삼각함수의 미분

도함수의 정의에 따라, 기본 삼각함수의 도함수를 구해 보겠습니다.

함수 $y=f(x)$ 에 대하여 도함수 $f'(x)$ 는

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

사인 함수 $y=\sin x$ 에 대한 도함수는 다음과 같이 구해집니다. 여기서 삼각함수의 덧셈정리를 이용합니다.

{\begin{aligned}(\sin x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos x\sin h}{h}}\\&=\cos x\\\end{aligned}}

코사인 함수 $y=\cos x$ 에 대해 도함수는 다음과 같이 구해집니다.

{\begin{aligned}(\cos x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {-\sin x\sin h}{h}}\\&=-\sin x\\\end{aligned}}

다른 방법

\sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}

\cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}

사인 함수의 도함수는

{\begin{aligned}(\sin x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\sin {\frac {h}{2}}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\\&=\cos x\\\end{aligned}}

코사인 함수의 도함수는

{\begin{aligned}(\cos x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {-2\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\sin {\frac {h}{2}}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\\&=-\sin x\\\end{aligned}}

탄젠트 함수 등은 도함수는 몫의 미분법, 합성함수의 미분법을 배운 후에 구할 수 있습니다.