이것은 미분화 규칙 (differentiation rules ), 즉, 미적분학(calculus) 에서 함수(function) 의 도함수(derivative) 를 계산하기 위한 규칙의 요약입니다.
Elementary rules of differentiation 달리 언급하지 않은 한, 모든 함수는 실수 값을 반환하는 실수 (R ) 의 함수입니다; 그렇지만 보다 일반적으로, 아래 공식은 그들이 잘-정의된(well defined) 어디서든지 적용됩니다[1] [2] 복소수(complex numbers) (C ) 의 경우를 포함합니다.[3]
Differentiation is linear 임의의 함수
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
x
{\displaystyle x}
h
(
x
)
=
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}
라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation) 에서 이것은 다음으로 쓰입니다:
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
다음 특별한 경우는 포함됩니다:
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
The product rule 함수 f 와 g 에 대해, x 에 관한 함수 h (x ) = f (x ) g (x )의 도함수는 다음입니다:
h
′
(
x
)
=
(
f
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}
라이프니츠 표기법에서 이것은 다음으로 쓰입니다:
d
(
f
g
)
d
x
=
d
f
d
x
g
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
The chain rule 함수
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
라이프니츠의 표기법에서 이것은 다음으로 쓰입니다:
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
종종 다음으로 줄여씁니다
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
맵의 개념, 및 미분은 맵
D
{\displaystyle {\text{D}}}
[
D
(
h
∘
g
)
]
x
=
[
D
h
]
g
(
x
)
⋅
[
D
g
]
x
.
{\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
The inverse function rule 만약 함수 f 가 역함수(inverse function) g
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
g
′
=
1
f
′
∘
g
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
라이프니츠 표기법에서, 이것은 다음으로 쓰입니다:
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}
Power laws, polynomials, quotients, and reciprocals The polynomial or elementary power rule 만약 임의의 실수
r
≠
0
{\displaystyle r\neq 0}
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}}
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}
r
=
1
{\displaystyle r=1}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
거듭제곱 규칙과 합 및 상수 배수 규칙을 결합하면 임의의 다항식의 도함수의 계산을 허용합니다.
The reciprocal rule 임의의 (비-소멸) 함수 f
h
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
(
f
(
x
)
)
2
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}\quad }
f 라이프니츠의 표기법에서, 이것은 다음으로 쓰입니다:
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}
역수 규칙은 몫 규칙으로부터, 또는 거듭제곱 규칙 및 체인 규칙의 조합으로부터 유도될 수 있습니다.
The quotient rule 만약 f g
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
g 이것은 곱 규칙 및 역수 규칙으로부터 유도될 수 있습니다.
Generalized power rule 기본 거듭제곱 규칙은 상당히 일반화됩니다. 가장 일반적인 거듭제곱 규칙은 함수의 거듭제곱 규칙 (functional power rule )입니다: 임의의 함수 f g
양쪽 변이 잘 정의될 때마다,
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right)}
[4] 다음 특별한 경우가 포함됩니다:
만약
f
(
x
)
=
x
a
{\textstyle f(x)=x^{a}\!}
a x
f
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}
역수 규칙은
g
(
x
)
=
−
1
{\textstyle g(x)=-1\!}
Derivatives of exponential and logarithmic functions
d
d
x
(
c
a
x
)
=
a
c
a
x
ln
c
,
c
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}
위의 방정식은 모든 c 에 대해 참이지만,
c
<
0
{\textstyle c<0}
d
d
x
(
e
a
x
)
=
a
e
a
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}
d
d
x
(
log
c
x
)
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
위의 방정식은 모든 c
c
<
0
{\textstyle c<0\!}
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
,
x
>
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}
d
d
x
(
ln
|
x
|
)
=
1
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}.}
d
d
x
(
x
x
)
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
−
1
d
f
d
x
+
f
(
x
)
g
(
x
)
ln
(
f
(
x
)
)
d
g
d
x
,
if
f
(
x
)
>
0
,
and if
d
f
d
x
and
d
g
d
x
exist.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}
d
d
x
(
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
)
)
=
[
∑
k
=
1
n
∂
∂
x
k
(
f
1
(
x
1
)
f
2
(
x
2
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
n
)
)
]
|
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
=
x
,
if
f
i
<
n
(
x
)
>
0
and
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}
d
f
i
d
x
exists.
{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}
Logarithmic derivatives 로그 도함수(logarithmic derivative) 는 (체인 규칙을 사용하여) 함수의 로그(logarithm) 를 미분화하는 것에 대해 규칙을 설명하는 또 다른 방법입니다:
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
f 로그 미분화(logarithmic differentiation) 는 로그와 그의 미분화 규칙을 사용하여 실제로 도함수를 적용하기 전에 특정 표현을 단순화하는 기술입니다.
로그는 지수를 제거하고, 곱을 합으로 변환하고, 나눗셈을 뺄셈으로 변환하기 위해 사용될 수 있습니다 – 그것의 각각은 도함수를 취하는 것에 대해 단순화된 표현으로 이어집니다.
Derivatives of trigonometric functions
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}}
두 인수를 갖는 역 탄젠트 함수 ,
arctan
(
y
,
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\!}
x
>
0
{\displaystyle x>0\!}
arctan
(
y
,
x
>
0
)
=
arctan
(
y
/
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
y
=
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
x
=
−
y
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}
Derivatives of hyperbolic functions
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
sech
x
)
′
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
csch
x
)
′
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
(
arcoth
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
Derivatives of special functions
리만 제타 함수
ζ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
{\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}
ζ
′
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }
=
−
∑
p
prime
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
prime
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}
Derivatives of integrals 다음 함수에 대해 x 에 관한 미분-가능하다고 가정합니다:
F
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}
여기서 함수
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}
이 공식은 라이프니츠 적분 규칙(Leibniz integral rule) 의 일반적인 형식이고 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus) 를 사용하여 유도될 수 있습니다.
Derivatives to n th order 일부 규칙이 함수의 n n
Faà di Bruno's formula 만약 f g n
d
n
d
x
n
[
f
(
g
(
x
)
)
]
=
n
!
∑
{
k
m
}
f
(
r
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
1
k
m
!
(
g
(
m
)
(
x
)
)
k
m
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}
여기서
r
=
∑
m
=
1
n
−
1
k
m
{\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}
{
k
m
}
{\displaystyle \{k_{m}\}}
∑
m
=
1
n
m
k
m
=
n
{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}
General Leibniz rule 만약 f g n
d
n
d
x
n
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
n
−
k
d
x
n
−
k
f
(
x
)
d
k
d
x
k
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
See also References
^ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 .^ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 .^ Complex Variables , M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 ^ "The Exponent Rule for Derivatives" . Math Vault . 2016-05-21. Retrieved 2019-07-25 .
Sources and further reading These rules are given in many books, both on elementary and advanced calculus, in pure and applied mathematics. Those in this article (in addition to the above references) can be found in:
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .Mathematical methods for physics and engineering , K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 NIST Handbook of Mathematical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .External links
![{\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f63b8091614e1d736ed9764ee10fa716e1fa4b)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e52623821c09e999ec428d4b2264ed2123e6c5c)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db9fc6a48b3658dc330625f3c027300228b82b0)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)