Trigonometric substitution

Original article: wikipedia:Trigonometric substitution

수학(mathematics)에서, 삼각 치환(Trigonometric substitution)은 다른 표현에 대해 삼각 함수의 치환(substitution)입니다. 우리는 제곱근 표현(radical expression)을 포함하는 특정 적분(integral)을 단순화하기 위해 삼각 항등식(trigonometric identities)을 사용할 수 있습니다:

치환 1. 만약 피적분(integrand)이 a² − x²을 포함하면, 다음을 놓고

$x=a\sin \theta$

다음의 항등식(identity)을 사용합니다:

$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .$

치환 2. 만약 피적분이 a² + x²을 포함하면, 다음을 놓고

$x=a\tan \theta$

다음의 항등식을 사용합니다: $1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .$

치환 3. 만약 피적분이 x² − a²을 포함하면, 다음을 놓고

$x=a\sec \theta$

다음의 항등식을 사용합니다:

$\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .$

Examples

Integrals containing a² − x²

다음 적분에서,

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},$

우리는 다음을 사용할 수 있을 것입니다:

$x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right).$

그런-다음,

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=\int d\theta \\&=\theta +C\\&=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C.\end{aligned}}$

위의 단계는 a > 0 및 cos(θ) > 0임을 요구합니다; 우리는 a를 a²의 양의 제곱근으로 선택할 수 있고, 우리는 아크사인(arcsin) 함수를 사용함으로써 θ에 제한 −π/2 < θ < π/2을 적용합니다.

정적분에 대해, 우리는 적분의 경계가 어떻게 변하는지 알아내야 합니다. 예를 들어, x가 0에서 a/2로 갈 때, sin θ는 0에서 1/2로 가므로, θ는 0에서 π/6로 갑니다. 그런-다음, 다음입니다:

$\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.$

약간의 주의는 경계를 선택할 때 필요됩니다. 위의 적분은 −π/2 < θ < π/2임을 요구하므로, θ가 0에서 π/6까지 가는 것이 유일한 선택입니다. 이 제한을 무시하면, 우리는 θ가 π에서 5π/6로 가는 것을 선택할 수 있으며, 이것은 실제 값의 음수의 결과를 초래합니다.

Integrals containing a² + x²

다음 적분에서

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$

우리는 다음을 쓸 수 있을 것입니다:

$x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a}},$

그런-다음 적분은 다음이 됩니다:

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\&={\frac {\theta }{a}}+C\\&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}$

여기서 a ≠ 0입니다.

Integrals containing x² − a²

다음과 같은 적분

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$

은 삼각 치환이라기 보다는 부분 분수(partial fractions)에 의해 역시 평가될 수 있습니다. 어쨌든, 적분

$\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$

은 부분 분수로 적분할 수 없습니다. 이 경우에서, 적절한 치환은 다음입니다:

$x=a\sec \theta ,\quad dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\quad \theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}.$

그런-다음, 다음입니다:

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}$

우리는 그런-다음 시컨트 세제곱의 적분(integral of secant cubed)에 대해 공식을 사용하여 이것을 풀 수 있습니다.

Substitutions that eliminate trigonometric functions

치환은 삼각 함수를 제거하기 위해 사용될 수 있습니다. 특히, 탄젠트 반-각 치환(Tangent half-angle substitution)을 참조하십시오.

예를 들어,

${\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\\\int {\frac {\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\end{aligned}}$

Hyperbolic substitution

쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 치환은 적분을 단순화하기 위해 역시 사용될 수 있습니다.

적분 $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx$에서, 치환 $x=a\sinh {u}$, $dx=a\cosh u\,du$을 만듭니다.

그런-다음, 항등식 $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ 및 $\sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$을 사용하여,

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx&=\int {\frac {a\cosh u}{\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a{\sqrt {1+\sinh ^{2}{u}}}}}\,du\\&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\,du\\&=u+C\\&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\&=\ln \left({\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\&=\ln \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}\right)+C\end{aligned}}$

See also

• Tangent half-angle substitution