cos
x
=
2
cos
2
(
x
2
)
−
1
=
2
t
2
+
1
−
1
=
2
−
(
t
2
+
1
)
t
2
+
1
=
1
−
t
2
1
+
t
2
.
{\displaystyle \cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)-1={\frac {2}{t^{2}+1}}-1={\frac {2-(t^{2}+1)}{t^{2}+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}
마지막으로,
t
=
tan
(
x
2
)
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)}
d
t
=
1
2
sec
2
(
x
2
)
d
x
=
d
x
2
cos
2
x
2
=
d
x
2
⋅
1
t
2
+
1
⇒
d
x
=
2
t
2
+
1
d
t
.
{\displaystyle dt={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {dx}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {dx}{2\cdot {\frac {1}{t^{2}+1}}}}\qquad \Rightarrow \qquad dx={\frac {2}{t^{2}+1}}dt.}
Examples First example: the cosecant integral
∫
csc
x
d
x
=
∫
d
x
sin
x
=
∫
(
1
+
t
2
2
t
)
(
2
1
+
t
2
)
d
t
t
=
tan
x
2
=
∫
d
t
t
=
ln
|
t
|
+
C
=
ln
|
tan
x
2
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}
우리는 분자와 분모에
csc
x
−
cot
x
{\displaystyle \csc x-\cot x}
u
=
csc
x
−
cot
x
{\displaystyle u=\csc x-\cot x}
d
u
=
(
−
csc
x
cot
x
+
csc
2
x
)
d
x
{\displaystyle du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx}
∫
csc
x
d
x
=
∫
csc
x
(
csc
x
−
cot
x
)
csc
x
−
cot
x
d
x
=
∫
(
csc
2
x
−
csc
x
cot
x
)
d
x
csc
x
−
cot
x
u
=
csc
x
−
cot
x
=
∫
d
u
u
d
u
=
(
−
csc
x
cot
x
+
csc
2
x
)
d
x
=
ln
|
u
|
+
C
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {(\csc ^{2}x-\csc x\cot x)\,dx}{\csc x-\cot x}}&&u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx\\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{aligned}}}
이제, 사인과 코사인에 대해 반-각 공식은 다음입니다:
sin
2
θ
=
1
−
cos
2
θ
2
and
cos
2
θ
=
1
+
cos
2
θ
2
.
{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\quad {\text{and}}\quad \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}.}
그것들은 다음을 제공합니다:
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
tan
x
2
|
+
C
=
ln
1
−
cos
x
1
+
cos
x
+
C
=
ln
1
−
cos
x
1
+
cos
x
⋅
1
−
cos
x
1
−
cos
x
+
C
=
ln
(
1
−
cos
x
)
2
sin
2
x
+
C
=
ln
(
1
−
cos
x
sin
x
)
2
+
C
=
ln
(
1
sin
x
−
cos
x
sin
x
)
2
+
C
=
ln
(
csc
x
−
cot
x
)
2
+
C
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=\ln {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\cdot {\frac {1-\cos x}{1-\cos x}}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\frac {(1-\cos x)^{2}}{\sin ^{2}x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1-\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {(\csc x-\cot x)^{2}}}+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C,\end{aligned}}}
따라서 둘의 답은 동등합니다. 다음 표현은 탄젠트 반-각 공식입니다:
tan
x
2
=
1
−
cos
x
sin
x
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}}
시컨트 적분(secant integral) 은 비슷한 방식에서 평가될 수 있습니다.
Second example: a definite integral
∫
0
2
π
d
x
2
+
cos
x
=
∫
0
π
d
x
2
+
cos
x
+
∫
π
2
π
d
x
2
+
cos
x
=
∫
0
∞
2
d
t
3
+
t
2
+
∫
−
∞
0
2
d
t
3
+
t
2
t
=
tan
x
2
=
∫
−
∞
∞
2
d
t
3
+
t
2
=
2
3
∫
−
∞
∞
d
u
1
+
u
2
t
=
u
3
=
2
π
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}
첫째 줄에서, 우리는 적분화의 극한(limits of integration) 에 대해 단순히
t
=
0
{\displaystyle t=0}
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
특이점(singularity) (이 경우에서, 수직 점근선(vertical asymptote) )이 고려되어야 합니다. 대안적으로, 먼저 부정적분을 평가하고 그런-다음 경계 값을 적용합니다.
∫
d
x
2
+
cos
x
=
∫
1
2
+
1
−
t
2
1
+
t
2
2
d
t
t
2
+
1
t
=
tan
x
2
=
∫
2
d
t
2
(
t
2
+
1
)
+
(
1
−
t
2
)
=
∫
2
d
t
t
2
+
3
=
2
3
∫
d
t
(
t
3
)
2
+
1
u
=
t
3
=
2
3
∫
d
u
u
2
+
1
tan
θ
=
u
=
2
3
∫
cos
2
θ
sec
2
θ
d
θ
=
2
3
∫
d
θ
=
2
3
θ
+
C
=
2
3
arctan
(
t
3
)
+
C
=
2
3
arctan
[
tan
(
x
/
2
)
3
]
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{\left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)^{2}+1}}&&u={\frac {t}{\sqrt {3}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left[{\frac {\tan(x/2)}{\sqrt {3}}}\right]+C.\end{aligned}}}
대칭에 의해,
∫
0
2
π
d
x
2
+
cos
x
=
2
∫
0
π
d
x
2
+
cos
x
=
lim
b
→
π
4
3
arctan
(
tan
x
/
2
3
)
|
0
b
=
4
3
[
lim
b
→
π
arctan
(
tan
b
/
2
3
)
−
arctan
(
0
)
]
=
4
3
(
π
2
−
0
)
=
2
π
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan x/2}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan b/2}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}}
이것은 위의 답과 같습니다.
Third example: both sine and cosine
∫
d
x
a
cos
x
+
b
sin
x
+
c
=
∫
2
d
t
a
(
1
−
t
2
)
+
2
b
t
+
c
(
t
2
+
1
)
=
∫
2
d
t
(
c
−
a
)
t
2
+
2
b
t
+
a
+
c
=
2
c
2
−
(
a
2
+
b
2
)
arctan
(
c
−
a
)
tan
x
2
+
b
c
2
−
(
a
2
+
b
2
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan {\frac {(c-a)\tan {\frac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}+C\end{aligned}}}
If
4
E
=
4
(
c
−
a
)
(
c
+
a
)
−
(
2
b
)
2
=
4
(
c
2
−
(
a
2
+
b
2
)
)
>
0.
{\displaystyle 4E=4(c-a)(c+a)-(2b)^{2}=4(c^{2}-(a^{2}+b^{2}))>0.}
Geometry The Weierstrass substitution parametrizes the unit circle centered at (0, 0). Instead of +∞ and −∞, we have only one ∞, at both ends of the real line. That is often appropriate when dealing with rational functions and with trigonometric functions. (This is the one-point compactification of the line.) x 가 변함에 따라, 점 (cos x , sin x )는 (0, 0)을 중심으로 하는 단위 원(unit circle) 주위를 반복적으로 감습니다. 다음 점은
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
t 가 −∞에서 +∞로 갈 때 원 주위를 오직 한 번 가고, 결코 점 (−1, 0)에 도달하지 않으며, 이것은 t 가 ±∞로 접근할 때 극한으로 접근합니다. t 가 −∞에서 −1로 갈 때, t 에 의해 결정된 점은 (−1, 0)에서 (0, −1)까지 3사분면에서 원의 부분을 통과합니다. t 가 −1에서 0으로 갈 때, 점은 (0, −1)에서 (1, 0)까지 4사분면에서 원의 부분을 따릅니다. t 가 0에서 1로 갈 때, 점은 (1, 0)에서 (0, 1)까지 1사분면에서 원의 부분을 따릅니다. 마지막으로, t 가 1에서 +∞로 갈 때, 점은 (0, 1)에서 (−1, 0)까지 2사분면에서 원의 부분을 따릅니다.
여기서 또 다른 기하학적 관점이 있습니다. 단위 원을 그리고, P 를 점 (−1, 0) 으로 놓습니다. P 를 통과하는 직선 (수직 직선 제외)은 그것의 기울기에 의해 결정됩니다. 게다가, 각 직선 (수직 직선 제외)은 정확히 두 점에서 단위 원과 교차하며, 그 중 하나는 P 입니다. 이것은 단위 원 위의 점에서 기울기까지의 함수를 결정합니다. 삼각 함수는 단위 원 위의 각도에서 점까지의 함수를 결정하고, 이들 두 함수를 조합함으로써 우리는 각도에서 기울기까지의 함수를 가집니다.
Gallery
Hyperbolic functions 삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에 공유되는 다른 속성과 마찬가지로, 쌍곡선 항등식(hyperbolic identities) 을 유사한 치환의 형식을 구성하기 위해 사용하는 것이 가능합니다:
sinh
x
=
2
t
1
−
t
2
,
cosh
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
tanh
x
=
2
t
1
+
t
2
,
and
d
x
=
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\qquad \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\qquad \tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt.}
See also Further reading Notes and references
^ a b Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals 493 . ISBN 978-0-538-49790-9 ^ Weisstein, Eric W. "Weierstrass Substitution ." From MathWorld --A Wolfram Web Resource. Accessed April 1, 2020.
^ Gerald L. Bradley and Karl J. Smith, Calculus , Prentice Hall, 1995, pages 462, 465, 466
^ Christof Teuscher, Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker , Springer, 2004, pages 105–6
^ James Stewart, Calculus: Early Transcendentals , Brooks/Cole, Apr 1, 1991, page 436
^ Euler, Leonard (1768). "Institutiionum calculi integralis volumen primum. E342, Caput V, paragraph 261" (PDF) . Euler Archive . Mathematical Association of America (MAA). Retrieved April 1, 2020 . ^ Michael Spivak, Calculus , Cambridge University Press , 2006, pages 382–383.
^ James Stewart, Calculus: Early Transcendentals , Brooks/Cole, 1991, page 439
External links
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30179a5d12651d673761823ec950c1719690eecb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {(\csc ^{2}x-\csc x\cot x)\,dx}{\csc x-\cot x}}&&u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx\\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093f2e3f56f8a1551a028771bfde99c4eff85e2d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=\ln {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\cdot {\frac {1-\cos x}{1-\cos x}}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\frac {(1-\cos x)^{2}}{\sin ^{2}x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1-\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {(\csc x-\cot x)^{2}}}+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C,\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6580a90152fbb98c3e64d534688670126d5d32ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b793337dc43587ae173d41f14945ee86b3f98f2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{\left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)^{2}+1}}&&u={\frac {t}{\sqrt {3}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left[{\frac {\tan(x/2)}{\sqrt {3}}}\right]+C.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea77614a8606b307829158dc026ddb05064217f6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan x/2}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan b/2}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87ae77405b6f398131a72e19a15b27926f67e71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan {\frac {(c-a)\tan {\frac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}+C\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626fd45e2243e7efd165c2db047298ffba07a41a)
(1/2) The Weierstrass substitution relates an angle to the slope of a line.
(2/2) The Weierstrass substitution illustrated as stereographic projection of the circle.
