Multi-index notation

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다중-인덱스 표기법(Multi-index notation)은 정수 인덱스(index)의 개념을 순서화된 인덱스의 튜플(tuple)로 일반화함으로써 다변수 미적분학(multivariable calculus), 부분 미분 방정식(partial differential equation)과 분포(distribution)의 이론에 사용되는 공식을 단순화하는 수학적 표기법(mathematical notation)입니다.

Definition and basic properties

n-차원 다중-인덱스는 비-음의 정수(non-negative integers) (즉, $\mathbb {N} _{0}^{n}$로 표시된, 자연수(natural number)의 n-차원(dimension) 집합(set)의 원소)의 다음 n-튜플(tuple)입니다:

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$.

다중-인덱스 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$와 $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, 우리는 다음을 정의합니다:

성분별 합과 차이

$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

부분 순서

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$

성분의 합 (절댓값)

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

팩토리얼

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

이항 계수

${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$

Multinomial coefficient

$${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$$ 여기서 $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$.

거듭제곱(Power)

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$.

고차 부분 도함수

$$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$$ 여기서 $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ (역시 4-그래디언트를 참조하십시오). 때때로 표기법 $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$이 역시 사용됩니다.

Some applications

다중-인덱스 표기법은 기초 미적분에서 해당하는 다중-변수 경우로 많은 공식의 확장을 허용합니다. 아래는 일부 예제입니다. 모든 다음에서, $x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}$ (or $\mathbb {R} ^{n}$), $\alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}$, 및 $f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ (or $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$).

다항 정리

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }$

다중-이항 정리

$$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$$ x + y가 벡터이고 α가 다중-인덱스이기 때문에, 왼쪽 변에서 표현은 (x₁ + y₁)^α₁⋯(x_n + y_n)^α_n에 대해 짧은 것임을 주목하십시오.

라이프니츠 공식(Leibniz formula)

매끄러운 함수 f와 g에 대해 $$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$$

테일러 급수

n 변수에서 해석적 함수(analytic function) f에 대해, 우리는 다음을 가집니다: $$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$$ 사실, 충분한 매끄러운 함수에 대해, 우리는 유사한 테일러 전개를 가집니다: $$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$$ 여기서 마지막 항 (나머지)은 테일러의 공식의 정확한 버전에 따라 다릅니다. 예를 들어, (정수 나머지를 갖는) 코시 공식에 대해, 우리는 다음을 가집니다: $$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$$

일반적인 선형 부분 미분 연산자

n 변수에서 형식적 선형 N-번째 차수 부분 미분 연산자는 다음으로 쓰입니다: $$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$$

부분에 의한 적분

경계진 도메인 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$에서 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 매끄러운 함수에 대해, 우리는 다음을 가집니다: $$\int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$$ 이 공식은 분포(distribution)와 약한 도함수(weak derivative)의 정의에 사용됩니다.

An example theorem

만약 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$가 다중-인덱스이고 $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$이면, 다음입니다: $$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Proof

증명은 보통의 도함수(ordinary derivative)에 대해 거듭제곱 규칙(power rule)에서 따릅니다: 만약 $\alpha$와 $\beta$가 {0, 1, 2, …} 안에 있으면, 다음입니다:

$${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}$$

(1)

$\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$, 및 $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$를 가정합니다. 그런-다음 우리는 다음임을 가집니다: $${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$$

{1, …, n}에서 각 i에 대해, 함수 $x_{i}^{\beta _{i}}$는 오직 $x_{i}$에 의존합니다. 위에서, 각 부분 미분화 $\partial /\partial x_{i}$가 따라서 대응하는 보통의 미분화 $d/dx_{i}$로 줄어듭니다. 따라서, 방정식 (1)에서, $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$가 {1, …, n}에서 적어도 하나의 i에 대해 α_i > β_i이면 사라짐을 따릅니다. 만약 이것이 그 경우이면, 즉, 다중-인덱스로 α ≤ β이면, 각 $i$에 대해 다음이고 그 정리가 따릅니다: $${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$$

Q.E.D.

See also

• Einstein notation
• Index notation
• Ricci calculus

References

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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