Similarity (geometry)

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 두 대상이 만약 그것들이 같은 모양(shape)을 가지거나, 하나가 다른 것의 거울 이미지와 같은 모양을 가지면 닮은(similar) 것입니다. 보다 정확하게, 우리는 하나는 아마도 추가적인 평행이동(translation), 회전(rotation)과 반사(reflection)를 갖는, 균등한 스케일링(scaling) (확대 또는 축소)에 의해 다른 것에서 얻어질 수 있습니다. 이것은 다른 대상과 정확하게 일치하도록, 두 대상 중 하나가 스케일되고, 위치-조정되고, 반사될 수 있음을 의미합니다. 만약 두 대상이 닮았으면, 각각은 다른 대상의 특정 균등 스케일링의 결과와 합동(congruent)입니다.

File:TranslationL.svg

Translation

File:RotationL.svg

Rotation

File:SymétrieL.svg

Reflection

File:SimilitudeHomothétieL.svg

Scaling

예를 들어, 모든 원(circle)은 서로 닮았고, 모든 정사각형(square)은 서로 닮았고, 모든 등변 삼각형(equilateral triangle)은 서로 닮았습니다. 다른 한편으로, 타원(ellipse)은 모두가 서로 닮은 것은 아니고, 직사각형(rectangle)은 모두가 서로 닮은 것이 아니고, 이등변 삼각형(isosceles triangle)은 모두가 서로 닮은 것은 아닙니다.

File:Similar-geometric-shapes.svg

Figures shown in the same color are similar

만약 삼각형의 두 각도가 또 다른 삼각형의 두 각도의 측정과 같으면, 삼각형은 닮았습니다. 닮은 다각형의 대응하는 변은 비례하고, 닮은 다각형의 대응하는 각도는 같은 측정을 가집니다.

두 합동(congruent) 모양은 1의 스케일 인수를 갖는 닮은 것입니다. 어쨌든, 일부 학교 교과서는 만약 삼각형이 닮은 것으로 인정되려면 크기가 반드시 달라야 한다고 주장함으로써 닮은 삼각형의 정의로부터 합동 삼각형을 구체적으로 제외합니다.

Similar triangles

두 삼각형, $△ ABC$ 와 $△ A'B'C'$ 가 닮은 것과 대응하는 각도가 같은 측정을 가지는 것은 필요충분 조건입니다: 이것은 그것들이 닮은 것과 대응하는 변(corresponding sides)의 길이가 비례(proportional)하는 것은 필요충분 조건임을 의미합니다.^[1] 그것은 합동 각도를 가지는 두 삼각형 (등각 삼각형(equiangular triangles))은 닮은 것, 즉, 대응하는 변이 비례적인 것으로 증명될 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 이것은 AAA 닮음 정리로 알려져 있습니다.^[2] "AAA"는 니모닉임을 주목하십시오: 세 개의 A의 각각은 "각도(angle)"를 참조합니다. 이 정리로 인해, 여러 저자는 대응하는 세 각도가 합동임을 오직 요구하도록 닮은 삼각형의 정의를 단순화합니다.^[3]

두 삼각형에 대해 닮은 것이 되도록 하는 필요와 충분 조건인 여러 명제가 있습니다:

삼각형이 둘의 합동 각도를 가집니다.^[4] 이것은 유클리드 기하학에서 모든 그것들의 각도가 합동임을 의미합니다.^[5] 즉:

만약

∠ BAC

가 측정에서

∠ B'A'C'

와 같고,

∠ ABC

가 측정에서

∠ A'B'C'

와 같으면, 이것은

∠ ACB

가 측정에서

∠ A'C'B'

와 같고 그 삼각형이 닮은 것임을 의미합니다.

모든 대응하는 변이 같은 비율에서 길이를 가지면:^[6]

AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C'

. 이것은 하나의 삼각형 (또는 그것의 거울 이미지)이 다른 것의 확대(enlargement)라고 말하는 것과 동등합니다.

두 변이 같은 비율에서 길이를 가지고, 이들 변 사이에 포함된 각도가 같은 측정을 가집니다.^[7] 예를 들어:

AB / A'B' = BC / B'C'

이고

∠ ABC

는 측정에서

∠ A'B'C'

와 같습니다.

이것은 SAS 닮음 기준으로 알려져 있습니다.^[8] "SAS"는 니모닉입니다: 두 S의 각각은 "변(side)"을 참조합니다; A는 두 변 사이의 "각도(angle)"를 참조합니다.

두 삼각형 $△ ABC$ 와 $△ A'B'C'$ 가 닮았을 때, 다음을 씁니다:^[9]^{: p. 22}

△ ABC \sim △ A'B'C'

.

유클리드 기하학에서 닮은 삼각형에 관한 몇 가지 기본 결과가 있습니다:^[10]

임의의 두 등변 삼각형(equilateral triangle)은 닮았습니다.
두 삼각형이, 둘 다가 세 변째 삼각형과 닮았으면, 서로 닮았습니다 (삼각형의 닮음의 전이성(transitivity))
닮은 삼각형의 대응하는 고도(altitudes)는 대응하는 변과 같은 비율을 가집니다.
두 직각 삼각형(right triangle)은 만약 빗변(hypotenuse)과 하나의 다른 변이 같은 비율에서 길이를 가지면 닮았습니다.^[11] 직각 삼각형이 같은 측정의 예각을 가지거나, 직각 삼각형이 같은 비례에 있는 다리 (변)의 길이를 가지는 것과 같은 이 경우에서 여러 동등한 조건이 있습니다.

삼각형 $△ ABC$ 와 선분 $DE$ 가 주어지면, 우리는, 직선자와 컴퍼스(ruler and compass)와 함께, $△ ABC \sim △ DEF$ 를 만족하는 점 $F$ 를 찾을 수 있습니다. 이 조건을 만족시키는 점 $F$ 가 존재한다는 명제는 윌러스의 공준(Wallis's postulate)이고^[12] 논리적으로 유클리드의 평행 공준(Euclid's parallel postulate)과 동등합니다.^[13] 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에서 (여기서 윌러스의 공준이 거짓입니다), 닮은 삼각형은 합동입니다.

조지 데이비드 버코프(G.D. Birkhoff)에 의해 제공된 유클리드 기하학의 공리적 처리에서 (버코프의 공리(Birkhoff's axioms)를 참조), 위에 제공된 SAS 닮음 기준은 힐베르트의 공리(Hilbert's axioms)의 극적인 단축을 가능하게 한 유클리드의 평행 공준과 SAS 공리 둘 다를 대체하기 위해 사용되었습니다.^[8]

닮은 삼각형은 유클리드 기하학에서 (좌표의 사용없이) 많은 합성(synthetic) 증명에 대해 기초를 제공합니다. 이 방법으로 입증될 수 있는 기본 결과 중에는: 각도 이등분선 정리(angle bisector theorem), 기하 평균 정리(geometric mean theorem), 체바의 정리(Ceva's theorem), 메넬라우스의 정리(Menelaus's theorem), 및 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 있습니다. 닮은 삼각형은 역시 직각 삼각형 삼각법(right triangle trigonometry)에 대해 토대를 제공합니다.^[14]

Other similar polygons

File:SimilarRectangles.png

Similar rectangles

닮음의 개념은 셋보다 많은 변을 갖는 다각형(polygon)으로 확장됩니다. 임의의 두 닮은 다각형이 주어지면, 같은 순서에서 취해진 대응하는 변 (심지어 한 다각형은 시계방향, 다른 다각형은 반시계방향일지라도)은 비례적(proportional)이고 같은 순서에서 취해진 대응하는 각도는 측정에서 같습니다. 어쨌든, 대응하는 변의 비례성은 삼각형을 너머 다각형에 대해 닮음을 입증하기에 그 자체로 충분하지 않습니다 (그렇지 않으면, 예를 들어, 모든 마름모(rhombi)는 닮게 됩니다). 마찬가지로, 순서에서 모든 각도의 상등은 닮음을 보장하기에 충분하지 않습니다 (그렇지 않으면 모든 직사각형(rectangle)이 닮게 됩니다). 다각형의 닮음에 대해 충분 조건은 대응하는 변과 대각선이 비례적이라는 것입니다.

주어진 n에 대해, 모든 정규 n-각형(regular n-gons)은 닮았습니다.

Similar curves

여러 유형의 곡선은 해당 유형의 모든 예제가 서로 닮았다는 속성을 가집니다. 이것들은 다음을 포함합니다:

직선(Lines) (임의의 두 직선은 심지어 합동(congruent)입니다))
선분(Line segment)
원(Circle)
포물선(Parabola) ^[15]
특정 이심률(eccentricity)의 쌍곡선(Hyperbola)^[16]
특정 이심률의 타원(Ellipse)^[16]
캐트너리(Catenaries)
다른 밑수에 대해 로그(logarithm) 함수의 그래프
다른 밑수에 대해 지수 함수(exponential function)의 그래프
로그 나선(Logarithmic spiral)은 자기-닮은 것입니다.

In Euclidean space

유클리드 공간(Euclidean space)의 닮음(similarity, 역시 닮음 변환(similarity transformation) 또는 유사(similitude)라고 불림)은 임의의 두 점 $x$ 와 $y$ 에 대해 우리가 다음을 가지도록 모든 거리에 같은 양의 실수(real number) $r$ 을 곱하는 그 공간에서 자체 위로의 전단사(bijection) $f$ 입니다:

d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),\,

여기서 " $d (x, y)$ "는 $x$ 에서 $y$ 로의 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다.^[17] 스칼라(scalar) $r$ 은 닮음의 비율(ratio of similarity), 스트레칭 인수(stretching factor), 및 닮음 계수(similarity coefficient)를 포함하는 문헌에서 많은 이름을 가집니다. $r$ = 1일 때, 닮음은 등거리변환(isometry) (강성 변환(rigid transformation))이라고 불립니다. 두 집합은 만약 하나가 닮음 아래에서 다른 것의 이미지이면 닮은 것이라고 불립니다.

매핑 $f : ℝ n \to ℝ n$ 으로, 비율 $r$ 의 닮음은 다음 형식을 취합니다:

f(x)=rAx+t,

여기서 $A \in O n (ℝ)$ 는 $n \times n$ 직교 행렬(orthogonal matrix)이고 $t \in ℝ n$ 는 평행이동 벡터입니다.

닮음은 평면, 직선, 수직성, 평행성, 중간점, 거리와 선분 사이의 부등식을 보존합니다.^[18] 닮음은 각도를 보존하지만 반드시 방향을 보존하는 것은 아니며, 직접 닮음은 방향을 보존하고 반대 닮음은 방향을 변경합니다.^[19]

유클리드 공간의 닮음은 닮음 그룹 $S$ 라고 불리는 합성의 연산 아래에서 그룹(group)을 형성합니다.^[20] 직접 닮음은 $S$ 의 정규 부분그룹(normal subgroup)을 형성하고 등거리변환의 유클리드 그룹(Euclidean group) $E (n)$ 은 역시 정규 부분그룹을 형성합니다.^[21] 닮음 그룹 $S$ 는 그 자체로 아핀 그룹(affine group)의 부분그룹이므로, 모든 각 닮음은 아핀 변환(affine transformation)입니다.

우리는 유클리드 평면을 복소 평면(complex plane),^[22] 즉 실수(reals)에 걸쳐 2-차원 공간으로 볼 수 있습니다. 2D 닮음 변환은 그런-다음 복소수 산술의 관점에서 표현될 수 있고 $f (z) = az + b$ (직접 닮음)과 $f (z) = a z + b$ (반대 닮음)에 의해 제공되며, 여기서 $a$ 와 $b$ 는 복소수이고, $a \neq 0$ 입니다. $| a | = 1$ 일 때, 이들 닮음은 등거리변환입니다.

Area ratio and volume ratio

File:A proportion to conceive square root of 5.svg

Examples.
A similarity of ratio 2 multiplies areas
by

2^{\,2}\,=\,4.\;

Another multiplies areas by 5,

{\text{its ratio is }}\;^{5}/_{h}\,=\,^{h}/_{1}\,={\sqrt {5}}.\;

An infinite tiling can be contructed
from this triangular tessellation.

닮은 도형의 넓이(area) 사이의 비율은 그것들 도형의 대응하는 길이의 비율의 제곱과 같습니다 (예를 들어, 정사각형의 변 또는 원의 반지름이 3에 의해 곱해지면, 그것의 넓이는 9에 의해 – 즉 3의 제곱에 의해 곱해집니다). 닮은 삼각형의 고도는 대응하는 변과 같은 비율에 있습니다. 만약 삼각형이 길이 $b$ 의 한 변을 가지고 해당 변에서 그려진 길이 $h$ 의 고도를 가지면 대응하는 변의 길이 $kb$ 를 갖는 닮은 삼각형은 해당 변에서 그려진 길이 $kh$ 의 고도를 가질 것입니다. 첫 번째 삼각형의 넓이는 $A = 1 / 2 bh$ 이고, 반면에 닮은 삼각형의 넓이는 $A' = 1 / 2 (kb)(kh) = k 2 A$ 일 것입니다. 닮은 삼각형으로 분해될 수 있는 닮은 도형은 같은 방식에서 관련된 넓이를 가질 것입니다. 그 관계는 수정할 수 없는 도형에도 유지됩니다.

닮은 도형의 부피(volume) 사이의 비율은 그것들 도형의 대응하는 길이의 비율의 세제곱과 같습니다 (예를 들어, 정육면체의 가장자리 또는 구의 반지름이 3에 의해 곱해지면, 그것의 부피는 27 – 즉, 3의 세제곱에 의해 곱해집니다).

갈릴레오의 제곱–세제곱 법칙은 닮은 고체에 관한 것입니다. 만약 고체 사이의 닮음 (대응하는 변의 비율)의 비율이 $k$ 이면, 고체의 표면 넓이의 비율은 $k 2$ 일 것이고, 반면에 부피의 비율은 $k 3$ 일 것입니다.

Similarity with a center

File:3 iterations of similarities applied to 3 regular polygons.svg

Example where each similarity
composed with itself several times successively
has a center at the center of a regular polygon that it shrinks.

Example of direct similarity of center S
decomposed into a rotation of 135° angle
and a homothety that halves areas.

Examples of direct similarities that have each a center.

만약 닮음이 정확하게 하나의 불변 점(invariant point): 닮음이 변경되지 않은 채 유지하는 점을 가지면, 이 점만 닮음의 "중심"이라고 불립니다.

제목 아래의, 왼쪽에 있는 첫 번째 이미지에서, 하나 또는 또 다른 닮음은 정규 다각형(regular polygon)을 동심적 다각형으로 축소하고, 그것의 꼭짓점은 각각 이전 다각형의 변 위에 있습니다. 이 회전적 축소는 반복되므로, 초기 다각형은 일반 다각형의 심연(abyss)으로 확장됩니다. 닮음의 중심은 연속 다각형의 공통 중심입니다. 빨간색 선분(segment)은 초기 다각형의 꼭짓점을 닮음 아래에서 이미지(image)에 연결하고, 빨간색 선분은 다음 꼭짓점 이미지로 이동하는 식으로, 나선형을 형성합니다. 실제로 우리는 이 첫 번째 이미지에서 세 가지 이상의 직접 닮음을 볼 수 있는데, 왜냐하면 모든 각 정규 다각형은 특정 직접 닮음 아래에서 불변이기 때문이며, 보다 정확하게 특정 회전의 중심이 다각형의 중심이고, 직접 닮음의 합성도 직접적인 닮음입니다. 예를 들어, 음의 비율 $-k$ 의 중심-닮음(homothety)에서 초기 정규 오각형(pentagon)의 이미지를 보며, 이는 ±180° 각도의 닮음과 $k$ 와 같은 양의 비율입니다.

제목 아래 오른쪽에 있는, 두 번째 이미지는 닮음을 회전과 중심-닮음으로 분해한 것을 보여줍니다. 닮음과 회전은 +135도 모듈로 360 도의 같은 각도를 가집니다. 닮음과 중심-닮음은 역(inverse) 닮음의 비율 ${\sqrt {2}}$ : 2의 제곱근의 곱셈 역, ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 의 같은 비율을 가집니다: 제곱근은 2입니다. 점 S는 세 가지 변환: 회전, 중심닮음, 및 닮음의 공통 중심입니다. 예를 들어 점 W는 회전 아래에서 F의 이미지이고, 점 T는 중심닮음 아래에서 W의 이미지이며, 보다 간단히, "D"를 "Direct"와 같이, $R$ , $H$ , 및 $D$ 에 이전 회전, 중심닮음, 및 닮음으로 이름-지음으로써 T = $H$ (W ) = $H ( R$ ( F )) = $(H \circ R)$ ( F ) = $D$ ( F )입니다.

삼각형 EFA를 삼각형 ATB로 변환하는 이 직접적인 닮음은 여러 방식으로 같은 중심 S의 회전과 중심닮음으로 분해될 수 있습니다. 예를 들어, $D\,=\,R\,\circ \,H\,=\,H\,\circ \,R,$ , 마지막 분해는 이미지에만 표시됩니다. $D$ 를 얻기 위해, 우리는 역시 $-45^{\circ }$ 각도의 회전과 비율 ${\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}$ 의 중심닮음을 어떤 순서로든 합성할 수 있습니다.

"M"을 "Mirror"와 같이, "I"를 "Indirect"와 같이 하여, 만약 $M$ 이 직선 (CW)에 관한 반사(reflection)이면, $M\circ D=I$ 는 $D$ 같은 선분 [BF]를 선분 [CT]로 변환하지만, 점 E를 B로 변환하고 A를 A 자신으로 변환하는 간접 닮음입니다. 정사각형 ACBT는 비율 $1/{\sqrt {2}}$ 의 닮음 $I$ 아래에서 ABEF의 이미지입니다. 점 A는 이 닮음의 중심인데, 왜냐하면 임의의 점 K가 그것 아래에서 불변이기 때문에 $AK=AK/{\sqrt {2}}$ 를 충족하고, $AK=0$ 인 경우에만 가능하고, 그렇지 않으면 $A=K$ 로 표기됩니다.

정사각형 ABEF에서 직접 닮음 $D$ 의 중심 S를 구성하는 방법, 반직선 [SE)를 반직선 [SA)로 변환하는 +135° 도의 회전의 중점 점 S를 찾는 방법은 무엇입니까? 이것은 내접 각도(inscribed angle) 문제 더하기 방향(orientation)의 질문입니다. $\angle {{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}}=+135^{\circ }$ 를 만족하는 점 $P$ 의 집합은 E와 A를 연결하는 원의 호 ${\overset {\frown }{EA}}\;$ 이며, 이것의 E와 A로 이어지는 두 반지름은 $2(180^{\circ }-135^{\circ })=2\times 45^{\circ }=90^{\circ }$ 의 중심 각도(central angle)를 형성합니다. 이 점의 집합은 정사각형 ABEF 내부의 중심 F 원의 파란색 사분의 일입니다. 같은 방식으로, 점 S는 정사각형 BCAT 내부의 중심 T의 원의 파란색 사분의 일의 구성원입니다. 따라서 점 S는 이들 원의 두 개의 사분의 일의 교차점(intersection)입니다.

In general metric spaces

File:Sierpinski deep.svg

Sierpiński triangle. A space having self-similarity dimension

log 3 / log 2 = log 23

, which is approximately 1.58. (From Hausdorff dimension.)

일반적인 메트릭 공간 $(X, d)$ 에서, 정확한 유사도(similitude)는 임의의 두점 $x$ 와 $y$ 에 대해 다음을 가지도록 모든 거리에 $f$ 의 수축 인수라고 불리는 같은 양의 스칼라(scalar) $r$ 을 곱하는 메트릭 공간 함수 $X$ 에서 자체로의 함수 $f$ 입니다:

d(f(x),f(y))=rd(x,y).\,\,

더 약한 버전의 닮음은 예를 들어 $f$ 가 쌍-라이프니츠 함수이고 스칼라 $r$ 이 극한을 가질 것입니다:

\lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.

이 약한 버전은 메트릭이 토폴로지적으로 자기-닮은 집합 위에 효과적인 저항일 때 적용됩니다.

메트릭 공간 $(X, d)$ 의 자기-닮은 부분집합은 $K$ 가 다음에 대한 $X$ 의 고유한 컴팩트 부분집합임을 만족하는 수축 인수 $0 \leq r s < 1$ 를 갖는 유사도의 유한 집합 ${f s} s \in S$ 가 존재하는 집합 $K$ 입니다:

File:Epi17.png

A self-similar set constructed with two similitudes z'=0.1[(4+i)z+4] and z'=0.1[(4+7i)z*+5-2i]

\bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.\,

이들 자기-닮은 집합은 다음 공식에 의해 주어진 차원 $D$ 를 갖는 자기-닮은 측정(measure) $μ D$ 를 가집니다:

\sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1\,

이는 종종 (항상 그런 것은 아님) 집합의 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)과 채우는 차원(packing dimension)과 같습니다. 만약 $f s (K)$ 사이의 겹침이 "작으면", 우리는 측정에 대해 다음과 같은 간단한 공식을 가집니다:

\mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,

Topology

토폴로지(topology)에서, 메트릭 공간은 거리(distance) 대신 닮음(similarity)을 정의함으로써 구성될 수 있습니다. 닮음은 그것의 값이 두 점이 가까울수록 커짐을 만족하는 함수입니다 (반-닮음(dissimilarity)의 측정인 거리와 반대로: 점이 가까울수록 거리가 작습니다).

닮음의 정의는 원하는 속성에 따라 저자마다 다를 수 있습니다. 기본 공통 속성은 다음과 같습니다:

Positive defined:
$\forall (a,b),S(a,b)\geq 0$
Majored by the similarity of one element on itself (auto-similarity):
$S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b$

반사성 ( $\forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a)$ ) 또는 유한성 ( $\forall (a,b)\ S(a,b)<\infty$ )과 같은 더 많은 속성을 호출할 수 있습니다. 위쪽 값은 종종 1로 설정됩니다 (닮음의 대한 확률론적 해석에 대한 가능성을 생성합니다).

여기에서 사용된 토폴로지적 의미에서, 닮음은 일종의 측정(measure)임에 주목하십시오. 이 사용법은 이 기사의 § In Euclidean space 및 § In general metric spaces 섹션의 닮음 변환(similarity transformation)과 같지 않습니다.

Self-similarity

자기-닮음(Self-similarity)은 패턴이, 예를 들어, ${2 i, 3\cdot2 i}$ 형식의 숫자 집합 ${\dots, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, \dots}$ 에서 처럼 자신과 비-자명하게 닮은 것을 의미하며, 여기서 $i$ 는 모든 정수에 걸쳐 있습니다. 이 집합은 로그 스케일로 표시하면, 일-차원 평행이동적 대칭(translational symmetry)을 가집니다: 이들 숫자 중 하나의 로그에 2의 로그를 더하거나 빼면 이들 숫자 중 또 다른 숫자의 로그가 생성됩니다. 주어진 숫자의 집합 자체에서, 이것은 숫자를 2로 곱하거나 나누는 닮음 변환에 해당합니다.

Psychology

기하학적 닮음의 개념에 대한 직관은 그들의 그림에서 볼 수 있듯이 이미 인간 어린이에게서 나타납니다.^[23]

Notes

^ Sibley 1998, p. 35
^ Stahl 2003, p. 127. This is also proved in Euclid's Elements, Book VI, Proposition 4.
^ For instance, Venema 2006, p. 122 and Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123
^ Euclid's elements Book VI Proposition 4.
^ This statement is not true in Non-euclidean geometry where the triangle angle sum is not 180 degrees.
^ Euclid's elements Book VI Proposition 5
^ Euclid's elements Book VI Proposition 6
^ ^a ^b Venema 2006, p. 143
^ Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
^ Jacobs 1974, pp. 384 - 393
^ Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry, Vol. I: Plane Geometry, American Mathematical Society, Theorem 120, p. 125, ISBN 9780821843673.
^ Named for John Wallis (1616–1703)
^ Venema 2006, p. 122
^ Venema 2006, p. 145
^ a proof from academia.edu
^ ^a ^b The shape of an ellipse or hyperbola depends only on the ratio b/a
^ Smart 1998, p. 92
^ Yale 1968, p. 47 Theorem 2.1
^ Pedoe 1988, pp. 179-181
^ Yale 1968, p. 46
^ Pedoe 1988, p. 182
^ This traditional term, as explained in its article, is a misnomer. This is actually the 1-dimensional complex line.
^ Cox, Dana Christine (2008). Understanding Similarity: Bridging Geometric and Numeric Contexts for Proportional Reasoning (Ph.D.). ISBN 9780549756576. Archived from the original on 2016-06-01.

References

Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry/A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Stahl, Saul (2003), Geometry/From Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day

External links

Animated demonstration of similar triangles

[1] Sibley 1998, p. 35

[2] Stahl 2003, p. 127. This is also proved in Euclid's Elements, Book VI, Proposition 4.

[3] For instance, Venema 2006, p. 122 and Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123

[4] Euclid's elements Book VI Proposition 4.

[5] This statement is not true in Non-euclidean geometry where the triangle angle sum is not 180 degrees.

[6] Euclid's elements Book VI Proposition 5

[7] Euclid's elements Book VI Proposition 6

[Venema_2006_loc=p._143-8] Venema 2006, p. 143

[PL-9] Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.

[10] Jacobs 1974, pp. 384 - 393

[11] Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry, Vol. I: Plane Geometry, American Mathematical Society, Theorem 120, p. 125, ISBN 9780821843673.

[12] Named for John Wallis (1616–1703)

[13] Venema 2006, p. 122

[14] Venema 2006, p. 145

[15] roof from academia.edu

[uluc-16] The shape of an ellipse or hyperbola depends only on the ratio b/a

[17] Smart 1998, p. 92

[18] Yale 1968, p. 47 Theorem 2.1

[19] Pedoe 1988, pp. 179-181

[20] Yale 1968, p. 46

[21] Pedoe 1988, p. 182

[22] This traditional term, as explained in its article, is a misnomer. This is actually the 1-dimensional complex line.

[23] Cox, Dana Christine (2008). Understanding Similarity: Bridging Geometric and Numeric Contexts for Proportional Reasoning (Ph.D.). ISBN 9780549756576. Archived from the original on 2016-06-01.

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[10]

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[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

Similarity (geometry)

Similar triangles

Other similar polygons

Similar curves

In Euclidean space

Area ratio and volume ratio

Similarity with a center

In general metric spaces

Topology

Self-similarity

Psychology

See also

Notes

References

Further reading

External links