Affine transformation

Original article: w:Affine transformation

"Affine mapping" redirects here. For the form of texture mapping, see Affine texture mapping.

An image of a fern-like fractal (Barnsley's fern) that exhibits affine self-similarity. Each of the leaves of the fern is related to each other leaf by an affine transformation. For instance, the red leaf can be transformed into both the dark blue leaf and any of the light blue leaves by a combination of reflection, rotation, scaling, and translation.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 아핀 변환(affine transformation) 또는 어피니티(affinity) (라틴어, affinis으로부터, "연결된")는 직선(lines)과 평행성(parallelism)을 보존하는 기하학적 변환(geometric transformation)입니다 (하지만 거리(distances)와 각도(angle)는 반드시 보존하는 것은 아닙니다).

보다 일반적으로, 아핀 변환(affine transformation)은 아핀 공간(affine space)의 자기-동형-사상(automorphism)입니다 (유클리드 공간은 특정 아핀 공간입니다). 즉, 임의의 아핀 부분-공간(affine subspace)의 차원(dimension) (점을 점으로, 직선을 직선으로, 평면을 평면으로, 및 이런 식으로 보내는 것을 의미함) 및 평행(parallel) 선분의 길이의 비율 둘 다를 보존하면서 아핀 공간을 자체 위로 매핑(maps)하는 함수(function)입니다. 결과적으로, 평행 아핀 부분공간의 집합은 아핀 변환 후에도 평행을 유지합니다. 아핀 변환은 비록 직선 위에 놓여있는 점 사이의 거리의 비율을 보존할지라도, 직선 사이의 각도 또는 점 사이의 거리를 반드시 보존하지는 않습니다.

만약 X가 아핀 공간의 점 집합이면, X 위에 모든 각 아핀 변환은 X에 대한 선형 변환(linear transformation)의 합성(composition)과 X의 평행-이동(translation)으로 표현될 수 있습니다. 순수 선형 변환과 달리, 아핀 변환은 아핀 공간의 원점을 보존할 필요가 없습니다. 따라서, 모든 각 선형 변환이 아핀이지만, 모든 각 아핀 변환이 선형인 것은 아닙니다.

아핀 변환의 예제는 평행이동, 스케일링(scaling), 중심-닮음(homothety), 닮음(similarity), 반사(reflection), 회전(rotation), 전단 매핑(shear mapping), 및 임의의 조합 및 수열에서 그들의 합성을 포함합니다.

아핀 공간을 투영 공간(projective space)의 무한대에서 초평면(hyperplane at infinity)의 여로 볼 때, 아핀 변환은 무한대에서 초평면을 불변(invariant)으로 남겨두는 투영 공간의 투영 변환(projective transformations)이며, 해당 초평면의 여로 제한됩니다.

아핀 변환의 일반화(generalization)는 같은 필드(field) k에 걸쳐 두 개의 (잠재적으로 다른) 아핀 공간 사이의 아핀 맵 (또는 아핀 동형 또는 아핀 매핑)입니다. (X, V, k) 및 (Z, W, k)를 점 집합 X 및 Z이고 필드 k에 걸쳐 각각의 결합된 벡터 공간(vector space) V 및 W를 갖는 두 개의 아핀 공간으로 놓습니다. 맵 f: X → Z는 만약 X에서 모든 x, y에 대해 m_f (x − y) = f (x) − f (y)를 만족하는 선형 맵(linear map) m_f : V → W이 존재하면 아핀 맵입니다.

Definition

(X, V, k)를 적어도 이-차원, 점 집합 X와 필드 k에 걸쳐 결합된 벡터 공간 V를 갖는 아핀 공간으로 놓습니다. X의 절반-아핀 변환(semiaffine transformation) f는 다음을 만족시키는 X의 자체에 대한 전단사(bijection)입니다:

1. 만약 S가 X의 d-차원 아핀 부분-공간(affine subspace)이면, f (S)는 역시 X의 d-차원 아핀 부분-공간입니다.
2. 만약 S와 T가 X의 평행 아핀 부분-공간이면, f (S) || f (T)입니다.

이들 두 조건은 "f가 평행성을 보존한다"는 표현에 의한 정확히 의미되는 것을 표현합니다.

이들 조건은 두 번째 조건이 첫 번째 조건과 다르기 때문에 독립적이지 않습니다. 게다가, 만약 필드 k가 적어도 세 원소를 가지면, 첫 번째 조건은 다음과 같이 단순화될 수 있습니다: f는 공선형화(collineation), 즉 그것은 직선을 직선으로 매핑합니다.

만약 아핀 공간 (X, V, k)의 차원이 적어도 2이면, 아핀 변환은 다음 조건을 만족시키는 절반-아핀 변환 f입니다: 만약 x ≠ y 및 p ≠ q가 선분 xy 및 pq가 평행임을 만족하는 X의 점이면, 다음입니다:

${\frac {\|{\overline {pq}}\|}{\|{\overline {xy}}\|}}={\frac {\|{\overline {f(p)f(q)}}\|}{\|{\overline {f(x)f(y)}}\|}}.$

Affine lines

만약 아핀 공간의 차원이 일, 즉, 그 공간이 아핀 직선이면, X의 임의의 순열(permutation)은 자동으로 절반-아핀 변환이 되기 위한 조건을 만족시킬 것입니다. 따라서, 아핀 직선의 아핀 변환은 만약 x ≠ y 및 p ≠ q가 X의 점이면, 다음을 만족하는X의 점의 임의의 순열 f로 정의됩니다:

${\frac {\|{\overline {pq}}\|}{\|{\overline {xy}}\|}}={\frac {\|{\overline {f(p)f(q)}}\|}{\|{\overline {f(x)f(y)}}\|}}.$

Structure

아핀 공간의 정의에 의해, X × V에서 모든 각 쌍 (x, v)에 대해 X에서 결합된 점 y가 있도록, V는 X 위에 동작합니다. 우리는 이 동작을 v→(x) = y로 나타낼 수 있습니다. 여기서 우리는 v→ = v가 V의 원소에 대해 두 개의 서로-교환-가능한 표기법이라는 관례를 사용합니다. X에서 점 c를 고정함으로써, 우리는 함수 m_c : X → V를 m_c(x) = cx→에 의해 정의할 수 있습니다. 임의의 c에 대해, 이 함수는 일대일이고, 따라서 m_c⁻¹(v) = v→(c)에 의해 주어진 역함수 m_c⁻¹ : V → X을 가집니다. 이들 함수는 다음을 정의함으로써 (점 c에 관한) X를 벡터 공간으로 변환하기 위해 사용될 수 있습니다:

• $x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,$ and
• $rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.$

이 벡터 공간은 원점 c를 가지고 공식적으로 아핀 공간 X와 구별되어야 하지만, 공통적인 관행은 같은 기호에 의해 그것을 표시하고 원점이 지정된 후에 하나의 벡터 공간이라고 언급하는 것입니다. 이 식별은 점을 벡터로 보이는 것과 그 반대의 경우를 허용합니다.

V의 임의의 선형 변환(linear transformation) λ에 대해, 우리는 다음에 의해 함수 L(c, λ) : X → X를 정의할 수 있습니다:

$L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).$

그런-다음 L(c, λ)는 점 c를 고정된 상태로 유지하는 X의 아핀 변환입니다. 그것은 원점 c를 갖는 벡터 공간으로 보이는 X의 선형 변환입니다.

σ를 X의 임의의 아핀 변환으로 놓습니다. X에서 점 c를 선택하고 T_w에 의해 표시되는 벡터 $\mathbf {w} ={\overrightarrow {c\sigma (c)}}$에 의한 X의 변환을 생각해 보십시오. 평해이동은 아핀 변환이고 아핀 변환의 합성은 아핀 변환입니다. 이 c의 선택에 대해, 다음을 만족하는 V의 고유한 선형 변환 λ가 존재합니다:

$\sigma (x)=T_{\mathbf {w} }\left(L(c,\lambda )(x)\right).$

즉, X의 임의의 아핀 변환은 X의 (벡터 공간으로 여겨지는) 선형 변환과 X의 평행이동의 합성입니다.

이 아핀 변환의 표현은 종종 아핀 변환의 정의로 취합니다 (원점의 선택은 암시적입니다).

Representation

위에 표시된대로, 아핀 맵은 두 함수: 평행이동과 선형 맵의 합성입니다. 보통 벡터 대수는 선형 맵을 나타내기 위해 행렬 곱셈(matrix multiplication)을 사용하고, 평행이동을 나타내기 위해 벡터 덧셈(vector addition)을 사용합니다. 공식적으로, 유한 차원 경우에서, 만약 선형 맵이 행렬 $A$에 의한 곱셈으로 표현되고 평행이동은 벡터 ${\vec {b}}$의 덧셈으로 표현되면, 벡터 ${\vec {x}}$에 작용하는 아핀 맵 $f$는 다음으로 나타낼 수 있습니다:

${\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$

Augmented matrix

Affine transformations on the 2D plane can be performed by linear transformations in three dimensions. Translation is done by shearing along over the z axis, and rotation is performed around the z axis.

증가된 행렬(augmented matrix)과 증가된 벡터를 사용하여, 단일 행렬 곱셈(matrix multiplication)을 사용하여 평행이동과 선형 맵 둘 다를 표현할 수 있습니다. 그 기법은 모든 벡터는 끝에 "1"이 추가되어야 하고, 모든 행렬은 맨 아래에 영들의 여분의 행, 오른쪽에 여분의 열—평행이동 벡터, 및 아래쪽의 오른쪽 가장자리에서 "1"이 추가되어야 함을 요구합니다. 만약 $A$가 행렬이면,

${\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}$

위의 행렬 식은 다음 것과 동등합니다:

${\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$

위에-언급된 증가된 행렬은 아핀 변환 행렬(affine transformation matrix)이라고 불립니다. 일반적인 경우에서, 마지막 행 벡터가 $\left[{\begin{array}{ccc|c}0&\ldots &0&1\end{array}}\right]$인 것으로 제한되지 않을 때, 그 행렬은 투영 변환 행렬(projective transformation matrix)이 됩니다 (왜냐하면 그것은 역시 투영 변환(projective transformation)을 수행하는 것에 사용될 수 있기 때문입니다).

이 표시는 모든 역-가능한(invertible) 아핀 변환의 집합(set)을 $K^{n}$와 $GL(n,K)$의 반-직접 곱(semidirect product)으로 나타냅니다. 이것은 아핀 그룹(affine group)이라고 불리는 함수의 합성의 연산 아래에서 그룹(group)입니다.

보통 행렬-벡터 곱셈은 항상 원점을 원점으로 매핑하고, 따라서 그 원점이 반드시 어떤 다른 점에 필연적으로 매핑되어야 하는 평행이동을 결코 나타낼 수 없습니다. 모든 각 벡터에 추가적인 좌표 "1"을 덧붙임으로써, 우리는 본질적으로 공간을 추가적인 차원을 갖는 공간의 부분-집합으로 매핑되는 것으로 고려합니다. 해당 공간에서, 원래 공간은 추가적인 좌표가 1인 부분-집합을 차지합니다. 따라서 원래 공간의 원점은 $(0,0,\dotsc ,0,1)$에서 찾아질 수 있습니다. 고차원 공간에서 선형 변환을 수단으로 원래 공간 내에서 평행이동이 그때에 가능합니다 (특히, 전단 변환이 가능합니다). 고차원 공간에서 좌표는 동차 좌표(homogeneous coordinates)의 예제입니다. 만약 원래 공간이 유클리드(Euclidean)이면, 고차원 공간은 실수 투영 공간(real projective space)입니다.

동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하는 이점은 우리가 각 행렬을 곱함으로써 임의의 숫자의 아핀 변환을 하나로 결합할 수 있다는 것입니다. 이 속성은 컴퓨터 그래픽(computer graphics), 컴퓨터 비전(computer vision) 및 로봇 공학(robotics)에서 광범위하게 사용됩니다.

Example augmented matrix

만약 벡터 ${\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n+1}$가 도메인의 투영 벡터 공간의 기저(basis)이고 ${\vec {y}}_{1},\dotsc ,{\vec {y}}_{n+1}$가 코도메인(codomain) 벡터 공간에서 대응하는 벡터이면, 이 아핀 변환

$\left[{\begin{array}{c}{\vec {y}}\\1\end{array}}\right]=M\left[{\begin{array}{c}{\vec {x}}\\1\end{array}}\right]$

을 달성하는 증가된 행렬 $M$은 다음입니다:

$M=\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {y}}_{1}&\ldots &{\vec {y}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}{\vec {x}}_{1}&\ldots &{\vec {x}}_{n+1}\\1&\ldots &1\end{array}}\right]^{-1}$.

이 공식은 도메인, 코도메인 및 이미지 벡터 공간의 어떤 것이 같은 차원의 숫자를 가지는지 여부에 관계없이 작동합니다.

예를 들어, 벡터 평면의 아핀 변환은 비-퇴화 삼각형의 세 벡터 (${\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},{\vec {x}}_{3}$)가 (${\vec {y}}_{1},{\vec {y}}_{2},{\vec {y}}_{3}$)으로 매핑되는 곳의 인식으로부터 고유하게 결정되는데, 코도메인의 차원의 숫자에 관계없고 그 삼각형이 코도메인에서 비-퇴화인지 여부에 관계없습니다.

Properties

Properties preserved

아핀 변환은 다음을 보존합니다:

1. 점들 사이의 공통-직선-성질(collinearity): (공통-직선 점이라고 불리는) 같은 직선 위에 놓이는 세 개 이상의 점은 변환 후에 계속하여 공통-직선 위에 있습니다.
2. 평행성(parallelism): 평행한 둘 이상의 직선은 변환 후에 계속하여 평행입니다.
3. 집합의 볼록성(convexity): 볼록 집합은 변환 후에 계속하여 볼록입니다. 게다가, 원래 집합의 극단 점은 변환된 집합의 극단 점(extreme point)으로 매핑됩니다.
4. 평행 선분의 길이의 비율: 점 $p_{1}$과 $p_{2}$, $p_{3}$와 $p_{4}$에 의해 정의된 구별되는 평행 선분에 대해, ${\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}$ 및 ${\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}$의 비율은 ${\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}$ 및 ${\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}$의 비율과 같습니다.
5. 점의 가중된 모음의 베리-센터(barycenter)

Groups

아핀 변환은 역-가능(invertible)이며, 따라서 $A$는 역-가능입니다. 행렬 표시에서, 역행렬은 다음입니다:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]$

역-가능 (아핀 공간을 자체 위로의) 아핀 변환은 아핀 그룹(affine group)을 형성하며, 이것은 차수 $n$의 일반적인 선형 그룹(general linear group)을 부분-그룹으로 가지고 자체로 차수 $n+1$의 일반적인 선형 그룹의 부분-그룹입니다.

닮음 변환(similarity transformations)은 $A$가 스칼라 곱하기 직교 행렬(orthogonal matrix)인 부분-그룹을 형성합니다. 예를 들어, 만약 아핀 변환이 평면에서 작동하고 $A$의 행렬식(determinant)이 1 또는 −1이면, 변환은 같은-넓이 매핑(equiareal map)입니다. 그러한 변환은 등가-아핀 그룹(equi-affine group)이라고 불리는 부분-그룹을 형성합니다. 등가-아핀 및 닮음 둘 다인 변환은 유클리드 거리(Euclidean distance)를 취하는 평면의 등거리-변환(isometry)입니다.

이들 각 그룹은 방향(orientation)-보존 또는 양의 아핀 변환: $A$의 행렬식이 양수인 그룹의 부분-그룹입니다. 마지막 경우에서, 이것은 3D에서 강성 변환(rigid transformation) (적절한 회전(proper rotations) 및 순수 평행이동)의 그룹입니다.

만약 고정된 점이 있으면, 우리는 그것을 원점으로 취할 수 있고, 아핀 변환은 선형 변환으로 줄어듭니다. 이것은 변환을 분류와 이해를 더 쉽게 만들 수 있습니다. 예를 들어, 변환을 특정 축에 관한 특정 각도에 의한 회전으로 설명하면 변환과 회전의 조합으로 설명하는 것보다 변환의 전체 동작에 대한 더 명확한 아이디어를 얻을 수 있습니다. 어쨌든, 이것은 응용과 문맥에 따라 의존합니다.

Affine maps

두 아핀 공간(affine space) 사이의 아핀 맵 $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$은 벡터들 (즉, 공간의 점 사이의 벡터들)에서 선형으로(linearly) 작용하는 점에 대한 맵입니다. 기호에서, $f$는, 임의의 점의 쌍 $P,Q\in {\mathcal {A}}$에 대해, 다음을 만족하는 선형 변환 $\varphi$을 결정합니다:

${\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})$

또는

$f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)$.

우리는 이 정의를 다음처럼 몇 가지 다른 방법으로 해석할 수 있습니다.

만약 원점 $O\in {\mathcal {A}}$이 선택되고, $B$가 그것의 이미지 $f(O)\in {\mathcal {B}}$를 나타내면, 이것은 임의의 벡터 ${\vec {x}}$에 대해 다음임을 의미합니다:

$f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))$.

만약 원점 $O'\in {\mathcal {B}}$이 역시 선택되면, 이것은 $O\mapsto O'$, 즉, 다음을 보낸 다음

$g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))$,

벡터 ${\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}$에 의한 평행이동하는 아핀 변환 $g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$으로 분해될 수 있습니다.

결론은, 직관적으로, $f$가 평행이동과 선형 맵으로 구성된다는 것입니다.

Alternative definition

두 아핀 공간(affine space) ${\mathcal {A}}$ 및 ${\mathcal {B}}$이, 같은 필드에 걸쳐, 주어지면, 함수 $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$가 아핀 맵인 것과 다음을 만족하는 ${\mathcal {A}}$에서 가중된 점의 모든 각 가족 $\{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}$에 대해:

$\sum _{i\in I}\lambda _{i}=1$,

우리가 다음을 가지는 것은 필요충분(if and only if) 조건입니다:

$f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})$.

달리 말해서, $f$는 베리-센터(barycenter)를 보존합니다.

History

수학적 용어로서 단어 "아핀(affine)"은 오일러(Euler)의 1748년 Introductio in analysin infinitorum에서 곡선에 접하는 접선과 관련하여 정의됩니다. 펠릭스 클라인(Felix Klein)은 용어 "아핀 변환(affine transformation)"을 뫼비우스(Möbius)와 가우스(Gauss)에 의해 발생한 것으로 여깁니다.

Image transformation

디지털 이미지 처리(digital image processing)에 대한 응용에서, 아핀 변환은 고무 판에 인쇄하고 판의 가장자리를 평면에 평행하게 늘리는 것과 유사합니다. 이 변환은 이동된 픽셀의 값을 근사화하기 위해 강도 보간이 요구되는 픽셀을 재배치하며, 바이큐빅 보간(interpolation)은 이미지 처리 응용에서 이미지 변환에 대해 표준입니다. 아핀 변환은, 다음 예제에서 보이는 것처럼, 이미지를 스케일, 회전, 평행이동, 거울 및 전단합니다:

변환 이름	아핀 행렬	예제
Identity (transform to original image)	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Translation	${\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Reflection	${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Scale	${\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Rotate	${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	where θ = π/6 =30°
Shear	${\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

아핀 변환은 두 개 이상의 이미지가 정렬 (등록)되는 등록 프로세스에 적용 가능합니다. 이미지 등록(image registration)의 예제는 여러 이미지를 함께 결합된(stitched) 산물인 파노라마 이미지의 생성입니다.

Affine warping

아핀 변환은 평행 직선을 보존합니다. 어쨌든, 다음 예제가 보이는 것처럼 늘이기 및 전단하는 변형은 모양을 왜곡합니다:

이것은 이미지 뒤틀림의 예제입니다. 어쨌든, 아핀 변환은 곡선화된 표면 또는 방사형 왜곡(radial distortions) 위로의 투영을 용이하게 하지 않습니다.

In the plane

A central dilation. The triangles A1B1Z, A1C1Z, and B1C1Z get mapped to A2B2Z, A2C2Z, and B2C2Z, respectively.

두 개의 실수 차원에서 아핀 변환은 다음을 포함합니다:

• 순수 평행이동,
• 순수한 스케일링 방향이 아닌 평행이동과 결합된, 또 다른 방향 (반드시 수직일 필요는 없음)에서 직선에 관한, 주어진 방향으로 스케일링(scaling); 일반화된 의미에서 "스케일링"을 취하는 것은 스케일 인수가 영 (투영(projection)) 또는 음수인 경우를 포함합니다; 후자는 반사(reflection)를 포함하고, 평행이동과 결합된 그것은 미끄러짐 반사(glide reflection)를 포함합니다.
• 중심-닮음-변환(homothety) 및 평행이동과 결합된 회전(rotation),
• 중심-닮음-변환 및 평형이동과 결합된 전단 매핑(shear mapping), 또는
• 중심-닮음-변환 및 평형이동과 결합된 조임 매핑(squeeze mapping).

유클리드 평면(Euclidean plane)의 일반적인 아핀 변환을 시각화하기 위해, 이름-지은 평행사변형(parallelogram) ABCD 및 A′B′C′D′를 취합니다. 점의 선택이 무엇이든, A를 A′로 취하는 평면의 아핀 변환 T가 있고, 각 꼭짓점은 비슷하게 취합니다. 우리가 ABCD가 영 넓이(area)를 가진 퇴화 사례를 제외한다고 가정하면, 고유한 그러한 아핀 변환 T가 있습니다. ABCD를 기반으로 평행사변형의 전체 격자를 그리면, 임의의 점 P의 이미지 T(P)는 T(A) = A′임을 주목함으로써 결정되며, 선분 AB에 적용된 T는 A′B′, 선분 AC에 적용된 T는 A′C′이고, T는 A를 기준으로 벡터의 스칼라 배수를 따릅니다. [만약 A, E, F가 같은-직선-위에 있으면, 비율 길이(AF)/길이(AE)는 길이(A′F′)/길이(A′E′)와 같습니다.] 기하학적으로, T는 ABCD를 기반으로 하는 그리드를 A′B′C′D′를 기반으로 하는 그리드로 변환합니다.

아핀 변환은 길이 또는 각도를 고려하지 않습니다; 그들은 다음 상수 인수에 의해 넓이를 곱합니다:

A′B′C′D′의 넓이 / ABCD의 넓이.

주어진 T는 직접적 (해당 방향) 또는 간접적 (역방향)일 수 있고, 이것은 부호화된 넓이에 미치는 영향 (예를 들어, 벡터의 교차 곱(cross product)에 의해 정의됨)에 의해 결정될 수 있습니다.

Examples

Over the real numbers

$\mathbb {R}$에서 $m$과 $c$를 갖는 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c$는 정확하게 실수 직선(real line)의 아핀 변환입니다.

Over a finite field

다음 방정식은 암호화-알고리듬 Rijndael (AES)에서 사용되는, GF(2)에 걸쳐 8-차원 벡터 공간으로 보이는 GF(2⁸)의 아핀 변환을 표현합니다:

$\{a'\}=M\{a\}\oplus \{v\},$

여기서 $[M]$은 아래의 행렬이며, $\{v\}$는 고정된 벡터이고 $\{a\}=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7})$입니다. 구체적으로 특별히, $M\{a\}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{bmatrix}}$ and $\{v\}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}.$

예를 들어, 빅-에디안(big-endian) 이진(binary) 표기법에서 원소 $\{a\}=y^{7}+y^{6}+y^{3}+y=\{11001010_{2}\}$의 아핀 변환은 다음처럼 계산됩니다:

$a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1$

$a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0$

$a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1$

$a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1$

$a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0$

$a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1$

$a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1$

$a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.$

따라서, $\{a'\}=y^{7}+y^{6}+y^{5}+y^{3}+y^{2}+1=\{11101101_{2}\}$입니다.

In plane geometry

A simple affine transformation on the real plane

Effect of applying various 2D affine transformation matrices on a unit square. Note that the reflection matrices are special cases of the scaling matrix.

ℝ²에서, 왼쪽에 표시된 변환은 다음에 의해 주어진 맵을 사용하여 수행됩니다:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}$

원래 삼각형 (빨간색)의 세 가장자리 점을 변환하면 새로운 삼각형 (파란색)을 형성하는 세 개의 새로운 점을 제공합니다. 이 변환은 원래 삼각형을 비뚤어지게 하고 평행이동합니다.

사실, 모든 삼각형은 아핀 변환에 의해 서로 관련되어 있습니다. 이것은 모든 평행 사변형에 대해 역시 참이지만, 모든 사변형에 대해 참이 아닙니다.

See also

• Anamorphosis – artistic applications of affine transformations
• Affine geometry
• 3D projection
• Homography
• Flat (geometry)
• Bent function

References

• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
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External links

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• Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". MathWorld.
• Affine Transform by Bernard Vuilleumier, Wolfram Demonstrations Project.
• Affine Transformation with MATLAB