Partial derivative

Original article: w:Partial derivative

수학(mathematics)에서, 여러 변수의 함수(function of several variables)의 부분 도함수(partial derivative)는 그들 변수 중 하나에 관한 그것의 도함수(derivative)이며, 다른 변수는 상수로 여집니다 (대조적으로 전미분(total derivative)은 모든 변수가 변하는 것으로 여집니다). 부분 도함수는 벡터 미적분학(vector calculus) 및 미분 기하학(differential geometry)에 사용됩니다.

변수 $x$에 관한 함수 $f(x,y,\dots )$의 부분 도함수는 다음과 같이 다양하게 표시됩니다:

$f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

때때로, $z=f(x,y,\dots )$에 대해, $x$에 관한 $z$의 부분 도함수는 ${\partial z} \over {\partial x}$로 표시됩니다. 부분 도함수는 일반적으로 원래 함수와 같은 인수를 가지므로, 그것의 함수형 종속성은, 다음에서 처럼, 표기법에 의해 때때로 명시적으로 서명됩니다:

$f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).$

부분 도함수를 나타내기 위해서 사용되는 기호는 ∂입니다. 수학에서 이 기호의 첫 번째로 알려진 사용 중 하나는 1770년 콘도르트의 후작(Marquis de Condorcet)에 의한 것이며, 그는 부분 차이에 대해 그것을 사용했습니다. 현대 부분 도함수 표기법은, 비록 그가 나중에 그것을 버렸을지라도, 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre) (1786)에 의해 만들어졌습니다; 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi)는 1841년에 이 기호를 다시-도입했습니다.

Introduction

f가 둘 이상의 변수의 함수로 가정합니다. 예를 들어,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

A graph of z = x² + xy + y². For the partial derivative at (1, 1) that leaves y constant, the corresponding tangent line is parallel to the xz-plane.

A slice of the graph above showing the function in the xz-plane at y = 1. Note that the two axes are shown here with different scales. The slope of the tangent line is 3.

이 함수의 그래프(graph)는 유클리드 공간(Euclidean space)에서 표면(surface)을 정의합니다. 이 표면 위의 모든 각 점에서, 무한한 숫자의 접하는 직선(tangent line)이 있습니다. 부분 미분화는 이들 선 중 하나를 선택하고 기울기(slope)를 찾는 동작입니다. 보통, 가장 관심있는 직선은 $xz$-평면에 평행한 직선과 $yz$-평면에 평행한 직선입니다 (이것은 각각 y 또는 x를 상수로 유지한 결과입니다).

$P(1,1)$에서 함수에 접하고 $xz$-평면에 평행한 직선의 기울기를 구하기 위해, 우리는 $y$를 상수로 취급합니다. 그래프와 이 평면은 오른쪽 편에 보입니다. 아래에, 우리는 평면 $y=1$에서 함수가 어떻게 보이는지 봅니다. $y$가 상수라고 가정하면서 방정식의 도함수(derivative)를 찾음으로써, 우리는 점 $(x,y)$에서 $f$의 기울기는 다음임을 구합니다:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.$

그래서 $(1,1)$에서, 대입에 의해, 기울기는 3입니다. 그러므로, 점 $(1,1)$에서,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$.

즉, $(1,1)$에서 $x$에 관한 $z$의 부분 도함수는, 그래프에서 보이는 것처럼, 3입니다.

Definition

Basic definition

함수 f는 다른 변수에 의해 인덱스된 한 변수의 함수의 가족으로 다시-해석될 수 있습니다:

$f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

다른 말로, y의 모든 각 값은, f_y로 나타내는, 함수로 정의되며, 이것은 한 변수 x의 함수입니다. 즉,

$f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

이 섹션에서 아래-첨자 표기법 f_y은 y의 고정된 값에 따른 함수를 나타내고, 부분 도함수가 아닙니다.

한번 y의 값이 선택되면, 말하자면 a, f(x,y)가 함수 f_a를 결정하며 이것은 $xz$-평면 위의 곡선 x² + ax + a²을 추적합니다:

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.$

이 표현에서, a는 변수가 이니라 상수이므로, f_a는 오직 한 실수 변수의 함수이며, 그것은 x입니다. 결과적으로, 한 변수의 함수에 대해 도함수의 정의가 적용됩니다:

$f_{a}'(x)=2x+a.$

위의 절차는 a의 임의의 선택에 대해 수행될 수 있습니다. 도함수를 함께 함수로 결합하면 x 방향에서 f의 변화를 설명하는 함수를 제공합니다:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.$

이것은 x에 관한 f의 부분 도함수입니다. 여기서 ∂는 부분 도함수 기호로 불리는 둥근 d입니다. 그것을 문자 d와 구별하기 위해, ∂는 때때로 "부분(partial)"으로 발음됩니다.

일반적으로, 점 (a₁, ..., a_n)에서 방향 x_i에서 n-애리(n-ary) 함수 f(x₁, ..., x_n)의 부분 도함수는 다음으로 정의됩니다:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.$

위의 차이 몫에서, x_i를 제외한 모든 변수는 고정되어 있습니다. 고정된 값의 해당 선택은 한 변수의 함수를 결정합니다:

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

그리고 정의에 의해,

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

다른 말로, a의 다른 선택은 위의 예제에서 처럼 단지 한-변수 가족을 색인화합니다. 이 표현은 역시 부분 도함수의 계산이 한-변수 도함수의 계산으로 줄어듬을 보여줍니다.

여러 변수의 함수의 중요한 예제는 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ (예를 들어, $\mathbb {R} ^{2}$ 또는 $\mathbb {R} ^{3}$)에서 도메인 위의 스칼라-값 함수(scalar-valued function) f(x₁, ..., x_n)의 경우입니다. 이 경우에서, f는 각 변수 x_j에 관한 부분 도함수 ∂f/∂x_j를 가집니다. 점 a에서, 이들 부분 도함수는 벡터를 정의합니다:

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

이 벡터는 a에서 f의 그래디언트(gradient)로 불립니다. 만약 f가 어떤 도메인에서 모든 각 점에서 미분-가능이면, 그래디언트는 벡터-값 함수 ∇f이며 이것은 점 a를 벡터 ∇f(a)로 가져갑니다. 결과적으로, 그래디언트는 벡터 필드(vector field)를 생성합니다.

공통적인 표기법의 남용(abuse of notation)은 단위 벡터(unit vectors) ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$를 가진 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{3}$에서 다음과 같이 델 연산자(del operator) (∇)를 정의하는 것입니다:

$\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}$

또는, 보다 일반적으로, 좌표 $x_{1},\ldots ,x_{n}$와 벡터 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$를 갖는 n-차원 유클리드 공간에 대해:

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\ldots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Formal definition

보통 도함수에서 처럼, 부분 도함수는 극한(limit)으로 정의됩니다. U를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분-집합(open subset)이고 $f:U\to \mathbb {R}$를 함수로 놓습니다. i-번째 변수 x_i에 관한 점 $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$에서 f의 부분 도함수는 다음으로 정의됩니다:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}$

심지어 모든 부분 도함수 ∂f/∂x_i(a)가 주어진 점 a에서 존재할지라도, 함수는 그곳에서 연속(continuous)일 필요가 없습니다. 어쨌든, 만약 모든 부분 도함수가 a의 이웃(neighborhood)에서 존재하고 그곳에서 연속이면, f는 해당 이웃에서 전체적으로 미분-가능(totally differentiable)이고 전체 도함수는 연속입니다. 이 경우에서, f는 C¹ 함수라고 말합니다. 이것은 성분-별 인수를 신중하게 사용함으로써 벡터-값 함수, $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$에 대해 일반화하기 위해 사용될 수 있습니다.

부분 도함수 ${\frac {\partial f}{\partial x}}$는 U 위에 정의된 또 다른 함수로 볼 수 있고 부분적으로 다시 미분화될 수 있습니다. 만약 모든 혼합된 이차 부분 도함수가 한 점에서 (또는 한 집합 위에) 연속이면, f는 해당 점에서 (또는 해당 집합 위에) C² 함수로 지칭됩니다; 이 경우에서, 부분 도함수는 클레로의 정리(Clairaut's theorem)에 의해 교환될 수 있습니다:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.$

Examples

Geometry

The volume of a cone depends on height and radius

원뿔(cone)의 부피(volume) V는 다음 공식에 따라 원뿔의 높이(height) h와 그것의 반지름(radius) r에 따라 달라집니다:

$V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.$

r에 관한 V의 부분 도함수는 다음입니다:

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},$

이것은 만약 원뿔의 반지름이 변하고 그것의 높이가 상수로 유지되면 원뿔의 부피가 변하는 율을 나타냅니다. $h$에 관한 부분 도함수는 ${\frac {\pi r^{2}}{3}}$과 같으며, 이것은 만약 원뿔의 높이가 변하고 그것의 반지름이 상수로 유지되면 부피가 변하는 율을 나타냅니다.

대조적으로, r과 h에 관한 V의 전체 도함수(total derivative)는 각각 다음입니다:

${\frac {dV}{dr}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}$

및

${\frac {dV}{dh}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}$

전체 및 부분 도함수 사이의 차이는 부분 도함수에서 변수 사이의 간접 의존성을 제거입니다.

만약 (일부 임의의 이유에 대해) 원뿔의 비율이 같게 유지되어야 하고, 높이와 반지름이 고정된 비율 k 안에 있으면,

$k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.$

이것은 r에 관한 전체 도함수를 제공합니다:

${\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k$

이것은 다음으로 단순화됩니다:

${\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2}$

비슷하게, h에 관한 전체 도함수는 다음입니다:

${\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}$

이들 두 변수의 스칼라 함수로 의도된 부피의 r와 h 둘 다에 관한 전체 도함수는 그래디언트(gradient) 벡터에 의해 제공됩니다:

$\nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right)$.

Optimization

부분 도함수는 하나보다 많은 선택 변수를 갖는 임의의 미적분-기반 최적화(optimization) 문제에 나타납니다. 예를 들어, 경제학(economics)에서 회사는 출력의 두 다른 유형의 수량 x와 y의 선택에 관한 이익(profit) π(x, y)를 최대화하기를 원할 수 있습니다. 이 최적화에 대해 일-차 조건(first order condition)은 π_x = 0 = π_y입니다. 부분 도함수 π_x와 π_y 둘 다는 일반적으로 인수 x와 y 둘 다의 함수 자체일 것이므로, 이들 두 일-차 조건은 두 미지수에서 두 방정식의 시스템(system of two equations in two unknowns)을 형성합니다.

Thermodynamics, quantum mechanics and mathematical physics

부분 도함수는 기브스-뒤엠 방정식(Gibbs-Duhem equation)과 같은 열역학적 방정식, 슈뢰딩거 파동 방정식과 같은 양자 역학, 수학적 물리학(mathematical physics)으로부터 다른 방정식에서 마찬가지로 나타납니다. 여기서 부분 도함수에서 상수로 유지되는 변수는 삼항 혼합 시스템에서 기브스 에너지를 포함하는 다음 예제에서 몰 분수(mole fraction) x_i와 같은 간단한 변수의 비율일 수 있습니다:

${\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}$

다른 성분의 몰 분수(mole fraction)와 이진 몰 비율의 함수로 성분의 몰 분수를 표현하십시오:

$x_{1}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}$

$x_{3}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}$

차이 몫은 위의 그들과 같은 상수 비율에서 형성될 수 있습니다:

$\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}$

$\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}$

몰 분수의 비율 X, Y, Z는 삼함 및 여러-성분 시스템에 대해 쓸 수 있습니다:

$X={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}$

$Y={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}$

$Z={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

이것은 다음과 같은 부분 미분 방정식(partial differential equation)을 푸는 것에 대해 사용될 수 있습니다:

$\left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}$

이 상등은 한 변에 대한 몰 분수의 미분 몫을 가지기 위해 재-배열될 수 있습니다.

Image resizing

부분 도함수는 목표-인식 이미지 크기-조정 알고리듬에 핵심입니다. 솔기 조각술(seam carving)로 널리 알려진, 이들 알고리듬은 이미지에서 각 픽셀(pixel)에 직교 인접 픽셀에 대한 비-유사성을 설명하기 위해 수치적 '에너지'를 할당하는 것이 요구됩니다. 그 알고리듬(algorithm)은 그런-다음 가장-낮은 에너지를 가진 행 또는 열을 점진적으로 제거합니다. 픽셀의 에너지 (한 픽셀에서 그래디언트(gradient)의 크기)를 결정하기 위해 확립된 그 공식은 부분 도함수의 구성에 크게 의존합니다.

Economics

부분 도함수는 경제학(economics)에서 두드러진 역할을 하며, 이것에서 경제 행동을 기술하는 대부분 함수는 그 행동이 하나보다 많은 변수에 의존한다는 사실로 가정합니다. 예를 들어, 사회적 소비 함수(consumption function)는 소득과 재산 둘 다에 의존하는 것으로 소비재에 소비하는 총금액을 설명할 수 있습니다; 소비에 대한 주변 경향(marginal propensity to consume)은 그런-다음 소득에 관한 소비 함수의 부분 도함수입니다.

Notation

Further information: ∂

다음 예제에 대해, $f$를 $x,y$ 및 $z$에서 함수로 놓습니다.

일-차 부분 도함수:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

이-차 부분 도함수:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.$

이-차 혼합된 도함수(mixed derivatives):

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.$

고-차 부분 및 혼합된 도함수:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

여러 변수의 함수를 다룰 때, 이들 변수의 일부는 서로 관련될 수 있으며, 따라서 모호성을 피하기 위해 변수가 상수로 유지되는 것을 명시적으로 지정할 필요가 있을 것입니다. 통계적 역학(statistical mechanics)과 같은 분야에서, $y$와 $z$를 상수로 유지되는, $x$에 관한 $f$의 부분 도함수는 종종 다음으로 표현됩니다:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.$

관례적으로, 표기법의 명확성과 단순성에 대해, 특정 점에서 부분 도함수 함수 및 함수의 값은 부분 도함수 기호 (라이프니츠 표기법)가 사용될 때 함수 인수를 포함시킴으로써 혼동(conflated)됩니다. 따라서, 다음과 같은 표현

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}$

은 함수에 대해 사용되지만, 다음은

${\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}$

점 $(x,y,z)=(u,v,w)$에서 함수의 값에 대해 사용될 수 있습니다. 어쨌든, 이 관례는 우리가 $(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})$처럼 한 점에서 부분 도함수를 평가하기를 원할 때 세분화됩니다. 그러한 경우에서, 기능 평가는 라이프니츠 표기법을 사용하기 위해 다음으로 다루기 어려운 방법에서 표현되어야 합니다:

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})$

또는

$\left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$.

따라서, 이들 경우에서, i번째 변수에 관한 부분 미분 기호로 $D_{i}$와 함께 오일러 미분 연산자 표기법을 사용하는 것이 선호될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 위에서 설명한 예제에 대해 $D_{1}f(17,u+v,v^{2})$를 쓸 수 있지만, 표현 $D_{1}f$는 첫 번째 변수에 관한 부분 도함수 함수를 나타냅니다.

고차 부분 도함수에 대해, j번째 변수에 관한 $D_{i}f$의 부분 도함수 (함수)는 $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$로 표시됩니다. 즉, 그 변수가 도함수가 취해지는 순서이고, 따라서, 연산자의 합성이 보통 쓰이는 방법의 반대 순서에서 목록화되도록 $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$입니다. 물론, 클레로의 정리(Clairaut's theorem)는 f에 대한 비교적 온화한 규칙성 조건이 만족되는 한 $D_{i,j}=D_{j,i}$가 만족시킴을 의미합니다.

Antiderivative analogue

정규 도함수에 대해 역도함수(antiderivative)와 유사한 부분 도함수에 대해 개념이 있습니다. 부분 도함수가 주어지면, 원래 함수의 부분 복구를 허용합니다.

다음의 예제를 생각해 보십시오:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.$

"부분" 적분은 x에 관해 취할 수 있습니다 (부분 미분화에 대한 비슷한 방법에서, y를 상수로 취급합니다):

$z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)$

여기서 적분화의 "상수"("constant" of integration)는 더 이상 상수가 아니지만, 대신에 x를 제외한 원래 함수의 모든 변수의 함수입니다. 이것에 대해 이유는 모든 다른 변수는 부분 도함수를 취할 때 상수로 취급되므로, x를 포함하지 않는 임의의 함수는 부분 미분을 취할 때 사라질 것이고, 우리는 우리가 역도함수를 취할 때 이것을 고려해야 하는 것입니다. 이것을 나타내기 위한 가장 일반적인 방법은 모든 다른 변수의 미지수 함수를 나타내는 "상수"를 가지는 것입니다.

따라서, 함수 $x^{2}+xy+g(y)$의 집합은, 여기서 g가 임의의 일-인수 함수이며, x-부분 도함수 $2x+y$를 생성할 수 있는 변수 x,y에서 함수의 완전한 집합을 나타냅니다.

만약 함수의 모든 부분 도함수가 알려져 있으면 (예를 들어, 그래디언트(gradient)를 가짐), 역도함수는 상수까지 원래 함수를 재구성하기 위해 위의 과정을 통해 일치시킬 수 있습니다. 단일-변수 경우에서와 달리, 어쨌든, 함수의 모든 각 집합은 단일 함수의 모든 (일차) 부분 도함수의 집합이 될 수 있는 것은 아닙니다. 다시 말해, 모든 각 벡터 필드가 보존적(conservative)인 것은 아닙니다.

Higher order partial derivatives

이차 및 고차 부분 도함수는 일변수 함수의 고차 도함수와 유사하게 정의됩니다. 함수 $f(x,y,...)$의 대해, x에 관한 "자신"의 이차 부분 도함수는 단순히 (둘 다 x에 관한) 부분 도함수의 부분 도함수입니다:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.$

x와 y에 관한 교차 부분 도함수는, 다음을 얻기 위해, x에 관한 f의 부분 도함수를 취하고, 그런-다음 y에 관한 결과의 부분 도함수를 취함으로써 구해집니다:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.$

슈바르츠의 정리(Schwarz's theorem)는 만약 이차 도함수가 연속이면, 교차 부분 도함수에 대해 표현은 부분 도함수가 첫 번째 변수에 관해 취해지고 두 번째 변수에 관해 취해지므로 영향을 받지 않습니다. 즉,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$

또는 동등하게 $f_{xy}=f_{yx}$입니다.

자신 및 교차 부분 도함수는 최적화(optimization) 문제에서 이-차 조건(second order condition)에서 사용되는 헤세 행렬(Hessian matrix)에서 나타납니다.

See also

• d'Alembertian operator
• Chain rule
• Curl (mathematics)
• Directional derivative
• Divergence
• Exterior derivative
• Iterated integral
• Jacobian matrix and determinant
• Laplacian
• Multivariable calculus
• Symmetry of second derivatives
• Triple product rule, also known as the cyclic chain rule.

External links

• "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Partial Derivatives at MathWorld