적분화(Integration) 는 적분 미적분학(integral calculus) 에서 기본 연산입니다. 미분화(differentiation) 는 복잡한 함수의 도함수는 그것의 더 간단한 성분 함수(function) 를 미분함으로써 구할 수 있는 쉬운 규칙 을 가지지만, 적분화는 그렇지 않으므로, 알려진 적분의 테이블이 종종 유용합니다. 이 기사는 가장 공통적인 역도함수(antiderivative) 의 일부를 나열합니다.
Historical development of integrals 적분 (Integraltafeln)과 적분 미적분의 기법의 목록의 편집은 1810년 독일 수학자 마이어 허쉬(Meier Hirsch, 일명 Meyer Hirsch)에 의해 출판되었습니다. 이들 테이블은 1823년에 영국에서 다시 출판되었습니다. 보다 광범위한 테이블은 1858년에 네덜란드 수학자 다비트 비렌스 드 한(David Bierens de Haan) 에 의해 그의 Tables d'intégrales définies Supplément aux tables d'intégrales définies Nouvelles tables d'intégrales définies 그라슈튼과 라이자이크(Gradshteyn and Ryzhik) 의 훨씬 더 광범위한 테이블로 대체되었습니다. 그라슈튼과 라이자이크에서, 다비트 비렌스 드 한의 책에서 나온 적분은 BI로 표시됩니다.
모든 닫힌-형식 표현(closed-form expression) 이 닫힌-형식 역도함수를 갖는 것은 아닙니다; 이 연구는 1830년대와 1840년대에 조제프 리우빌(Joseph Liouville) 에 의해 처음 개발되었던 미분 갈루아 이론(differential Galois theory) 의 주제를 형성하며, 어떤 표현이 닫힌 형식 역도함수를 가지는지를 분류하는 루이빌의 정리(Liouville's theorem) 로 이어집니다. 닫힌 형식 역도함수없이 함수의 간단한 예제는 e −x 2 까지 ) 오차 함수(error function) 입니다.
1968년 이래로 전형적으로 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system) 을 사용하여 기본 함수(elementary function) 의 관점에서 표현될 수 있는 부정 적분을 결정하기 위한 리시 알고리듬(Risch algorithm) 이 있습니다. 기본 함수를 사용하여 표현될 수 없는 적분은 마이어 G-함수(Meijer G-function) 와 같은 일반적인 함수를 사용하여 기호적으로 조작될 수 있습니다.
Lists of integrals 보다 자세한 것은 적분 의 목록
그라슈튼(Gradshteyn) , 라이자이크(Ryzhik) , 제라니모스(Geronimus) , 체이틀린(Tseytlin) , 제프리(Jeffrey), 즈릴링아(Zwillinger), 모이(Moll)의 (GR) Table of Integrals, Series, and Products 프루드니카프(Prudnikov) , 브라이치코프(Brychkov), 및 마리체프(Marichev) 에 의한 Integrals and Series 입니다 (여기서 1–3 권은 적분 및 일련의 기본(elementary) 과 특수 함수(special functions) 를 나열하고, 4–5 권은 라플라스 변환(Laplace transform) 의 테이블입니다). 더 간결한 모음은 예를 들어 브라이치코프(Brychkov), 마리체프(Marichev), 프루드니카프(Prudnikov)의 Tables of Indefinite Integrals , 또는 즈릴링아의 CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 또는 브론슈테인 및 세멘디아예프(Bronshtein and Semendyayev) 의 Guide Book to Mathematics Handbook of Mathematics Users' Guide to Mathematics
다른 유용한 자료는 아브라모위츠와 스티건(Abramowitz and Stegun) 및 베이트맨 원고 프로젝트(Bateman Manuscript Project) 를 포함합니다. 연구 둘 다는 특정 적분에 관한 많은 항등식을 포함하며, 별도의 테이블로 수집되는 대신에 가장 관련성 높은 주제로 구성되어 있습니다. 베이트맨 원고의 두 권은 오직 적분 변환과 관련됩니다.
필요에 따라 적분과 적분의 테이블을 가지는 여러 웹 사이트가 있습니다. 월프럼 알파(Wolfram Alpha) 는 결과와, 일부 더 간단한 표현에 대해, 역시 적분화의 중간 단계를 보여줄 수 있습니다. 월프럼 리서치(Wolfram Research) 는 또 다른 온라인 서비스, 월프럼 매스메티카 온라인 적분기(Wolfram Mathematica Online Integrator) 를 역시 운영합니다.
Integrals of simple functions C 는 임의의 적분화의 상수(arbitrary constant of integration) 에 대해 사용되며 만약 어떤 점에서 적분의 값에 대한 어떤 것이 알려져 있으면 오직 결정될 수 있습니다. 따라서, 각 함수는 무한한 숫자의 역도함수(antiderivative) 를 가집니다.
이들 공식은 도함수의 테이블(table of derivatives) 에서 또 다른 형식 주장을 오직 말합니다.
Integrals with a singularity 역도함수가 정의되지 않거나 일부 점 (특이점)에서 정의되지 않는 것을 만족하는 적분되려는 함수에서 특이점(singularity) 이 있을 때, C 는 특이점의 양쪽 변에서 같아져야 할 필요는 없습니다. 아래의 형식은 통상적으로 C 의 값에서 특이점 주위의 코시 주요 값(Cauchy principal value) 을 가정하지만 이것은 일반적으로 필요하지는 않습니다. 예를 들어 다음에서,
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}
0에서 특이점이 있으고 역도함수(antiderivative) 가 그곳에서 무한대가 됩니다. 만약 위의 적분이 −1과 1 사이의 명확한 적분을 계산하기 위해 사용되려면, 우리는 잘못된 답 0을 얻을 것입니다. 이것은 어쨌든 특이점 주위의 적분의 코시 주요 값입니다. 만약 적분화가 복소 평면에서 행해지면, 결과는 원점 주위의 경로에 따라 달라지며, 이 경우에서 특이점은 원점 위의 경로를 사용할 때 −i π 와 원점 아래의 경로에 대해 i π 를 기여합니다. 실수 직선 위의 함수는 다음에서 처럼 원점의 양쪽 변에서 완전히 다른 C 의 값을 사용할 수 있습니다:
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
{
A
if
x
>
0
;
B
if
x
<
0.
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}
Rational functions 더 많은 적분: List of integrals of rational functions
∫
a
d
x
=
a
x
+
C
{\displaystyle \int a\,dx=ax+C}
다음 함수는 a ≤ −1
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}
카바리에리의 구적법 공식(Cavalieri's quadrature formula) )
∫
(
a
x
+
b
)
n
d
x
=
(
a
x
+
b
)
n
+
1
a
(
n
+
1
)
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}
보다 일반적으로,[1]
∫
1
x
d
x
=
{
ln
|
x
|
+
C
−
x
<
0
ln
|
x
|
+
C
+
x
>
0
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}
∫
c
a
x
+
b
d
x
=
c
a
ln
|
a
x
+
b
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
Exponential functions 더 많은 적분: List of integrals of exponential functions
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}
∫
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
d
x
=
e
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}
Logarithms 더 많은 적분: List of integrals of logarithmic functions
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}
∫
log
a
x
d
x
=
x
log
a
x
−
x
ln
a
+
C
=
x
ln
x
−
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C}
Trigonometric functions 더 많은 적분: List of integrals of trigonometric functions
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
(시컨트 함수의 적분(Integral of the secant function) 을 참조하십시오. 이 결과는 17세기에 잘-알려진 추측이었습니다.)
∫
csc
x
d
x
=
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
=
ln
|
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
2
x
2
)
+
C
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
2
x
2
)
+
C
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
tan
2
x
d
x
=
tan
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}
∫
cot
2
x
d
x
=
−
cot
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
(
sec
x
tan
x
+
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}
(시컨트 세제곱의 적분(integral of secant cubed) 을 참조하십시오.)
∫
csc
3
x
d
x
=
1
2
(
−
csc
x
cot
x
+
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
)
+
C
=
1
2
(
ln
|
tan
x
2
|
−
csc
x
cot
x
)
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
Inverse trigonometric functions 더 많은 적분: List of integrals of inverse trigonometric functions
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
for
|
x
|
≤
+
1
{\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
for
|
x
|
≤
+
1
{\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
,
for all real
x
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
,
for all real
x
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
|
x
(
1
+
1
−
x
−
2
)
|
+
C
,
for
|
x
|
≥
1
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
|
x
(
1
+
1
−
x
−
2
)
|
+
C
,
for
|
x
|
≥
1
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}
Hyperbolic functions 더 많은 적분: List of integrals of hyperbolic functions
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
,
for
x
≠
0
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
,
for
x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
Inverse hyperbolic functions 더 많은 적분: List of integrals of inverse hyperbolic functions
∫
arsinh
x
d
x
=
x
arsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
,
for all real
x
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x}
∫
arcosh
x
d
x
=
x
arcosh
x
−
x
2
−
1
+
C
,
for
x
≥
1
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1}
∫
artanh
x
d
x
=
x
artanh
x
+
ln
(
1
−
x
2
)
2
+
C
,
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1}
∫
arcoth
x
d
x
=
x
arcoth
x
+
ln
(
x
2
−
1
)
2
+
C
,
for
|
x
|
>
1
{\displaystyle \int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1}
∫
arsech
x
d
x
=
x
arsech
x
+
arcsin
x
+
C
,
for
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}
∫
arcsch
x
d
x
=
x
arcsch
x
+
|
arsinh
x
|
+
C
,
for
x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0}
Products of functions proportional to their second derivatives
∫
cos
a
x
e
b
x
d
x
=
e
b
x
a
2
+
b
2
(
a
sin
a
x
+
b
cos
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}
∫
sin
a
x
e
b
x
d
x
=
e
b
x
a
2
+
b
2
(
b
sin
a
x
−
a
cos
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}
∫
cos
a
x
cosh
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
(
a
sin
a
x
cosh
b
x
+
b
cos
a
x
sinh
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}
∫
sin
a
x
cosh
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
(
b
sin
a
x
sinh
b
x
−
a
cos
a
x
cosh
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}
Absolute-value functions f f f g f
∫
|
f
(
x
)
|
d
x
=
sgn
(
f
(
x
)
)
g
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn} (f(x))g(x)+C,}
여기서 sgn(x ) 가 부호 함수(sign function) 이며, 이것은 x a ≠ 0
∫
|
(
a
x
+
b
)
n
|
d
x
=
sgn
(
a
x
+
b
)
(
a
x
+
b
)
n
+
1
a
(
n
+
1
)
+
C
[
n
is odd, and
n
≠
−
1
]
.
{\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn} (ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C\quad [\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]\,.}
어떤 정수 n
a
x
∈
(
n
π
−
π
2
,
n
π
+
π
2
)
{\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}
∫
|
tan
a
x
|
d
x
=
−
1
a
sgn
(
tan
a
x
)
ln
(
|
cos
a
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn} (\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}
어떤 정수 n
a
x
∈
(
n
π
,
n
π
+
π
)
{\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}
∫
|
csc
a
x
|
d
x
=
−
1
a
sgn
(
csc
a
x
)
ln
(
|
csc
a
x
+
cot
a
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn} (\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}
어떤 정수 n
a
x
∈
(
n
π
−
π
2
,
n
π
+
π
2
)
{\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}
∫
|
sec
a
x
|
d
x
=
1
a
sgn
(
sec
a
x
)
ln
(
|
sec
a
x
+
tan
a
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn} (\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}
어떤 정수 n
a
x
∈
(
n
π
,
n
π
+
π
)
{\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}
∫
|
cot
a
x
|
d
x
=
1
a
sgn
(
cot
a
x
)
ln
(
|
sin
a
x
|
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn} (\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}
만약 함수 f f sgn(f (x )) ∫ f (x ) dx 가 f f (x ) = 0구간(interval) 위에 f 단계 함수(step function) 를 더해야 합니다. 만약 우리가 사인과 코사인의 절댓값이 주기 π 를 갖는 주기적이라는 사실을 역시 사용하면, 우리는 다음을 얻습니다:
∫
|
sin
a
x
|
d
x
=
2
a
⌊
a
x
π
⌋
−
1
a
cos
(
a
x
−
⌊
a
x
π
⌋
π
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}
[citation needed
∫
|
cos
a
x
|
d
x
=
2
a
⌊
a
x
π
+
1
2
⌋
+
1
a
sin
(
a
x
−
⌊
a
x
π
+
1
2
⌋
π
)
+
C
{\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}
[citation needed Special functions Ci, Si: Trigonometric integrals , Ei: Exponential integral , li: Logarithmic integral function , erf: Error function
∫
Ci
(
x
)
d
x
=
x
Ci
(
x
)
−
sin
x
{\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}
∫
Si
(
x
)
d
x
=
x
Si
(
x
)
+
cos
x
{\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}
∫
Ei
(
x
)
d
x
=
x
Ei
(
x
)
−
e
x
{\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}
∫
li
(
x
)
d
x
=
x
li
(
x
)
−
Ei
(
2
ln
x
)
{\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}
∫
li
(
x
)
x
d
x
=
ln
x
li
(
x
)
−
x
{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}
∫
erf
(
x
)
d
x
=
e
−
x
2
π
+
x
erf
(
x
)
{\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}
Definite integrals lacking closed-form antiderivatives 그의 역도함수가 닫힌 형식(closed form) 에서 표현될 수 없는 일부 함수가 있습니다. 어쨌든, 일부 공통 구간에 걸쳐 이들 함수 중 일부의 명확한 적분의 값은 계산될 수 있습니다. 몇 가지 유용한 적분이 아래에 제공됩니다.
∫
0
∞
x
e
−
x
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
감마 함수(Gamma function) 를 참조하십시오)
∫
0
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
1
2
π
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}
a > 0가우스 적분(Gaussian integral) )
∫
0
∞
x
2
e
−
a
x
2
d
x
=
1
4
π
a
3
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}}
a > 0
∫
0
∞
x
2
n
e
−
a
x
2
d
x
=
2
n
−
1
2
a
∫
0
∞
x
2
(
n
−
1
)
e
−
a
x
2
d
x
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
+
1
π
a
2
n
+
1
=
(
2
n
)
!
n
!
2
2
n
+
1
π
a
2
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}
a > 0n 두-배 팩토리얼(double factorial) 입니다.
∫
0
∞
x
3
e
−
a
x
2
d
x
=
1
2
a
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}
a > 0
∫
0
∞
x
2
n
+
1
e
−
a
x
2
d
x
=
n
a
∫
0
∞
x
2
n
−
1
e
−
a
x
2
d
x
=
n
!
2
a
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}
a > 0n = 0, 1, 2, ....
∫
0
∞
x
e
x
−
1
d
x
=
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
베르누이 숫자(Bernoulli number) 를 참조하십시오)
∫
0
∞
x
2
e
x
−
1
d
x
=
2
ζ
(
3
)
≈
2.40
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}
∫
0
∞
x
3
e
x
−
1
d
x
=
π
4
15
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
싱크 함수(sinc function) 와 디리클레 적분(Dirichlet integral) 을 참조하십시오)
∫
0
∞
sin
2
x
x
2
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
=
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
×
{
1
if
n
is odd
π
2
if
n
is even.
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}
n 두-배 팩토리얼(double factorial) 입니다).
∫
−
π
π
cos
(
α
x
)
cos
n
(
β
x
)
d
x
=
{
2
π
2
n
(
n
m
)
|
α
|
=
|
β
(
2
m
−
n
)
|
0
otherwise
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
β ≠ 0m , n ≥ 0α , β , m , n 이항 계수(Binomial coefficient) 를 참조하십시오)
∫
−
t
t
sin
m
(
α
x
)
cos
n
(
β
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}
α , β n m 에 대해; 왜냐하면 피적분은 홀수 함수(odd) 입니다)
∫
−
π
π
sin
(
α
x
)
sin
n
(
β
x
)
d
x
=
{
(
−
1
)
(
n
+
1
2
)
(
−
1
)
m
2
π
2
n
(
n
m
)
n
odd
,
α
=
β
(
2
m
−
n
)
0
otherwise
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
β ≠ 0m , n ≥ 0α , β , m , n 이항 계수(Binomial coefficient) 를 참조하십시오)
∫
−
π
π
cos
(
α
x
)
sin
n
(
β
x
)
d
x
=
{
(
−
1
)
(
n
2
)
(
−
1
)
m
2
π
2
n
(
n
m
)
n
even
,
|
α
|
=
|
β
(
2
m
−
n
)
|
0
otherwise
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
β ≠ 0m , n ≥ 0α , β , m , n 이항 계수(Binomial coefficient) 를 참조하십시오)
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
=
π
a
exp
[
b
2
−
4
a
c
4
a
]
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}
exp[u ] 는 지수 함수(exponential function) eu , 및 a > 0
∫
0
∞
x
z
−
1
e
−
x
d
x
=
Γ
(
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
감마 함수(Gamma function) 입니다)
∫
0
1
(
ln
1
x
)
p
d
x
=
Γ
(
p
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}
∫
0
1
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
d
x
=
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
Γ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}
Re(α ) > 0 와 Re(β ) > 0 에 대해, 베타 함수(Beta function) 를 참조하십시오)
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}
I 0 (x )베셀 함수(Bessel function) 입니다)
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
+
y
sin
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
∫
−
∞
∞
(
1
+
x
2
ν
)
−
ν
+
1
2
d
x
=
ν
π
Γ
(
ν
2
)
Γ
(
ν
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}
ν > 0스튜던트의 t -분포(Student's t -distribution) 의 확률 밀도 함수(probability density function) 와 관련됩니다)만약 함수 f [a ,b ] 위에 경계진 변화(bounded variation) 를 가지면, 소진의 방법(method of exhaustion) 은 적분에 대해 공식을 제공합니다:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
∑
n
=
1
∞
∑
m
=
1
2
n
−
1
(
−
1
)
m
+
1
2
−
n
f
(
a
+
m
(
b
−
a
)
2
−
n
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}
"이학년의 꿈(sophomore's dream)" :
∫
0
1
x
−
x
d
x
=
∑
n
=
1
∞
n
−
n
(
=
1.29128
59970
6266
…
)
∫
0
1
x
x
d
x
=
−
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
−
n
(
=
0.78343
05107
1213
…
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}
이것은 요한 베르누이(Johann Bernoulli) 에 귀속됩니다.
See also References Further reading Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). ISBN 3-87144-492-8 Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 .Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press . ISBN 2-88124-097-6 {{cite book }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas . Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (Many earlier editions as well.)
Meyer Hirsch (de ) , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln Meyer Hirsch (de ) , Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae Integraltafeln ]David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899) External links Tables of integrals Derivations Online service Open source programs
![{\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C\quad [\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]\,.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2bdf7a88e24d6ad02054ca957ddcba9520ec45)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac3de5d20ec70a35c8d52bafaa6a82c148b566)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb1c1f34b4606f5ebf9e88ecdb80a7681b8fcce)
