Function of several real variables

수학적 해석학(mathematical analysis)과 그 응용 분야에서, 여러 실수 변수의 함수(function of several real variables) 또는 실수 다변수 함수(real multivariate function)는 모든 인수(argument)가 실수 변수인 둘 이상의 인수를 갖는 함수(function)입니다. 이 개념은 실수 변수의 함수(function of a real variable) 아이디어를 여러 변수로 확장합니다. "입력" 변수는 실수 값을 취하고, 반면 "함수의 값"이라고도 하는 "출력"은 실수 또는 복소수일 수 있습니다. 어쨌든, 복소-값 함수의 연구는 복소 함수의 실수 부분과 허수(imaginary) 부분을 고려함으로써 실수-값 함수의 연구로 쉽게 축소될 수 있습니다; 그러므로, 명시적으로 지정하지 않은 한, 이 기사에서는 실수-값 함수만 고려될 것입니다.

$n$ 변수의 함수의 도메인(domain)은 함수가 정의된 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분집합(subset)입니다. 평소와 같이, 여러 실수 변수 함수의 도메인은 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 비-빈 열린(open) 부분집합을 포함한다고 가정합니다.

General definition

n = 1

n = 2

n = 3

Functions

f (x 1, x 2, \dots, x n)

of

n

variables, plotted as graphs in the space

R n + 1

. The domains are the red

n

-dimensional regions, the images are the purple

n

-dimensional curves.

$n$ 실수 변수의 실수-값 함수는 공통적으로 $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ 로 표시되는 또 다른 실수, 함수의 값을 생성하기 위해 공통적으로 변수 $x 1, x 2, \dots, x n$ 로 표시되는 $n$ 실수를 입력으로 취하는 함수입니다. 단순화를 위해, 이 기사에서 여러 실수 변수의 실수-값 함수는 간단히 함수(function)라고 불릴 것입니다. 모호성을 피하기 위해, 발생할 수 있는 다른 유형의 함수는 명시적으로 지정될 것입니다.

일부 함수는 변수의 모든 실수 값에 대해 정의되지만(그것들은 모든 곳에서 정의된다고 말함), 일부 다른 함수는 만약 변수의 값이 함수의 도메인(domain) $R n$ 의 부분집합 $X$ 에서 취해진 경우에만 정의되며, 이는 항상 $R n$ 의 열린(open) 부분집합을 포함해야 합니다. 다시 말해서, $n$ 실수 변수의 실수-값 함수는 그 도메인 $X$ 가 비-빈 열린 집합을 포함하는 $R n$ 의 부분집합임을 만족하는 다음과 같은 함수입니다:

f:X\to \mathbb {R}

$X$ 의 원소는 n-튜플 $(x 1, x 2, \dots, x n)$ 이고 (보통 괄호로 구분됨), 함수를 나타내는 일반적인 표기법은 $f ((x 1, x 2, \dots, x n))$ 입니다. 집합 사이의 함수에 대한 일반적인 정의보다 훨씬 오래된 공통적인 사용법은 이중 괄호를 사용하지 않고 단순히 $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ 라고 쓰는 것입니다.

역시 $n$ -튜플 $(x 1, x 2, \dots, x n)$ 을 굵은 글씨 $\mathbf {x}$ , 밑줄 ${\underline {x}}$ , 또는 위 화살표 ${\overrightarrow {x}}$ 와 같은 벡터(vectors)에 대한 것과 유사한 표기법을 사용함으로써 축약하는 것이 공통적입니다. 이 기사는 굵은 글꼴을 사용할 것입니다.

두 변수에서 함수의 간단한 예제는 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

이는 밑면에서 수직으로 측정된 밑면 넓이 $A$ 와 높이 $h$ 를 갖는 원뿔(cone)의 부피(volume) $V$ 입니다. 도메인은 길이(lengths)와 넓이(areas)가 양수여야 하므로 모든 변수를 양수로 제한합니다.

두 변수에서 함수의 예제에 대해:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

여기서 $a$ 와 $b$ 는 실수 비-영 상수입니다. xy-평면이 도메인 $R 2$ 이고 z-축이 코도메인 $R$ 인 삼-차원(three-dimensional) 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)을 사용하여, 양의 x 방향으로 $a$ 의 기울기(slope)와 양의 y-방향에서 $b$ 의 기울기를 갖는 2-차원 평면으로 이미지를 시각화될 수 있습니다. 함수는 $R 2$ 에서 모든 점 $(x, y)$ 에서 잘-정의됩니다. 이전 예제는 $p$ -차원 초평면(hyperplane)을 나타내는 $p$ 비-영 실수 상수 $a 1, a 2, \dots, a p$ 에 대해 더 높은 차원으로 쉽게 확장될 수 있습니다:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

다음 유클리드 노름(Euclidean norm)은:

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

역시 어디에서나 정의되는 n 변수의 함수이고, 반면에:

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

오직 $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ 에 대해 정의됩니다.

두 변수에서 비-선형 예제 함수에 대해:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

이는 평면 $R 2$ 에서 원점 $(x, y) = (0, 0)$ 에서 "구멍 뚫린" 반지름 ${\sqrt {8}}$ 의 디스크(disk), $X$ 에서 모든 점에서 취하고, $R$ 에서 한 점을 반환합니다. 그 함수는 원점 $(x, y) = (0, 0)$ 을 포함하지 않으며, 만약 그렇다면 $f$ 는 해당 지점에서 잘못-정의된 것입니다. xy-평면을 도메인 $R 2$ 이고, z-축을 코도메인 $R$ 을 갖는 3d 데카르트 좌표 시스템을 사용하여, 그 이미지는 곡선화된 표면으로 시각화될 수 있습니다.

그 함수는 $X$ 에서 점 $(x,y)=(2,{\sqrt {3}})$ 에서 평가될 수 있습니다:

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

어쨌든, 그 함수는 말하자면 다음과 같이 평가할 수 없는데,

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

왜냐하면 이들 $x$ 와 $y$ 값은 도메인의 규칙을 만족시키지 않기 때문입니다.

Image

함수 $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ 의 이미지(image)는 $n$ -튜플 $(x 1, x 2, \dots, x n)$ 이 $f$ 의 전체 도메인에서 실행될 때 $f$ 의 모든 값의 집합입니다. 연결된 도메인을 가지는 연속 (정의에 대해 아래 참조) 실수-값 함수에 대해, 그 이미지는 구간(interval) 또는 단일 값입니다. 후자의 경우에서, 함수는 상수 함수(constant function)입니다.

주어진 실수 $c$ 의 이전-이미지(preimage)는 수준 집합(level set)이라고 불립니다. 그것은 방정식(equation) $f (x 1, x 2, \dots, x n) = c$ 의 해의 집합입니다.

Domain

여러 실수 변수의 함수의 도메인(domain)은 때때로 명시적으로 정의되지만 항상 그런 것은 아닌 $R n$ 의 부분집합입니다. 사실, 만약 함수 $f$ 의 도메인 $X$ 를 부분집합 $Y \subset X$ 로 제한하면, $f|_{Y}$ 로 표시되는 $f$ 의 $Y$ 로의 제한이라는 형식적으로 다른 함수를 얻게 됩니다. 실제로, $f$ 와 $f|_{Y}$ 를 식별하고, 제한자 $| Y$ 를 생략하는 것이 종종 (항상 그런 것은 아님) 해롭지 않습니다.

반대로, 예를 들어 연속성(continuity) 또는 해석적 연속성(analytic continuation)에 의해 주어진 함수의 도메인을 자연스럽게 확대하는 것이 때때로 가능합니다.

더욱이, 많은 함수는 도메인을 명시적으로 지정하기 어려운 방법으로 정의됩니다. 예를 들어, 함수 $f$ 가 주어지면, 함수 $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}})$ 의 도메인을 지정하는 것이 어려울 수 있습니다. 만약 $f$ 가 다변수 다항식이면, (이는 $\mathbb {R} ^{n}$ 을 도메인으로 포함), $g$ 의 도메인도 $\mathbb {R} ^{n}$ 인지 여부를 테스트하기조차 어렵습니다. 이것은 다항식이 항상 양수인지 여부를 테스트하는 것과 동등하고, 활성 연구 분야의 대상입니다 (양수 다항식을 참조).

Algebraic structure

실수에 대한 보통의 산술의 연산은 다음과 같은 방법으로 여러 실수 변수의 실수-값 함수로 확장될 수 있습니다:

모든 각 실수 $r$ 에 대해, 다음 상수 함수(constant function)는 $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$ 모든 곳에서 정의됩니다.
모든 각 실수 $r$ 과 모든 각 함수 $f$ 에 대해, 다음 함수는: $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f$ 와 같은 도메인을 가집니다 (또는 $r = 0$ 이면 모든 곳에서 정의됩니다).
만약 $f$ 와 $g$ 는 $X \cap Y$ 가 $R n$ 의 비-빈 열린 부분집합을 포함하면 다음 두 함수가 $X \cap Y$ 를 포함하는 도메인을 가지는 함수임을 만족하면 각각 도메인 $X$ 와 $Y$ 의 두 함수입니다: $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 그리고 $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

따라서 모든 곳에서 정의되는 $n$ 변수의 함수와 주어진 점의 일부 이웃(neighbourhood)에서 정의되는 $n$ 변수의 함수는 둘 다 실수에 걸쳐 교환 대수 ( $R$ -대수)를 형성합니다. 이것은 함수 공간(function space)의 원형적 예제입니다.

유사하게 다음을 정의할 수 있습니다:

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

이는 $f (x 1, \dots, x n) \neq 0$ 를 만족하는 $f$ 의 도메인의 점 $(x 1, \dots, x n)$ 의 집합이 $R n$ 의 열린 부분집합을 포함하는 경우에만 함수입니다. 이 제약 조건은 위의 두 대수가 필드(fields)가 아님을 의미합니다.

Univariable functions associated with a multivariable function

변수 중 하나를 제외한 모든 변수에 상수 값을 제공함으로써 하나의 실수 변수에서 함수를 쉽게 얻을 수 있습니다. 예를 들어, $(a 1, \dots, a n)$ 이 함수 $f$ 의 도메인의 내부(interior)의 한 점이면, 다음 일변수 함수를 얻기 위해 $x 2, \dots, x n$ 의 값을 각각 $a 2, \dots, a n$ 으로 고정할 수 있습니다:

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

그 도메인은 $a 1$ 을 중심으로 하는 구간을 포함합니다. 이 함수는 $i = 2, \dots, n$ 에 대해 방정식 $x i = a i$ 에 의해 정의된 직선에 대한 함수 $f$ 의 제한으로 볼 수도 있습니다.

다른 일변수 함수는 $f$ 를 $(a 1, \dots, a n)$ 을 통과하는 임의의 직선으로 제한함으로써 정의될 수 있습니다. 이것들은 다음과 같은 함수입니다:

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

여기서 $c i$ 는 모든 영은 아닌 실수입니다.

다음 섹션에서, 다변수 함수가 연속적이면, 모든 이들 일변수 함수도 연속적이지만 그 전환은 반드시 참인 것은 아님을 보일 것입니다.

Continuity and limit

19세기 후반까지, 수학자들은 연속 함수(continuous functions)만 고려했습니다. 당시에, 토폴로지적 공간(topological space)과 토폴로지적 공간 사이의 연속 맵(continuous map)의 형식적인 정의 훨씬 이전에 하나 또는 여러 실수 변수의 함수에 대한 연속성의 개념이 정교화되었습니다. 여러 실수 변수의 연속 함수는 수학에서 어디에나 있기 때문에, 토폴로지적 공간 사이의 연속 맵의 일반적인 개념을 참조 없이 이 개념을 정의할 가치가 있습니다.

연속성을 정의하기 위해, $R n$ 의 거리 함수(distance function)를 고려하는 것이 유용하며, 이는 $2 n$ 실수 변수의 모든 곳에서 정의된 함수입니다:

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

함수 $f$ 는 모든 각 양의 실수 $ε$ 에 대해, $d (x a) < φ$ 를 만족하는 모든 양의 $x$ 에 대해 $| f (x) - f (a)| < ε$ 를 만족하는 실수 $φ$ 가 있으면, 그것의 도메인 내부에 있는 점 $a = (a 1, \dots, a n)$ 에서 연속입니다. 다시 말해, $φ$ 는 $f (a)$ 에 중심을 둔 길이 $2 ε$ 의 구간에 포함된 $a$ 에 중심을 둔 반지름 $φ$ 의 공의 $f$ 에 의한 이미지를 갖도록 충분하게 작게 선택될 수 있습니다. 함수는 그 도메인의 모든 각 점에서 연속적이면 연속적입니다.

만약 함수가 $f (a)$ 에서 연속적이면, 값 $a i$ 에서 하나를 제외하고 모든 변수 $x i$ 를 고정함으로써 얻은 모든 일변수 함수는 $f (a)$ 에서 연속적입니다. 그 전환은 거짓입니다; 이것은 모든 이들 일변수 함수가 $f (a)$ 에서 연속적이지 않은 함수에 대해 연속적일 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, $f (0, 0) = 0$ 이고 그렇지 않으면 다음에 의해 정의되는 함수 $f$ 를 생각해 보십시오:

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

함수 $x \mapsto f (x, 0)$ 와 $y \mapsto f (0, y)$ 는 둘 다 상수이고 영과 같고, 따라서 연속적입니다. 함수 $f$ 는 $(0, 0)$ 에서 연속적이지 않은데, 왜냐하면, $ε < 1/2$ 이고 $y = x 2 \neq 0$ 이면, 심지어 $y = x 2 \neq 0$ 가 매우 작은 경우에도 $f (x, y) = 1/2$ 를 가지기 때문입니다. 비록 연속적이지는 않지만, 이 함수는 $(0, 0)$ 을 통과하는 직선으로 제한함으로써 얻은 모든 일변수 함수도 연속적이라는 추가 속성을 가집니다. 사실, $λ \neq 0$ 에 대해, 다음을 가집니다:

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

여러 실수 변수의 실수-값 함수의 한 점에서 극한(limit)은 다음과 같이 정의됩니다.^[1] $a = (a 1, a 2, \dots, a n)$ 을 함수 $f$ 의 도메인 $X$ 의 토폴로지적 클로저(topological closure)에서 점이라고 놓습니다. 함수 $f$ 는 $x$ 가 $a$ 를 가는 경향일 때 극한 $L$ 을 가지며, 다음과 같이 표시됩니다:

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

이때 다음 조건이 만족되어야 합니다: 모든 각 양의 실수 $ε > 0$ 에 대해, 다음임을 만족하는

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta

도메인에서 모든

x

에 대해, 다음임을 만족하는

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

양의 실수 $δ > 0$ 가 있습니다.

만약 극한이 존재하면, 그것은 고유합니다. 만약 $a$ 가 도메인의 내부에 있으면, 극한이 존재하는 것과 함수가 $a$ 에서 연속인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 다음을 가집니다:

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

$a$ 가 $f$ 의 도메인의 경계에 있을 때, 그리고 만약 $f$ 가 $a$ 에서 극한을 가지면, 후자의 공식은 $f$ 의 도메인을 $a$ 로 "연속적으로 확장"할 수 있도록 합니다.

Symmetry

대칭 함수(symmetric function)는 두 변수 $x i$ 와 $x j$ 가 교환될 때 변경되지 않는 함수입니다:

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

여기서 $i$ 와 $j$ 는 $1, 2, \dots, n$ 중 하나입니다. 예를 들어, 다음은:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

$x, y, z$ 에서 대칭적인데 왜냐하면 $x, y, z$ 중 임의의 쌍을 교환하는 것은 $f$ 를 변경되지 않고 남기지 않기 때문이지만, $x, y, z, t$ 모두에서 대칭은 아닌데, 왜냐하면 $t$ 를 $x$ 또는 $y$ 또는 $z$ 와 교환하는 것은 다른 함수가 제공되기 때문입니다.

Function composition

다음 함수를 가정합니다:

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

또는 보다 간결하게 $ξ = ξ (x)$ 는 모두 도메인 $X$ 위에 정의된다고 가정합니다. $n$ -튜플 $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ 는 $R n$ 의 부분 집합, $X$ 에서 달라지므로, $m$ -튜플 $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ 는 $R m$ 의 부분집합, 또 다른 영역 $Ξ$ 에서 변화시킵니다. 이것을 다시 말하면:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

그런-다음, $Ξ$ 위에 정의된 함수 $ξ (x)$ 의 함수 $ζ$ 는,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

$X$ 위에 정의된 함수 합성(function composition)이며,^[2] 다음 용어로 다음 매핑입니다:

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

숫자 $m$ 과 $n$ 이 같을 필요는 없음에 주목하십시오.

예를 들어, $R 2$ 위에 모든 곳에서 정의된 다음 함수는:

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

다음을 정의함으로써 다시 쓸 수 있습니다:

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

이는 역시 다음을 얻기 위해 $R 3$ 에서 모든 곳에서 정의됩니다:

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

함수 합성은 함수를 단순화하기 위해 사용할 수 있으며, 이는 다중 적분(multiple integrals)을 수행하고 부분 미분 방정식(partial differential equations)을 푸는 데 유용합니다.

Calculus

기본 미적분학(Elementary calculus)은 하나의 실수 변수의 실수-값 함수의 미적분학이고, 그러한 함수의 미분(differentiation)과 적분(integration)의 주요 아이디어는 하나보다 많은 실수 변수의 함수로 확장될 수 있습니다. 이 확장은 다변수 미적분(multivariable calculus)입니다.

Partial derivatives

부분 도함수(Partial derivatives)는 각 변수에 관해 정의될 수 있습니다:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

부분 도함수 자체는 함수이며, 각 함수는 도메인에서 모든 점에서 $x 1, x 2, \dots, x n$ 축 중 하나에 평행한 $f$ 의 변화율을 나타냅니다 (만약 도함수가 존재하고 연속적이면—역시 아래를 참조). 일차 도함수는 만약 함수가 관련 축의 방향을 따라 증가하면 양수, 그것이 감소하면 음수, 및 증가 또는 감소가 없으면 영입니다. 도메인에서 특정 점에서 부분 도함수를 평가하는 것은 특정 축에 평행한 방향으로 해당 점에서 함수의 변화율, 실수를 제공합니다.

실수 변수의 실수 값 함수, $y = f (x)$ 에 대해, 그것의 보통의 도함수 $dy / dx$ 는 기하학적으로 도메인에서 모든 점에서 곡선 $y = f (x)$ 에 대한 접선의 그래디언트입니다. 부분 도함수는 이 아이디어를 곡선에 대한 접하는 초평면으로 확장합니다.

이차 부분 도함수는 모든 각 변수의 쌍에 대해 계산될 수 있습니다:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

기하학적으로, 그것들은 도메인에서 모든 점에서 함수의 이미지의 지역적 곡률(curvature)과 관련됩니다. 함수가 잘-정의된 임의의 점에서, 함수는 일부 축을 따라 증가할 수 있고/있거나, 다른 축을 따라 감소할 수 있고/있거나, 다른 축을 따라 전혀 증가하거나 감소하지 않을 수 있습니다.

이것은 다양한 가능한 정류 점(stationary points): 전역적 또는 지역적 최댓값, 전역적 또는 지역적 최솟값, 및 안장 점으로 이어지며, 여기서 안장 점(saddle points)은 하나의 실수 변수의 실수 함수에 대해 변곡 점(inflection points)의 다차원 아날로그입니다. 헤세 행렬(Hessian matrix)은 수학적 최적화(mathematical optimization)에 중요한 함수의 정류 점을 조사하기 위해 사용되는 모든 이차 부분 도함수의 행렬입니다.

일반적으로, 고차 $p$ 의 부분 도함수는 다음과 같은 형식을 가집니다:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

여기서 $p 1, p 2, \dots, p n$ 는 각각 $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ 임을 만족하는 0과 $p$ 사이의 정수이며, 영차 부분 도함수의 정의를 항등 연산자(identity operators)로 사용합니다:

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

가능한 부분 도함수의 숫자는 $p$ 에 따라 증가하지만, 일부 혼합된 부분 도함수 (하나보다 많은 변수에 관한 것)는 이차 부분 도함수의 대칭으로 인해 불필요합니다. 이것은 일부 $p$ 에 대해 계산하기 위한 부분 도함수의 숫자를 줄입니다.

Multivariable differentiability

함수 $f (x)$ 는 일반적으로 다음이 되도록 $a$ 에 의존하는 숫자의 $n$ -튜플, $A (a) = (A 1 (a), A 2 (a), \dots, A n (a))$ 이 있으면 점 $a$ 의 이웃에서 미분-가능(differentiable)입니다:^[3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

여기서 $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$ 일 때 $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ 입니다. 이것은 만약 $f$ 가 점 $a$ 에서 미분가능이면, $f$ 는 $x = a$ 에서 연속적이라는 것을 의미하지만, 그 전환은 참이 아닙니다 - 도메인에서 연속성은 도메인에서 미분가능성을 의미하지 않습니다. 만약 $f$ 가 $a$ 에서 미분-가능이면, 일차 부분 도함수는 $a$ 에서 존재하고 $i = 1, 2, \dots, n$ 에 대해 다음과 같습니다:

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

이는 개별 부분 도함수의 정의에서 찾을 수 있으므로, $f$ 의 부분 도함수가 존재합니다.

직사각형 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 $n$ -차원 아날로그를 가정하여, 이들 부분 도함수는 이 좌표 시스템에서 그래디언트(gradient, "nabla" 또는 "del"이라고도 알려져 있음)라고 하는 벡터 선형 미분 연산자(differential operator)를 형성하기 위해 사용될 수 있습니다:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

이는 벡터 미적분(vector calculus)에서 광범위하게 사용되는데, 왜냐하면 다른 미분 연산자를 구성하고 벡터 미적분에서 정리를 간결하게 형식화하는 데 유용하기 때문입니다.

그런-다음 그래디언트 $\nabla f$ ( $x = a)$ 에서 평가됨)를 약간의 재배열로 대체하는 것은 다음을 제공합니다:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

여기서 $\cdot$ 는 점 곱(dot product)을 나타냅니다. 이 방정식은 $a$ 의 이웃 내의 모든 점 $x$ 에서 함수 $f$ 의 최상의 선형 근사를 나타냅니다. $x \to a$ 일 때 $f$ 와 $x$ 에서 무한소 변화에 대해:

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

이는 $a$ 에서 $f$ 의 전체 미분(total differential), 또는 단순히 미분(differential)으로 정의됩니다. 이 표현은 모든 $x i$ 방향에서 $f$ 의 모든 무한소 변화를 더함으로써 $f$ 의 전체 무한소 변화에 해당합니다. 역시, $df$ 는 각 방향에서 무한소 $dx i$ 로 기저 벡터(basis vectors)와 성분으로 $f$ 의 부분 도함수로 갖는 코벡터(covector)로 해석될 수 있습니다.

기하학적으로 $\nabla f$ 는 $f (x) = c$ 에 의해 주어지는 $f$ 의 수준 집합에 수직이며, 어떤 상수 $c$ 에 대해 $(n - 1)$ -차원 초표면을 설명합니다. 상수의 도함수는 영입니다:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

이것에서 $d x$ 는 초표면 $f (x) = c$ 에서 $x$ 에서 무한소 변화이고, $\nabla f$ 와 $d x$ 의 점 곱이 영이기 때문에, 이것은 $\nabla f$ 가 $d x$ 에 수직임을 의미합니다.

$n$ 차원에서 임의적인 곡선 좌표 시스템(curvilinear coordinate systems)에서, 그래디언트에 대한 명시적 표현은 그렇게 간단하지 않을 것입니다 – 해당 좌표 시스템에 대한 메트릭 텐서(metric tensor)의 측면에서 스케일 인수가 있을 것입니다. 이 기사 전체에서 사용되는 위의 경우에서, 메트릭은 크로네커 델타(Kronecker delta)일뿐이고 스케일 인수는 모두 1입니다.

Differentiability classes

만약 도메인에서 한 점 $a$ 에서 평가된 모든 일차 부분 도함수가:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

존재하고 도메인에서 모든 $a$ 에 대해 연속이면, $f$ 는 미분-가능성 클래스 $C 1$ 입니다. 일반적으로, 만약 점 $a$ 에서 평가된 모든 차수 $p$ 부분 도함수가:

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

존재하고 연속이면, 여기서 $p 1, p 2, \dots, p n$ 와 $p$ 는 도메인에서 모든 $a$ 에 대해 위에서와 마찬가지며, $f$ 는 도메인 전체에서 차수 $p$ 로 미분가능이고 미분가능성 클래스 $C p$ 를 가집니다.

만약 $f$ 가 미분가능성 클래스 $C \infty$ 이면, $f$ 는 모든 차수의 연속 부분 도함수를 가지고 매끄러운(smooth) 것이라고 불립니다. 만약 $f$ 가 해석적 함수(analytic function)이고 도메인에서 임의의 점에 대한 그것의 테일러 급수(Taylor series)와 같으면, 표기법 $C ω$ 는 이 미분가능성 클래스를 나타냅니다.

Multiple integration

한정 적분(Definite integration)은 다음 표기법을 사용하여 여러 실수 변수에 걸쳐 다중 적분(multiple integration)으로 확장될 수 있습니다:

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

여기서 각 영역 $R 1, R 2, \dots, R n$ 은 모든 실수 직선 또는 실수 직선의 부분집합입니다:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

그리고 그것들의 데카르트 곱은 영역을 단일 집합, $n$ -차원 초부피(hypervolume)에 걸쳐 적분하기 위해 제공합니다:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

평가될 때, 한정 적분은 만약 적분이 적분의 영역 $R$ 에서 수렴하면 실수입니다 (한정 적분의 결과는 주어진 영역에 대해 무한대로 발산할 수 있으며, 그러한 경우에서 적분은 잘못-정의된 것으로 남습니다). 변수는 적분의 과정에서 숫자로 대체되는 "더미" 또는 "경계" 변수("bound" variables)로 취급됩니다.

$x$ 에 관한 실수 변수의 실수 값 함수 $y = f (x)$ 의 적분은 곡선 $y = f (x)$ 와 $x$ -축에 의해 경계진 넓이로 기하학적 해석을 가집니다. 다중 적분은 이 개념의 차원을 확장합니다: 직사각형 데카르트 좌표 시스템의 $n$ -차원 아날로그를 가정하여, 위의 한정 적분은 $f (x)$ 와 $x 1, x 2, \dots, x n$ 축에 의해 경계진 $n$ -차원 초부피로 기하학적 해석을 가지며, 이는 (만약 적분이 수렴하면) 적분될 함수에 따라 양수, 음수, 또는 0이 될 수 있습니다.

경계진 초부피는 유용한 통찰력이지만, 한정 적분의 더 중요한 아이디어는 그것들이 공간 내의 전체 양을 나타낸다는 것입니다. 이것은 응용 수학과 물리학에서 의미가 있습니다: 만약 $f$ 가 일부 스칼라 밀도(scalar density) 필드이고 $x$ 가 위치 벡터(position vector) 좌표, 즉, 단위 n-차원 초부피당 일부 스칼라 양이면, 영역 $R$ 에 걸쳐 적분하는 것은 $R$ 에서 전체 양을 제공합니다. 초부피의 보다 형식적인 개념은 측정 이론(measure theory)의 주제입니다. 위에서 우리는 르베그 측정(Lebesgue measure)을 사용했으며, 이 주제에 대한 자세한 내용에 대해 르베그 적분(Lebesgue integration)을 참조하십시오.

Theorems

다중 적분과 부분 도함수의 정의와 함께, 여러 실수 변수에서 미적분의 기본 정리 (즉, 스토크스의 정리(Stokes' theorem)), 여러 실제 변수에서 부분에 의한 적분, 더 높은 부분 도함수의 대칭, 및 다중 함수에 대해 테일러의 정리를 포함하여 주요 정리는 공식화될 수 있습니다. 적분과 부분 도함수의 혼합을 평가하는 것은 적분 기호 아래 미분 정리를 사용함으로써 수행될 수 있습니다.

Vector calculus

여러 실수 변수 각각에 대해 여러 함수를, 말하자면 다음과 같은 함수를

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

각각 $m$ -튜플로 수집하거나, 때때로 열 벡터(column vector) 또는 행 벡터(row vector)로 수집할 수 있습니다:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

이는 모든 $m$ -성분 벡터 필드와 같은 기반에서 취급되고, 어떤 형식이든 편리한 것을 사용합니다. 모든 위의 표기법은 $y = f (x)$ 라는 공통 컴팩트 표기법을 가집니다. 그러한 벡터 필드의 미적분은 벡터 미적분(vector calculus)입니다. 다변수 함수의 행 벡터와 열 벡터 처리에 대한 자세한 내용에 대해, 행렬 미적분(matrix calculus)을 참조하십시오.

Implicit functions

여러 실수 변수의 실수-값 암시적 함수(implicit function)는 " $y = f (\dots)$ " 형식으로 작성되지 않습니다. 대신, 매핑은 공간 $R n + 1$ 에서 $R$ 에서 영 원소 (단지 보통의 영 0)로의 것입니다.

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

위는 모든 변수에서 방정식입니다. 암시적 함수는 함수를 나타내기 위해 보다 일반적인 방법인데, 왜냐하면 만약 다음이면:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

우리는 항상 다음을 정의할 수 있지만:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

그 전환은 항상 가능한 것은 아니기 때문이며, 즉, 모든 암시적 함수가 명시적 형식을 가지는 것은 아니기 때문입니다.

예를 들어, 구간 표기법(interval notation)을 사용하여, 다음이라고 놓습니다:

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

3-차원 (3D) 데카르트 좌표 시스템을 선택하여, 이 함수는 각각 양의 x, y, 및 z 축을 따라 상수 반-주요 축(semi-major axes) $a, b, c$ 를 갖는 원점 $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ 에 중심을 둔 3D 타원면체(ellipsoid)의 표면을 설명합니다. $a = b = c = r$ 인 경우에서, 원점에 중심을 둔 반지름 $r$ 의 구(sphere)를 가집니다. 유사하게 설명될 수 있는 다른 원뿔 단면(conic section) 예제는 쌍곡면체(hyperboloid)와 포물면체(paraboloid)를 포함하며, 더 일반적으로 3D 유클리드 공간에서 모든 2D 표면도 가능합니다. 위의 예는 $x$ , $y$ , 또는 $z$ 에 대해 풀 수 있습니다; 어쨌든, 그것은 암시적 형식으로 작성하는 것이 훨씬 깔끔합니다.

보다 정교한 예제에 대해:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

비-영 실수 상수 $A, B, C, ω$ 에 대해, 이 함수는 모든 $(t, x, y, z)$ 에 대해 잘-정의되어 있지만, 그것은 이들 변수에 대해 명시적으로 풀 수 없고 " $t =$ ", " $x =$ ", 등으로 작성됩니다.

둘보다 많은 실수 변수의 암시적 함수 정리(implicit function theorem)는 다음과 같이 함수의 연속성과 미분-가능성을 다룹니다.^[4] $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ 을 연속 일차 부분 도함수를 갖는 연속 함수라고 놓고, 점 $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, a n, b)$ 에서 평가된 $ϕ$ 를 영으로 둡니다:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

그리고 $(a, b)$ 에서 평가된 $y$ 에 관한 $ϕ$ 의 일차 부분 도함수를 비-영이라고 놓습니다:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

그런-다음, $R$ 에서 모든 각 $x$ 에 대해, $ϕ (x, y) = 0$ 를 만족시키는 $[y 1, y 2]$ 에서 $y$ 의 정확하게 하나의 값이 있고, $y$ 는 $ϕ (x, y (x)) = 0$ 이 되도록 $x$ 의 연속 함수임을 만족하는, $b$ 를 포함하는 $[y 1, y 2]$ 구간과 $(a, b)$ 를 포함하는 영역 $R$ 이 있습니다. 함수의 전체 미분(total differentials)은 다음과 같습니다:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

$dy$ 를 후자의 미분으로 대체하고 미분의 계수를 같게 하는 것은 원래 함수의 도함수의 관점에서 $x i$ 에 관한 $y$ 의 일차 부분 도함수를 제공하며, 각각은 $i = 1, 2, \dots, n$ 에 대해 다음 선형 방정식의 해입니다:

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

Complex-valued function of several real variables

여러 실수 변수의 복소-값 함수는 실수 함수의 정의에서 코도메인의 실수에 대한 제한을 완화하고, 복소수 값을 허용함으로써 정의될 수 있습니다.

만약 $f (x 1, \dots, x n)$ 가 그러한 복소 값 함수이면, 그것은 다음과 같이 분해될 수 있습니다:

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

여기서 $g$ 와 $h$ 는 실수-값 함수입니다. 다시 말해, 복소-값 함수의 연구는 실수-값 함수의 쌍에 대한 연구로 쉽게 축소됩니다.

이 축소는 일반 속성에 대해 작동합니다. 어쨌든, 다음과 같이 명시적으로 지정된 함수에 대해:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

실수 부분과 허수 부분의 계산이 어려울 수 있습니다.

Applications

실수 변수의 다변수 함수는 공학(engineering)과 물리학(physics)에서 불가피하게 발생하는데, 왜냐하면 관찰-가능한 물리적 양(observable physical quantities)은 실수 (결합된 단위와 차원을 가짐)이고, 임의의 하나의 물리적 양은 일반적으로 여러 다른 양에 따라 달라지기 때문입니다.

Examples of real-valued functions of several real variables

연속체 역학(continuum mechanics)에서 예제는 질량 분포의 지역적 질량 밀도 $ρ$ , 공간 위치 좌표 (예를 들면 데카르트 좌표), $r = (x, y, z)$ 과 시간 $t$ 에 따라 달라지는 스칼라 필드를 포함합니다:

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

전기적으로 하전된 물체에 대해 전하 밀도, 및 수많은 기타 스칼라 퍼텐셜 필드와 유사합니다.

또 다른 예제는 유사하게 공간 좌표와 시간의 각 다변수 함수인 속도 $v = (v x, v y, v z)$ 의 성분을 가지는 벡터 필드(vector field), 속도 필드(velocity field)입니다:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

전기 필드와 자기 필드와 같은 다른 물리적 벡터 필드와 벡터 퍼텐셜 필드에 대해서도 유사합니다.

또 다른 중요한 예제는 유체의 압력 $P$ , 온도 $T$ , 및 부피 $V$ 와 관련된 방정식, 열역학에서 상태의 방정식이며, 일반적으로 다음과 같은 암시적 형식을 가집니다:

f(P,V,T)=0

가장 간단한 예제는 이상적인 기체 법칙(ideal gas law)입니다:

f(P,V,T)=PV-nRT=0

여기서 $n$ 은 고정된 물질의 총양에 대한 상수, 몰의 개수이고, $R$ 은 기체 상수입니다. 훨씬 더 복잡한 상태 방정식이 경험적으로 도출되어 왔지만, 그것들 모두는 위의 암시적 형식을 가집니다.

여러 실수 변수의 실수-값 함수는 경제학(economics)에서 널리 나타납니다. 소비자 이론의 토대에서, 효용(utility)은 소비된 다양한 재화의 양의 함수로 표현되며, 각 총양은 효용 함수의 인수입니다. 효용 극대화의 결과는 수요 함수(demand functions)의 집합으로, 각각은 특정 상품에 대한 수요량을 다양한 상품의 가격과 소득, 또는 부의 함수로 표현합니다. 생산자 이론(producer theory)에서, 기업은 보통 생산된 다양한 재화의 양과 사용된 다양한 생산 요소의 양의 함수로 이윤을 극대화한다고 가정합니다. 최적화의 결과는 다양한 생산 요소에 대한 일련의 수요 함수와 다양한 제품에 대한 일련의 공급 함수입니다; 이들 함수 각각은 상품과 생산 요소의 가격을 논거로 삼습니다.

Examples of complex-valued functions of several real variables

일부 "물리적 양"은 복소 임피던스, 복소 유전율, 복소 투자율, 및 복소 굴절률과 같은 실제로 복소 값일 수 있습니다. 이것들은 주파수나 시간, 온도와 같은 실제 변수의 함수이기도 합니다.

이-차원 유체 역학, 특히 2D에서 유체 운동을 설명하기 위해 사용되는 퍼텐셜 흐름의 이론에서, 다음과 같은 복소 퍼텐셜은

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

두 공간 좌표 $x$ 와 $y$ , 및 시스템과 결합된 다른 실수 변수의 복소-값 함수입니다. 실수 부분은 속도 퍼텐셜(velocity potential)이고 허수 부분은 스트림 함수(stream function)입니다.

구형 조화 함수(spherical harmonics)는 실수-값 구형 극 각도의 복소-값 함수인 z-성분 각 운동량 연산자(angular momentum operator)의 고유함수(eigenfunctions)뿐만 아니라 라플라스의 방정식(Laplace's equation)의 해로 물리학과 공학에서 발생합니다:

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

양자 역학(quantum mechanics)에서, 파동함수(wavefunction)는 반드시 복소-값이지만, 시간 $t$ 뿐만 아니라 실수 공간 좌표 (또는 운동량 성분)의 함수입니다:

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

여기서 각각은 푸리에 변환(Fourier transform)과 관련되어 있습니다.

References

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[3] W. Fulks (1978). Advanced calculus. John Wiley & Sons. pp. 300–302. ISBN 0-471-02195-4.

[4] R. Courant. Differential and Integral Calculus. Vol. 2. Wiley Classics Library. pp. 117–118. ISBN 0-471-60840-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
v t e