File:Integral Test.svg The integral test applied to the harmonic series . Since the area under the curve y = 1/x x ∈ [1, ∞) 수학(mathematics) 에서, 수렴에 대해 적분 테스트 (integral test for convergence )는 수렴(convergence) 에 대해 비-음의(non-negative) 항의 무한 급수(series) 를 테스트하기 위해 사용되는 방법 입니다. 그것은 콜린 매클로린(Colin Maclaurin) 및 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy) 에 의해 개발되었고 때때로 매클로린–코시 테스트 로 알려져 있습니다.
Statement of the test 정수(integer) N 구간(interval) [N , ∞) 위에 단조적으로 감소하는(monotone decreasing) 비-음의 함수 f
∑
n
=
N
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}
가 실수에 수렴하는 것과 부적절한 적분(improper integral)
∫
N
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}
이 유한한 것은 필요충분 조건입니다. 달리 말해서, 만약 적분이 발산하면, 마찬가지로 급수가 발산(series diverges) 합니다.
만약 부적절한 적분이 유한이면, 증명은 무한 급수에 대해, 다음 위쪽 및 아래쪽 경계(lower and upper bounds) 를 역시 제공합니다:
∫
N
∞
f
(
x
)
d
x
≤
∑
n
=
N
∞
f
(
n
)
≤
f
(
N
)
+
∫
N
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}
(1 )
Proof 증명은 기본적으로 비교 테스트(comparison test) 를 사용하며, 각각 구간 [n − 1, n ) 및 [n , n + 1) 에 걸쳐 f f (n )
f
f
(
x
)
≤
f
(
n
)
for all
x
∈
[
n
,
∞
)
{\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}
및
f
(
n
)
≤
f
(
x
)
for all
x
∈
[
N
,
n
]
.
{\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}
따라서, 모든 각 정수 n ≥ N
∫
n
n
+
1
f
(
x
)
d
x
≤
∫
n
n
+
1
f
(
n
)
d
x
=
f
(
n
)
{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}
(2 )
및, 모든 각 정수 n ≥ N + 1
f
(
n
)
=
∫
n
−
1
n
f
(
n
)
d
x
≤
∫
n
−
1
n
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}
(3 )
N M n 2
∫
N
M
+
1
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
N
M
∫
n
n
+
1
f
(
x
)
d
x
⏟
≤
f
(
n
)
≤
∑
n
=
N
M
f
(
n
)
{\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}
및 (3
∑
n
=
N
M
f
(
n
)
≤
f
(
N
)
+
∑
n
=
N
+
1
M
∫
n
−
1
n
f
(
x
)
d
x
⏟
≥
f
(
n
)
=
f
(
N
)
+
∫
N
M
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}
이들 두 추정을 결합하면 다음을 산출합니다:
∫
N
M
+
1
f
(
x
)
d
x
≤
∑
n
=
N
M
f
(
n
)
≤
f
(
N
)
+
∫
N
M
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}
M 1
Applications 조화 급수(harmonic series)
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
는 발산하는데 왜냐하면, 자연 로그(natural logarithm) , 그의 역도함수(antiderivative) , 및 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus) 를 사용하여, 우리는 다음을 얻기 때문입니다:
∫
1
M
1
n
d
n
=
ln
n
|
1
M
=
ln
M
→
∞
for
M
→
∞
.
{\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}
반대로, 급수
ζ
(
1
+
ε
)
=
∑
x
=
1
∞
1
x
1
+
ε
{\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}}
(비교. 리만 제타 함수(Riemann zeta function) )
는 모든 각 ε > 0거듭제곱 규칙(power rule) 에 의해 다음이기 때문입니다:
∫
1
M
1
x
1
+
ε
d
x
=
−
1
ε
x
ε
|
1
M
=
1
ε
(
1
−
1
M
ε
)
≤
1
ε
<
∞
for all
M
≥
1.
{\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}
(1
ζ
(
1
+
ε
)
=
∑
x
=
1
∞
1
x
1
+
ε
≤
1
+
ε
ε
,
{\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}
이것은 리만 제타 함수의 특정 값(particular values of Riemann zeta function) 의 일부와 비교될 수 있습니다.
Borderline between divergence and convergence 조화 급수를 포함하는 위의 예제는, 모든 각 ε > 0f (n )
lim
n
→
∞
f
(
n
)
1
/
n
=
0
and
lim
n
→
∞
f
(
n
)
1
/
n
1
+
ε
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }
인 의미에서 1/n 보다 빠르지만 1/n 1+ε 보다 더 느리게 0에 감소하는 것을 만족하는 단조 수열이 있는지 여부, 및 f (n )1/n 의 역할을 취하는 f (n )
수렴에 대해 적분 테스트를 사용하여, 우리는, 모든 각 자연수(natural number) k
∑
n
=
N
k
∞
1
n
ln
(
n
)
ln
2
(
n
)
⋯
ln
k
−
1
(
n
)
ln
k
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}
(4 )
가 여전히 발산하지만 (비교. 모든 k = 1소수의 역수의 합은 발산함에 대한 증명 ), 모든 각 ε > 0
∑
n
=
N
k
∞
1
n
ln
(
n
)
ln
2
(
n
)
⋯
ln
k
−
1
(
n
)
(
ln
k
(
n
)
)
1
+
ε
{\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}
(5 )
는 수렴함을 보일 수 있습니다 (아래를 참조하십시오). 여기서 lnk 는 다음에 의해 재귀적으로(recursively) 정의된 자연 로그의 k 합성(composition) 을 나타냅니다.
ln
k
(
x
)
=
{
ln
(
x
)
for
k
=
1
,
ln
(
ln
k
−
1
(
x
)
)
for
k
≥
2.
{\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}
게다가, N k k lnk N k , 즉, 테트레이션(Tetration) 또는 커누스의 윗-화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation) 를 사용하여, 다음임을 만족하는 가장-작은 자연수를 나타냅니다.
N
k
≥
e
e
⋅
⋅
e
⏟
k
e
′
s
=
e
↑↑
k
{\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}
적분 테스트를 사용하여 급수 (4 체인 규칙(chain rule) 의 반복된 적용에 의해 다음임을 주목하십시오:
d
d
x
ln
k
+
1
(
x
)
=
d
d
x
ln
(
ln
k
(
x
)
)
=
1
ln
k
(
x
)
d
d
x
ln
k
(
x
)
=
⋯
=
1
x
ln
(
x
)
⋯
ln
k
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}
따라서
∫
N
k
∞
d
x
x
ln
(
x
)
⋯
ln
k
(
x
)
=
ln
k
+
1
(
x
)
|
N
k
∞
=
∞
.
{\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}
급수 (5 거듭제곱 규칙(power rule) , 체인 규칙 및 위의 결과에 의해 다음임을 주목하십시오:
−
d
d
x
1
ε
(
ln
k
(
x
)
)
ε
=
1
(
ln
k
(
x
)
)
1
+
ε
d
d
x
ln
k
(
x
)
=
⋯
=
1
x
ln
(
x
)
⋯
ln
k
−
1
(
x
)
(
ln
k
(
x
)
)
1
+
ε
,
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}
따라서
∫
N
k
∞
d
x
x
ln
(
x
)
⋯
ln
k
−
1
(
x
)
(
ln
k
(
x
)
)
1
+
ε
=
−
1
ε
(
ln
k
(
x
)
)
ε
|
N
k
∞
<
∞
{\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }
및 (1 5
See also References Knopp, Konrad , "Infinite Sequences and Series", Dover Publications , Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6 Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3
![{\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc210ae29631ed3486b5353876ba4905f1a4df73)
