Implicit function

수학에서, 암시적 방정식(implicit equation)은 형식 $R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 의 관계(relation)이며, 여기서 $R$ 은 여러 변수 (종종 다항식)의 함수(function)입니다. 예를 들어, 단위 원(unit circle)의 암시적 방정식은 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 입니다.

암시적 함수(implicit function)는, 변수 (값(value)) 중에 하나를 다른 변수 (인수(argument))와 결합함으로써, 암시적 방정식에 의해 암시적으로 정의되는 함수입니다.^[1]^{: 204–206} 따라서, 단위 원(unit circle)의 문맥에서 $y$ 에 대한 암시적 함수는 $x^{2}+f(x)^{2}-1=0$ 에 의해 암시적으로 정의됩니다. 이 암시적 방정식은 $f$ 를 만약 $-1\leq x\leq 1$ 이고 우리가 함수의 값에 대해 오직 비-음의 (또는 비-양의) 값을 고려하면, 오직 $x$ 의 함수로 정의합니다.

암시적 함수 정리(implicit function theorem)는, 어떤 종류의 관계가 암시적 함수, 즉, 어떤 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable) 다변수 함수의 영 집합(zero set)의 지시 함수(indicator function)로 정의된 관계 아래에서 조건을 제공합니다.

Examples

Inverse functions

암시적 함수의 공통적인 유형은 역 함수(inverse function)입니다. 모든 함수가 고유한 역 함수를 가지지는 않습니다. 만약 g가 고유한 역을 가지는 x의 함수이면, g의 역함수는, g ⁻¹로 불리며, y에 관한 x에 대해 다음 방정식의 해를 제공하는 고유한 함수입니다:

y=g(x)

이 해는 그런-다음 다음으로 쓸 수 있습니다:

x=g^{-1}(y).

$g$ 의 역함수로 $g^{-1}$ 를 정의하면 암시적 정의입니다. 일부 함수 g에 대해, $g^{-1}(y)$ 는 닫힌-형식 표현으로 명시적으로 쓸 수 있습니다 — 예를 들어, 만약 $g(x)=2x-1$ 이면, $g^{-1}(y)={\tfrac {1}{2}}(y+1)$ 입니다. 어쨌든, 이것은 종종 가능하지 않거나, (아래의 곱 로그의 예제처럼) 새로운 표기법을 도입함으로써 오직 가능합니다.

직관적으로, 역 함수는 종속 변수와 독립 변수의 역할을 서로-교환함으로써 g로부터 얻습니다.

예제(Example)

곱 로그(product log)는 방정식 y − xe^x = 0의 x에 대한 해를 제공하는 암시적 함수입니다.

Algebraic functions

대수적 함수(algebraic function)는 그의 계수가 그것들 자신의 다항식인 다항 방정식을 만족시키는 함수입니다. 예를 들어, 하나의 변수 x에서 대수적 함수는 다음 방정식의 y에 대한 해를 제공합니다:

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0

여기서 계수 a_i(x)는 x의 다항 함수입니다. 이 대수적 함수는 해 방정식 y = f (x)의 오른쪽 변으로 쓸 수 있습니다. 이와 같이 쓰인, f는 다중-값(multi-valued) 암시적 함수입니다.

대수적 함수는 수학적 해석학(mathematical analysis) 및 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 중요한 역할을 합니다. 대수적 함수의 간단한 예제는 단위 원 방정식의 왼쪽 변에 의해 제공됩니다:

x^{2}+y^{2}-1=0.

y에 대해 풀면 다음의 명시적 해를 제공합니다:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.

그러나 심지어 이 명시적 해를 지정없이, $y=f(x)$ 로 단위 원 방정식의 암시적 해를 참조하는 것이 가능하며, 여기서 f는 다중-값 암시적 함수입니다.

반면에 명시적 해는 y에서 이차(quadratic), 삼차(cubic), 및 사차(quartic)인 방정식에 대해 찾아질 수 있으며, 같은 것은 오차(quintic)와 더 높은 차수의 방정식, 일반적으로 참이 아니며, 예를 들어,

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.

그럼에도 불구하고, 우리는 다중-값 암시적 함수 f를 포함하는 암시적 해 y = f(x)를 여전히 참조할 수 있습니다.

Caveats

모든 각 방정식 R(x, y) = 0는 단일-값 함수의 그래프를 의미하는 것은 아니며, 원 방정식이 하나의 중요한 예제입니다. 또 다른 예제는 x − C(y) = 0에 의해 주어진 암시적 함수이며 여기서 C는 그래프에서 "혹(hump)"을 갖는 삼차 다항식(cubic polynomial)입니다. 따라서 암시적 함수가 참 (단일-값) 함수가 되는 것에 대해 그래프의 단지 일부를 사용하는 것이 필요할 수 있습니다. 암시적 함수는 때때로 x-축의 일부분을 "확대"하고 일부 원치 않는 함수 가지를 "잘라 버린" 후에 오직 참 함수로 성공적으로 정의될 수 있습니다. 그런-다음 다른 변수의 암시적 함수로서 y를 표현하는 방정식이 쓸 수 있습니다.

정의하는 방정식 R(x, y) = 0은 역시 다른 병리를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 x = 0은 y에 대한 해를 제공하는 함수 f(x)를 의미하지 않습니다; 그것은 수직 직선입니다. 이와 같은 문제를 피하기 위해, 다양한 제약-조건이 방정식의 허용-가능한 종류 또는 도메인(domain)을 자주 강요합니다. 암시적 함수 정리(implicit function theorem)는 이들 병리의 종류를 처리하는 통일된 방법을 제공합니다.

Implicit differentiation

미적분학(calculus)에서, 암시적 미분(implicit differentiation)으로 불리는 방법은 암시적으로 정의된 함수를 미분하기 위해 체인 규칙(chain rule)을 사용합니다.

방정식 R(x, y) = 0으로 정의된, 암시적 함수 y(x)를 미분하기 위해, 그것은 일반적으로 y에 대해 명시적으로 그것을 풀고, 그런-다음 미분하는 것이 가능하지 않습니다. 대신에, 우리는 x와 y에 관한 R(x, y) = 0을 전체 미분(totally differentiate)할 수 있고, 그런-다음 dy/dx에 대한 결과 선형 방정식을 풀어 x와 y에 관한 도함수를 명시적으로 얻습니다. 심지어 명시적으로 원래 방정식을 푸는 것이 가능할 때, 전체 미분으로부터 인한 공식은, 일반적으로, 훨씬 간단하고 사용하기 더 쉽습니다.

Examples

1. 다음 예제를 생각해 보십시오:

y+x+5=0.

이 방정식은 y에 대해 쉽게 풀 수 있고, 다음을 제공합니다:

y=-x-5\,,

여기서 오른쪽 변은 함수 y(x)의 명시적 형식입니다. 미분은 그런-다음 dy/dx = −1을 제공합니다.

대안적으로, 우리는 원래 방정식을 전체 미분할 수 있습니다:

{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)=0;

{\frac {dy}{dx}}+1=0.

dy/dx에 대해 풀면 다음을 제공합니다:

{\frac {dy}{dx}}=-1,

이전에 얻은 것과 같은 답입니다.

2. 암시적 미분은 명시적 미분을 사용하는 것보다 더 쉬운 것에 대해 암시적 함수의 예제는 다음 방정식에 의해 정의된 함수 y(x)입니다:

x^{4}+2y^{2}=8.

이것을 x에 관해 명시적 미분하기 위해, 우리는 먼저 다음을 얻어야 하며:

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}},

그런-다음 이 함수를 미분해야 합니다. 이것은 두 도함수: y ≥ 0에 대해 하나 및 y < 0에 대해 다른 것을 생성합니다

그것은 원래 방정식을 암시적으로 미분하는 것이 대체로 쉽습니다:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0,

다음을 제공합니다:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}={\frac {-x^{3}}{y}}.

3. 종종, 그것은 y에 대해 명시적으로 풀기 어렵거나 불가능하고, 암시적 미분이 미분의 유일한 실현-가능한 방법입니다. 예제는 다음 방정식입니다:

y^{5}-y=x.

그것은 x의 함수로 명시적으로 y를 대수적으로 표현(algebraically express)하는 것이 불가능하고, 그러므로 명시적 미분에 의해 dy /dx를 절대 찾을 수 없습니다. 암시적 방법을 사용하여, dy /dx는 다음을 얻기 위해 방정식을 미분함으로써 얻어질 수 있습니다:

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}

여기서 dx /dx = 1입니다. dy /dx를 인수로 묶어내면 다음임을 보입니다:

(5y^{4}-1){\frac {dy}{dx}}=1

이것은 다음 결과를 산출합니다:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}},

이것은 $y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}$ 및 $y\neq \pm i{\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}$ 에 대해 정의되지 않습니다.

General formula for derivative of implicit function

만약 $R(x,y)=0$ 이면, 암시적 함수 y(x)의 도함수는 다음에 의해 제공됩니다:^[2]^{: § 11.5}

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial R/\partial x}{\partial R/\partial y}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}},

여기서 R_x와 R_y는 x와 y에 관한 R의 부분 도함수(partial derivative)를 가리킵니다.

위의 공식은 R(x, y) = 0의 양변의—x에 관한—전체 도함수(total derivative)를 구하기 위해서 일반화된 체인 규칙(generalized chain rule)을 사용하는 것으로부터 옵니다:

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0,

그러므로

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0,

이것은, dy/dx에 대해 풀 때, 위의 표현을 제공합니다.

Implicit function theorem

그것은, 만약 $R (x, y)$ 가 R²에서 매끄러운(smooth) 부분-매니폴드(submanifold) $M$ 에 의해 주어지고, $(a, b)$ 는 수직이 없는 (즉, $\partial R /\partial y \neq 0$ ) 접 공간(tangent space)을 만족하는 이 부분-매니폴드의 점이면, $(a, b)$ 의 어떤 충분히 작은 이웃(neighbourhood) 안의 $M$ 은 매개-변수화(parametrization) $(x, f (x))$ 에 의해 주어지며, 여기서 $f$ 는 매끄러운 함수(smooth function)인 것을 보여줄 수 있습니다.

덜 기술적 언어에서, 만약 가정된 그래프의 접선이 수직이 아니면, 암시적 함수가 존재하고 미분될 수 있습니다. 우리가 R 위의 다음 방정식이 주어지는 표준 경우에서

R(x,y)=0

$R$ 위의 조건은 부분 도함수(partial derivative)를 수단으로 점검될 수 있습니다.^[2]^{: § 11.5}

In algebraic geometry

형식 R(x₁,..., x_n) = 0의 관계(relation)를 생각하는데, 여기서 R이 다변수 다항식입니다. 이 관계를 만족시키는 변수의 값의 집합은, 만약 n = 2이면 음 곡선(implicit curve), 만약 n = 3이면 암시적 표면(implicit surface)으로 불립니다. 암시적 방정식은 대수 기하학(algebraic geometry)의 기초이며, 연구의 기본 주제는 왼쪽 변이 다항식인 여러 암시적 방정식의 연립 해입니다. 연립 해의 이들 집합은 아핀 대수적 집합(affine algebraic set)으로 불립니다.

In differential equations

미분 방정식의 해는 일반적으로 암시적 함수에 의해 표현된 것으로 나타납니다.^[3]

Applications in economics

Marginal rate of substitution

경제학(economics)에서, 수준 집합 R(x, y) = 0는 두 재화의 소비된 양 x와 y에 대해 무-차별 곡선(indifference curve)일 때, 암시적 도함수 dy/dx의 절댓값은 두 재화의 한계 대체율(marginal rate of substitution): : x의 한 단위의 손실에 무관심하기 위해서 얼마나 많은 y를 받아야 하는지로 해석됩니다.

Marginal rate of technical substitution

비슷하게, 때때로 수준 집합 R(L, K)은 노동의 사용된 양 L과 물리적 자본(physical capital)의 K의 다양한 조합을 보여주는 등량 곡선(isoquant)이며 각각은 일부 재화의 출력의 같은 주어진 양의 생산량의 결과를 낳습니다. 이 경우에서 암시적 도함수 dK/dL의 절댓값은 생산의 두 원소 사이의 한계 기술 대체율(marginal rate of technical substitution): 노동의 하나보다 작은 단위를 갖는 출력의 같은 총양의 생산량을 산출하기 위해 기업이 얼마나 많은 자본을 사용해야 하는지로 해석됩니다.

Optimization

종종 경제 이론에서, 비록 목적 함수가 임의의 특정 함수형 형식으로 제한되지는 않을지라도, 효용 함수(utility function) 또는 이익(profit) 함수와 같은 일부 함수는 선택 벡터 x에 관한 최대화되는 것입니다. 암시적 함수 정리(implicit function theorem)는 최적화의 일-차 조건(first-order condition)이 선택 벡터 x의 최적 벡터 x*의 각 원소에 대해 암시적 함수를 정의하는 것을 보장합니다. 이익이 최대화될 때, 전형적으로 결과 암시적 함수는 노동 수요(labor demand) 함수와 다양한 재화의 공급 함수(supply function)입니다. 효용이 최대화될 때, 전형적으로 결과 암시적 함수는 노동 공급(labor supply) 함수와 다양한 재화에 대한 수요 함수(demand function)입니다.

게다가, x*—암시적 함수의 부분 도함수—에 대한 문제의 매개-변수(parameters)의 영향은 전체 미분(total differentiation)을 사용하여 발견된 일-차 조건의 시스템의 전체 도함수(total derivative)로 표현될 수 있습니다.

References

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ ^a ^b Stewart, James (1998). Calculus Concepts And Contexts. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
^ Kaplan, Wilfred (2003). Advanced Calculus. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

External links

Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. May 3, 2017 – via YouTube.

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.

[Stewart1998-2] Stewart, James (1998). Calculus Concepts And Contexts. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.

[3] Kaplan, Wilfred (2003). Advanced Calculus. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

[1]

[2]

[3]

Implicit function

Examples

Inverse functions

Algebraic functions

Caveats

Implicit differentiation

Examples

General formula for derivative of implicit function

Implicit function theorem

In algebraic geometry

In differential equations

Applications in economics

Marginal rate of substitution

Marginal rate of technical substitution

Optimization

See also

References

Further reading

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