몫의 미분법

Main article: Quotient rule

다항함수의 미분법, 지수함수와 로그함수의 미분, 삼각함수의 미분에서, 도함수의 정의와 각 함수의 기본 함수에 대한 도함수를 도함수의 정의를 통해 구했습니다.

하지만, 탄젠트 함수 $y={\frac {\sin x}{\cos x}}$는 분수함수이므로, 비록 그의 분모, 분자의 함수의 도함수를 알고 있다고 하더라도, 도함수는 알 수 없습니다.

이와 같이, 두 개의 미분 가능한 함수의 비율인 함수(function)의 도함수를 찾는 방법을 몫 규칙(Quotient rule) 또는 몫의 미분법이라고 합니다.

몫 규칙

몫의 규칙을 증명하는 방법은 몇 가지가 있습니다.

도함수의 정의에 따른 증명

어쨌든, 첫 번째로 생각해 볼 수 있는 것은, 함수 $f(x)=g(x)/h(x)$에 대해, 도함수의 정의에 따라, 직접 도함수를 구하는 것입니다.

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {g(x+k)}{h(x+k)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{h(x)h(x+k)}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(h(x)\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}-g(x)\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}$

곱 규칙에 의한 증명

위의 식에서 $g(x)=1$이면, $f(x)=1/h(x)$이고,

$f'(x)=-{\frac {h'(x)}{h(x)^{2}}}$

원래 함수 $f(x)=g(x)/h(x)=g(x)\cdot {\frac {1}{h(x)}}$에 대해, 곱 규칙(곱의 미분법)에 따라,

${\begin{aligned}f'(x)&=g'(x)\cdot {\frac {1}{h(x)}}+g(x)\cdot \left(-{\frac {h'(x)}{h(x)^{2}}}\right)\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\\end{aligned}}$

암시적 함수 미분을 사용한 증명

주어진 식 $f(x)=g(x)/h(x)$를 $f(x)\cdot h(x)=g(x)$로 두고, 양쪽 변을 미분하면,

$f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)=g'(x)$

따라서,

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\\end{aligned}}$

탄젠트의 도함수

함수 $y=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$의 도함수는 몫의 규칙에 따라,

${\begin{aligned}y'&={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\\&=\sec ^{2}x\\\end{aligned}}$

그 외에 남아있는 삼각함수와 함께 6개의 삼각함수의 도함수는

• $y=\sin x$의 도함수는 $y'=\cos x$
• $y=\cos x$의 도함수는 $y'=-\sin x$
• $y=\tan x$의 도함수는 $y'=\sec ^{2}x$
• $y=\cot x$의 도함수는 $y'=-\csc ^{2}x$
• $y=\sec x$의 도함수는 $y'=\sec x\tan x$
• $y=\csc x$의 도함수는 $y'=-\csc x\cot x$

음의 정수에 따른 $y=x^{n}$의 도함수

다항함수의 기본이 되는 $y=x^{n}$ ($n$은 자연수)에 대한 도함수는

$y'=nx^{n-1}$

만약 $n$이 음의 정수이면, $n=-m$으로 놓으면,

${\begin{aligned}y'&=\left(x^{n}\right)'=\left(x^{-m}\right)'\\&=\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)'=-{\frac {\left(x^{m}\right)'}{x^{2m}}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}\\&=nx^{n-1}\\\end{aligned}}$

따라서, 양의 정수와 마찬가지로 음의 정수도 같은 결과를 낳습니다.