정적분의 치환적분법과 부분적분법

미적분1의 정적분, 미적분의 기본 정리, 정적분의 성질, 여러 가지 함수의 정적분에서, 정적분의 계산에 필요한 모든 것이 설명되었습니다.

미적분1에서, 정적분의 계산이 다항함수에 국한되었다면, 여기서는 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 정적분, 그리고 치환적분, 부분적분을 적용할 수 있는 함수들의 정적분의 계산을 다룹니다.

치환적분법을 이용한 정적분

부정적분에서 치환적분법과 정적분에서 치환적분법의 차이는 구간이 있다는 것으로써, 치환적분법에서 변수가 바뀐다는 의미는 주어진 구간이 새로운 변수에서 새로운 구간으로 바뀜을 의미합니다.

구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x=g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 구간 $[\alpha ,\beta ]$이면,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(t))g'(t)dt$

예를 들어, $\int _{0}^{\pi }2\sin(2x-\pi )dx$에 대해, $2x-\pi =t$로 놓으면,

아래끝 $x=0\rightarrow t=-\pi$

위끝 $x=\pi \rightarrow t=\pi$

적분변수 $2dx=dt$ (위에 치환된 식의 양쪽 변에서 무한소 변화에 대해)

따라서,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin(2x-\pi )dx&=\int _{-\pi }^{\pi }\sin tdt=0\\\end{aligned}}$

여기서, 사인함수는 홀수함수이므로, 주어진 구간에서 정적분의 값은 0입니다.

부분적분법을 이용한 정적분

치환적분법과 다른게, 변수의 변화가 없으므로, 정적분의 구간이 바뀌지는 않습니다.

예를 들어, $\int _{0}^{1}xe^{x}dx$에 대해, 지수함수와 다항함수이므로,

$f(x)=x,\;g'(x)=e^{x}$

로 놓으면,

$f'(x)=1,\;g(x)=e^{x}$

따라서,

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}xe^{x}dx&=\left[x\cdot e^{x}\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}1\cdot e^{x}dx\\&=(e-0)-\left[e^{x}\right]_{0}^{1}\\&=e-(e-1)=1\\\end{aligned}}$

다른 예제에 대해, $\int _{1}^{e}\ln xdx$에 대해, 마치 하나의 함수라서 적분이 되지 않을 것처럼 보이지만, $\int _{1}^{e}1\cdot \ln xdx$으로보면, 다항함수와 로그함수의 곱으로 볼 수 있습니다.

$f(x)=\ln x,\;g'(x)=1$

로 놓으면,

$f'(x)={\frac {1}{x}},\;g(x)=x$

따라서,

${\begin{aligned}\int _{1}^{3}1\cdot \ln xdx&=\left[x\cdot \ln x\right]_{1}^{e}-\int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\cdot xdx\\&=(e-0)-\left[x\right]_{1}^{e}\\&=e-(e-1)=1\\\end{aligned}}$

다른 주제

미적분1의 정적분으로 정의된 함수, 정적분과 급수는 같은 내용입니다.