Logarithm

Original article: w:Logarithm

공통적으로 사용되는 세 가지 밑수의 로그 함수의 그림입니다. 특수 점 log_b b = 1은 점선으로 표시되고, log_b 1 = 0은 곡선이 교차하는 점입니다.

The graph of the logarithm base 2 crosses the x-axis at x = 1 and passes through the points (2, 1), (4, 2), and (8, 3), depicting, e.g., log₂(8) = 3 and 2³ = 8. The graph gets arbitrarily close to the y-axis, but does not meet it.

수학(mathematics)에서, 로그(logarithm)는 지수(exponentiation)에 대한 역함수(inverse function)입니다. 주어진 숫자 x의 로그는, 다른 고정된 숫자, 밑수(base) b에, 그 숫자 x를 생성하기 위해, 올려지는 지수(exponent)임을 의미합니다. 가장 단순한 경우에서, 로그는 반복된 곱셈에서 같은 인수의 발생의 숫자를 셉니다; 예를 들어, 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³이므로, 1000의 "밑수 10 로그"는 3입니다. 밑수 b에 대한 x의 로그는 log_b (x), 또는 괄호없이, log_b x, 또는 혼동할 가능성이 없으면 심지어 명시적 밑수없이, log x로 표시됩니다.

보다 일반적으로, 지수화는 임의의 양의 실수(real number)를 임의의 실수 거듭제곱에 올려지는 밑수로 허용되며, 항상 양의 결과를 생성하므로, b가 1과 같지 않은, 임의의 두 양의 실수 b 및 x에 대해 log_b x는 항상 고유한 실수 y입니다. 보다 명확하게, 지수화와 로그의 사이의 관계를 정의하는 것은 다음입니다:

$\log _{b}(x)=y\quad$ exactly if $\quad b^{y}=x$.

예를 들어, log₂ 64 = 6인데, 왜냐하면 2⁶ = 64이기 때문입니다.

로그 밑수 10 (즉, b = 10)은 상용 로그(common logarithm)로 불리고 과학 및 공학에서 많은 응용을 가집니다. 자연 로그(natural logarithm)는 그의 밑수로 숫자 e (즉, b ≈ 2.718)를 가집니다; 그것의 사용은 수학과 물리학(physics)에 널리 퍼져 있는데, 왜냐하면 그의 간단한 적분(integral) 및 도함수(derivative) 때문입니다. 이진 로그(binary logarithm)는 밑수 2 (즉, b = 2)를 사용하고, 컴퓨터 과학(computer science)에서 공통적으로 사용됩니다. 로그는 오목 함수(concave function)의 예제입니다.

로그는 계산을 단순화하기 위한 수단으로 1614년에 존 네이피어(John Napier)에 의해 도입되었습니다. 그것들은 보다 쉽게 고-정밀 계산을 수행하기 위해 항해사, 과학자, 공학자, 측량사 및 다른 사람들에 의해 빠르게 채택되었습니다. 로그 테이블(logarithm tables)을 사용하여, 지루한 여러-자릿수 곱셈 단계는 테이블 찾기와 단순한 덧셈으로 대체될 수 있습니다. 이것은 가능한데, 왜냐하면 사실—그 자체로 중요한—곱(product)의 로그는 인수의 로그의 합(sum)이기 때문입니다:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,\,$

여기서 b, x 및 y는 모두 양수이고 b ≠ 1입니다. 역시 로그를 기반으로 하는, 미끄럼 자(slide rule)은 테이블없이 빠른 계산을 허용하지만, 정밀도는 떨어집니다. 로그의 현재 개념은, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에서 오며, 그는 18세기에서 그들을 지수 함수(exponential function)에 연결시키고, 자연 로그의 밑수로 문자 e를 역시 도입했습니다.

로그 스케일(Logarithmic scale)은 광범위한 범위의 양을 작은 범위로 줄입니다. 예를 들어, 데시벨(decibel) (dB)은, 주로 신호 전력 및 진폭에 대해 (음압(sound pressure)이 공통적인 예제입니다), 로그로 비율(ratio as logarithm)을 표현하기 위해 사용되는 단위(unit)입니다. 화학에서, pH는 수용액(aqueous solution)의 산성(acid)도에 대해 로그 측정입니다. 로그는 과학 공식(formula), 알고리듬의 복잡도(complexity of algorithms)와 프랙탈(fractal)로 불리는 기하학 대상의 측정에서 흔한 것입니다. 그들은 음정(musical intervals)의 주파수(frequency) 비율의 설명을 돕고, 소수(prime number)를 세는 공식 또는 팩토리얼(factorial)을 근사하는 것(approximating)에 나타나고, 정신 물리학(psychophysics)에서 일부 모델의 기초를 이루고, 법의학 회계(forensic accounting)를 조성할 수 있습니다.

로그는 지수화(exponentiation)를 되돌리는 것과 같은 방법으로, 복소 로그(complex logarithm)는 복소수(complex number)에 적용되는 지수 함수의 역함수(inverse function)입니다. 모듈식 이산 로그(discrete logarithm)는 또 다른 변형입니다; 그것은 공개-키 암호화(public-key cryptography)에서 사용되어 왔습니다.

Motivation and definition

덧셈(Addition), 곱셈(multiplication), 및 지수화(exponentiation)는 가장 기본적인 산술 연산 중 세 가지입니다. 이들 중 가장 간단한 것, 덧셈은 뺄셈(subtraction)에 의해 취소될 수 있습니다: 예를 들어 여러분이 x + 5를 얻기 위해 x에 5를 더할 때, 이 연산을 되돌리기 위해 여러분은 x + 5로부터 5를 빼야 합니다. 다음으로 가장 간단한 연산, 곱셈은 나눗셈(division)에 의해 취소될 수 있습니다: 만약 여러분이 숫자 5x를 얻기 위해 x에 5를 곱하면, 여러분은 그런-다음 원래 표현 x를 얻기 위해 5x를 5로 나누어야 합니다. 로그는 기본 산술 연산, 지수화를 역시 취소합니다. 지수화는 여러분이 숫자에 특정 거듭제곱을 올릴 때입니다. 예를 들어, 2에 거듭제곱 3을 올리면 8과 같으며, 다음입니다:

$2^{3}=2\times 2\times 2=8$

일반적인 경우는 여러분이 숫자 b에 x를 얻기 위해 y의 거듭제곱을 올릴 때입니다:

$b^{y}=x$

숫자 b는 이 표현의 밑수로 참조됩니다. 밑수는 특정 거듭제곱이 올려지게 되는 숫자입니다–위의 예제에서, 표현 $2^{3}=8$의 밑수는 2입니다. 밑수를 표현의 주제로 만드는 것은 쉽습니다. 당신이 해야 할 모두는 양쪽 변의 y-번째 근을 취하는 것입니다. 이것은 다음을 제공합니다:

$b={\sqrt[{y}]{x}}$

y를 표현의 주제로 만드는 것은 덜 쉽습니다. 로그는 이것을 행하는 것을 허용합니다:

$y=$log_b x

이 표현은 y가 여러분이 x를 얻기 위해 b에 올리는 것에 필요한 거듭제곱과 같음을 의미합니다. 이 연산은 지수화를 취소하는데 왜냐하면 x의 로그는 밑수가 무엇에 올려지는 지수를 말해주기 때문입니다.

Exponentiation

이 하위-섹션은 지수화 연산의 짧은 개요를 포함하며, 이것은 로그 이해에 기본적입니다. b에 n-번째 거듭제곱을 올리는 것은, 여기서 n은 자연수(natual number)이며, b와 같은 n 인수를 곱함으로써 행해집니다. b의 n-번째 거듭제곱은 bⁿ으로 쓰이므로,

$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}$

지수화는 b^y으로 확장될 수 있으며, 여기서 b는 양수이고 지수 y는 임의의 실수(real number)입니다. 예를 들어, b⁻¹은 b의 역수(reciprocal), 즉 1/b입니다. b에 거듭제곱 1/2을 올리면 b의 (이)제곱근(square root)입니다.

보다 일반적으로, b에 유리수(rational number) 거듭제곱 p/q를 올리면, 여기서 p와 q는 정수이며, 다음에 의해 제공됩니다:

$b^{p/q}={\sqrt[{q}]{b^{p}}},$

이것은 $b^{p}\!\!$의 q-번째 근입니다.

마지막으로, (실수 중에 유리수가 아닌) 임의의 무리수(irrational number) y는 유리수에 의해 임의의 정밀도로 근사화될 수 있습니다. 이것은 b의 y-번째 거듭제곱을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다: 예를 들어 ${\sqrt {2}}\approx 1.414...$ 및 $b^{\sqrt {2}}$는 $b^{1},b^{1.4},b^{1.41},b^{1.414},...$에 의해 점점 더 잘 근사화됩니다. 보다 자세한 설명, 마찬가지로 공식 b^{m + n} = b^m · bⁿ은 지수화(exponentiation)에 대한 기사에 포함되어 있습니다.

Definition

밑수 b에 관한 양의 실수 x의 로그는 b가 x를 산출하기 위해 올려져야 하는 지수입니다. 다른 말로, 밑수 b에 대한 x의 로그는 다음 방정식에 대한 해 y입니다:

$b^{y}=x.$

로그는 "log_b x"로 표시됩니다 ("밑수 b에 대한 x의 로그" 또는 "x의 밑수-b 로그" 또는 (가장 공통적으로) "로그, 밑수 b, x"로 발음됩니다).

방정식 y = log_b x에서, 값 y는 "x를 산출하기 위해, 어떤 거듭제곱이 b에 반드시 올려져야 합니까?"라는 질문에 대한 답입니다.

Examples

• log₂ 16 = 4 , 왜냐하면 2⁴ = 2 ×2 × 2 × 2 = 16이기 때문입니다.
• 로그는 역시 음수가 될 수 있습니다: $\quad \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1\quad$ 왜냐하면 $\quad 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$이기 때문입니다.
• log₁₀150는 대략 2.176이며, 이것은 2와 3 사이에 놓이고, 마찬가지로 150은 10² = 100와 10³ = 1000 사이에 놓입니다.
• 임의의 밑수 b에 대해, log_b b = 1와 log_b 1 = 0인데, 왜냐하면, 각각, b¹ = b와 b⁰ = 1이기 때문입니다.

Logarithmic identities

Main article: List of logarithmic identities

때때로 로그 항등식(logarithmic identities) 또는 로그 법칙(logarithmic laws)으로 불리는, 여러 중요한 공식은 로그를 서로 관련시킵니다.

Product, quotient, power, and root

곱의 로그는 곱해지는 숫자의 로그의 합입니다; 두 숫자의 비율의 로그는 로그의 차이입니다. 숫자의 p-번째 거듭제곱의 로그는 숫자 자체의 로그의 p 배입니다; p-번째 근의 로그는 숫자의 로그를 p로 나눈 것입니다. 다음 테이블은 예제와 함께 이들 항등식을 나열합니다. 항등식의 각각은 왼쪽 변에서 로그 정의 $x=b^{\log _{b}x}$ 또는 $y=b^{\log _{b}y}$를 치환한 후에 유도될 수 있습니다.

	공식	예제
곱(Product)	$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5$
몫(Quotient)	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
거듭제곱(Power)	$\log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
근(Root)	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

Change of base

로그 log_bx는 다음 공식을 사용하여 임의의 밑수 k에 관한 x와 b의 로그로부터 계산될 수 있습니다:

$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,$

임의의 밑수의 로그 사이의 변환 인수의 유도
다음 정의하는 항등식으로부터 시작합니다: $x=b^{\log _{b}x}$ 우리는 이 방정식의 양쪽 변에 logk를 적용할 수 있으며, 다음을 얻습니다: $\log _{k}x=\log _{k}\left(b^{\log _{b}x}\right)=\log _{b}x\cdot \log _{k}b$. $\log _{b}x$에 대해 풀면, 다음을 산출합니다: $\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}$, 주어진 $\log _{k}$-값에서 그들의 대응하는 $\log _{b}$-값으로의 변환 인수가 $(\log _{k}b)^{-1}$가 되는 것을 보였습니다.

전형적인 과학 계산기(scientific calculators)는 밑수 10과 e에 대한 로그를 계산합니다. 임의의 밑수 b에 관한 로그는 이전 공식에 의해 이들 두 로그 중 하나를 사용하여 결정될 수 있습니다:

$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,$

숫자 x와 알려지지 않은 밑수 b에 대한 그의 로그 log_bx가 주어지면, 밑수는 다음에 의해 제공됩니다:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}},$

이것은 정의하는 방정식 $x=b^{\log _{b}x}$을 취하는 것으로부터 $\;{\tfrac {1}{\log _{b}x}}$의 거듭제곱으로 보일 수 있습니다.

Particular bases

밑수 0.5, 2, 및 e에 대한 로그의 그림입니다

밑수에 대한 모든 선택 중에서, 세 가지가 특히 공통적입니다. 이것들은 b = 10, b = e (무리수(irrational) 수학적 상수 ≈ 2.71828), 및 b = 2 (이진 로그(binary logarithm))입니다. 수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 로그 밑수 e가 광범위하게 사용되는데 왜냐하면 아래에 설명된 해석적 속성 때문입니다. 다른 한편으로, 밑수-10 로그는 십진(decimal) 숫자 시스템에서 수동 계산에 대해 사용하기 쉽습니다:

$\log _{10}(10x)=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\$

따라서, log₁₀x는 양의 정수 x의 십진 자릿수(decimal digit)의 숫자와 관련됩니다: 자릿수의 숫자는 log₁₀x 보다 엄격히 더 큰 가장 작은 정수(integer)입니다. 예를 들어, log₁₀1430은 근사적으로 3.15입니다. 다음 정수는 4이고, 이것은 1430의 자릿수의 숫자입니다. 자연 로그와 밑수 2에 대한 로그 둘 다는 정보 이론(information theory)에서 사용되며, 각각, 내트(nats) 또는 비트(bit)를 정보의 기본 단위로 사용하는 것에 해당합니다. 이진 로그는 컴퓨터 과학(computer science)에서 역시 사용되며, 여기서 이진 시스템(binary system)은 유비쿼터스입니다; 음악 이론(music theory)에서, 여기서 이의 피치 비율 (옥타브(octave))은 유비쿼터스이고 센트(cent)는 유럽 클래식 음악(classical music)에서 두 인접한 같게-템퍼된 피치들 사이의 비율의 (1200에 의해 스케일된) 이진 로그이고, 사제안(photography)에서 노출 값(exposure value)을 측정하기 위해 사용됩니다.

다음 테이블은 이들 밑수와 여기서 그들이 사용되는 필드에 대한 로그에 대해 공통 표기법을 나열합니다. 많은 분야는, 의도된 밑수가 문맥에서 결정될 수 있을 때, log_bx 대신에 logx를 씁니다. 표기법 ^blogx도 역시 발생합니다. "ISO 표기법" 열은 국제 표준화 기구 (ISO 31-11)에 의해 제안된 명칭을 나열합니다. 표기법 log x가 모든 세 밑수에 대해 사용되어 왔기 때문에 (또는 밑수가 불확정 또는 중요하지 않을 때), 의도된 밑수는 문맥 또는 분야에 기초하여 반드시 종종 유추되어야 합니다. 컴퓨터 과학에서 log는 보통 log₂를 참조하고, 수학에서 log는 보통 log_e를 보통 참조합니다. 다른 문맥에서, log는 종종 log₁₀을 의미합니다.

밑수 b	logbx에 대한 이름	ISO 표기법	다른 표기법	사용 분야
2	이진 로그	lb x	ld x, log x, lg x, log2x	computer science, information theory, music theory, photography
e	자연 로그	ln x	log x (in mathematics and many programming languages)	mathematics, physics, chemistry, statistics, economics, information theory, and engineering
10	상용 로그	lg x	log x, log10x (in engineering, biology, astronomy)	various engineering fields (see decibel and see below), logarithm tables, handheld calculators, spectroscopy

History

Main article: History of logarithms

17세기 유럽에서 로그의 역사는 대수적 방법의 범위를 넘어서는 해석학의 영역을 확장시킨 새로운 함수(function)의 발견입니다. 로그의 방법은 1614년 존 네이피어(John Napier)에 의해, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (로그의 멋진 규칙에 대한 설명)이라는 그의 책에서, 공개적으로 발표되었습니다. 네이피어의 발명 이전에, 1600년경 요스트 뷔르기(Jost Bürgi)에 의해 광범위하게 개발된, prosthaphaeresis 또는 진행의 테이블의 사용과 같은, 비슷한 범위의 다른 기법이 있어 왔습니다.

숫자의 상용 로그(common logarithm)는 그 숫자와 같은 십의 거듭제곱의 인덱스입니다. 많은 자릿수를 요구하는 숫자를 말하는 것은 상용 로그에 대한 대략적인 암시이고, 아르키메데스(Archimedes)에 의해 "숫자의 정도"로써 언급되었습니다. 최초의 실수 로그는 곱셈을 덧셈으로 변경하여, 따라서 빠른 계산을 용이하게 하는, 휴리스틱 방법이었습니다. 이러한 방법 중 일부는 삼각 항등식으로부터 파생된 테이블을 사용했습니다. 그러한 방법은 prosthaphaeresis라고 불립니다.

지금 자연 로그(natural logarithm)로 알려진 함수(function)의 발명은, 프라하에서 거주하는 벨기에의 예수회, 그레고리 드 생-빈센트(Grégoire de Saint-Vincent)에 의해 직각 쌍곡선(hyperbola)의 구적법(quadrature)을 수행하기 위한 하나의 시도로 시작했습니다. 아르키메데스는 기원전 3세기에 포물선의 구적법(Quadrature of the Parabola)을 기록했으나, 쌍곡선에 대한 구적법은 1647년에 세인트-빈센트(Saint-Vincent)가 그의 결과를 발표할 때까지 모든 노력을 배제했습니다. 로그는 그의 인수(argument)에서 기하 진행(geometric progression)과 값의 산술 진행(arithmetic progression) 사이에 제공되는 관계는, 자연 로그에 대한 동의어인, 용어 "쌍곡선 로그"에 이르는, 세인트-빈센트의 구적법과 prosthaphaeresis에서 로그의 전통의 연결을 만들기 위해 알퐁스 안토니오 드 사라사(A. A. de Sarasa)를 자극했습니다. 곧 새로운 함수는 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens), 및 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 진가를 인정받았습니다. 표기법 Log y는 1675년에 라이프니츠(Leibniz)에 의해 채택되었고, 다음 연도에 그는 그것을 적분(integral) $\int {\frac {dy}{y}}$에 연결했습니다.

Logarithm tables, slide rules, and historical applications

로그의 1797년 Encyclopædia Britannica 설명

계산기와 컴퓨터가 유용되기 전에 어려운 계산을 단순화하는 것에 의해, 로그는 과학, 특히 천문학(astronomy)의 발전에 기여했습니다. 그들은 측량(surveying), 천체 항법(celestial navigation), 및 다른 도메인의 발전에 결정적이었습니다. 피에르-시몬 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 다음을 로그라고 불렀습니다.

"...수 개월의 일을 며칠로 줄이는 것으로 인해, 천문학자의 삶을 두 배로 높이고, 긴 계산으로부터 분리할 수 없는 오류와 혐오감을 그에게 시키지 않는, 훌륭한 공예"

함수 f(x) = b^x는 log_bx의 역함수이기 때문에, 그것은 역로그(antilogarithm)로 불려 왔습니다.

Log tables

로그의 실용적인 사용을 가능하게 하는 주요 도구는 로그의 테이블(table of logarithm)이었습니다. 첫 번째 그러한 테이블은, 1617년 헨리 브릭스(Henry Briggs)에 의해, 네이피어의 발명 직후이지만 밑수로 10을 사용하는 혁신과 함께, 편집되었습니다. 브릭스의 첫 번째 테이블은, 14 자릿수의 정밀도를 가진, 범위 1–1000 안의 모든 정수의 상용 로그(common logarithm)를 포함했습니다. 결과적으로, 범위를 증가하는 것으로 테이블이 쓰였습니다. 이들 테이블은, 특정 정밀도에서, 특정 범위 안에서 임의의 숫자 x에 대해 log₁₀x의 값을 나열했습니다. 밑수-10 로그는 계산에 보편적으로 사용되었으므로, 그 이름 상용 로그인데, 왜냐하면 10의 인수에 의해 다른 숫자는 정수에 의해 다른 로그를 가지기 때문입니다. x의 상용 로그는, 지표(characteristic)와 가수(mantissa), 정수 부분(integer part)과 분수 부분(fractional part)으로 분리될 수 있습니다. 로그의 테이블은 오직 가수를 포함하면 되는데, 왜냐하면 지표는 십진점으로부터 자릿수를 세는 것에 의해 쉽게 결정될 수 있기 때문입니다. 10 · x의 지표는 x의 지표에 1을 더한 것이고, 그들의 가수는 같습니다. 따라서 세-자리 로그 테이블을 사용하여, 3542의 로그는 다음에 의해 근사화됩니다:

$\log _{10}3542=\log _{10}(1000\cdot 3.542)=3+\log _{10}3.542\approx 3+\log _{10}3.54\,$

더 큰 정밀도는 보간법(interpolation)에 의해 얻어질 수 있습니다:

$\log _{10}3542\approx 3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)\,$

10^x의 값은 같은 테이블에서 역방향 찾기에 의해 구할 수 있는데, 왜냐하면 로그는 단조로운 함수(monotonic function)이기 때문입니다.

Computations

두 양수 c와 d의 곱과 몫은 그들 로그의 합과 차이로서 일상적으로 계산되었습니다. 곱 cd 또는 몫 c/d는, 역시 같은 테이블을 통해, 합 또는 차이의 역로그를 찾는 것으로부터 왔습니다:

$cd=10^{\ \log _{10}c}\,10^{\ \log _{10}d}=10^{\ \log _{10}c+\ \log _{10}d}\,$

그리고

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\ \log _{10}c-\ \log _{10}d}.\,$

임의의 상당한 정밀도를 요구하는 수동 계산에 대해, 두 로그의 찾기를 수행하는 것, 그들 합 또는 차를 계산하는 것, 그리고 역로그를 찾는 것은 삼각법 항등식(trigonometric identities)을 기반으로 하는, prosthaphaeresis와 같은 이전 방법에 의해 곱셈을 수행하는 것보다 훨씬 빠릅니다.

거듭제곱과 근(roots)의 계산은 다음과 같은 곱셈이나 나눗셈과 찾는-것으로 감소됩니다:

$c^{d}=\left(10^{\ \log _{10}c}\right)^{d}=10^{d\ \log _{10}c}\,$

및

${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\ \log _{10}c}.\,$

삼각법 계산은 삼각 함수(trigonometric function)의 상용 로그를 포함하는 테이블에 의해 용이해졌습니다.

Slide rules

다른 중요한 응용은, 계산에 대해 사용되는 로그적으로 나누어진 스케일의 한 쌍의, 미끄럼 자(slide rule)이었습니다. 비-슬라이딩 로그 스케일, 군터의 자(Gunter's rule)는 네이피어의 발명 직후에 발명되었습니다. 윌리엄 오트레드(William Oughtred)는 미끄럼 자—서로에 관하여 움직일 수 있는 로그 스케일의 한 쌍—을 생성하기 위해 그것을 향상시켰습니다. 숫자는 그들의 로그 사이의 차이에 비례하는 거리에서 슬라이딩 스케일에 배치됩니다. 상부 스케일을 적절히 움직이는 것은, 여기에 묘사되어 있는 것처럼, 로그를 기계적으로 더하는 것입니다.

미끄럼 자의 도식적 묘사. 아래쪽 눈금에서 2부터 시작하여, 위쪽 눈금에서 3까지 거리를 더하여 곱 6에 도달합니다. 미끄럼 자는 1에서 x까지의 거리가 x의 로그에 비례하도록 표시되어 있기 때문에 작동합니다.

예를 들어, 하위 눈금의 1에서 2까지의 거리를 상위 눈금의 1에서 3까지의 거리에 더하는 것은, 아래 부분에서 읽어지는, 6의 곱을 산출합니다. 미끄럼 자는 1970년까지 공학자와 과학자에게 필수적인 계산 도구였는데, 왜냐하면, 그것은, 정밀도를 희생하면서, 테이블을 기반으로 하는 기술보다 훨씬 빠른 계산을 허용하기 때문입니다.

Analytic properties

로그의 더 깊은 연구는 함수(function)의 개념을 요구합니다. 함수는, 하나의 숫자가 주어지면 다른 숫자를 생성하는 규칙입니다. 예제는, 임의의 실수 x에서 b의 x-번째 거듭제곱을 생성하는 함수인데, 여기서 b는 고정된 숫자입니다. 이 함수는 $f(x)=b^{x}\,$로 쓰입니다.

Logarithmic function

로그의 정의를 정당화하기 위해, 다음임을 보여줄 필요가 있으며, 방정식

$b^{x}=y\,$

은 해 x를 가지고, y는 양수이고 b는 양수이고 일과 같지 않는 것에 의해 제공되는, 이 해는 유일합니다. 그 사실의 증명은 기초 미적분학(calculus)으로부터 사잇값 정리(intermediate value theorem)를 요구합니다. 이 정리는 두 값 m과 n을 생성하는 연속 함수(continuous function)는 m과 n 사이에 놓이는 임의의 값을 역시 생성한다고 말합니다. 만약 함수가 "점프"하지 않으면, 즉, 만약 그의 그래프가 펜을 들어 올리는 것없이 그려질 수 있으면, 함수는 연속입니다.

이 속성은, 함수 f(x) = b^x에 대해 유지됨을 보일 수 있습니다. f는 임의로 크고 임의로 작은 양의 값을 취하기 때문에, 임의의 숫자 y > 0은 적절한 x₀와 x₁에 대해 f(x₀)와 f(x₁) 사이에 놓입니다. 그러므로, 사잇값 정리는 방정식 f(x) = y가 하나의 해를 가짐을 보증합니다. 게다가, 이 방정식에 대한 오직 하나의 해가 있는데, 왜냐하면 함수 f는 (b > 1에 대해) 엄격하게 증가하는(strictly increasing) 또는 (0 < b < 1에 대해) 엄격하게 감소하는 것이기 때문입니다.

유일한 해 x는 밑수 b에 대한 y의 로그, log_by입니다. y에 그의 로그를 할당하는 함수는 로그 함수(logarithm function 또는 logarithmic function 또는 그냥 logarithm)라고 불립니다.

함수 log_bx는 본질적으로 곱 공식에 의해 특징화됩니다:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.$

보다 정확하게, 임의의 밑수 b > 1에 대한 로그는 양의 실수로부터 f(b) = 1와 다음을 만족하는 실수까지 오직 증가하는 함수(increasing function) f입니다:

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Inverse function

로그 함수 log_b(x) (파란색)의 그래프는 함수 b^x (빨간색)의 그래프를 대각선 (x = y)에 반사(reflecting)하는 것에 의해 구해집니다.

거듭제곱의 로그에 대해 공식은 특히 임의의 숫자 x에 대해 다음과 같다고 말합니다:

$\log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x.$

산문에서, b의 x-번째 거듭제곱을 취한 다음 밑수-b 로그는 다시 x를 제공합니다. 역으로, 양수 y가 주어지면, 공식

$b^{\log _{b}y}=y$

은 먼저 로그를 취한 후 지수화는 다시 y를 제공하는 것이라고 말합니다. 따라서, 로그와 지수를 결합하는 것 (또는 합성하는 것)의 두 가지 가능한 방법은 원래 숫자를 되돌려 줍니다. 그러므로, 밑수 b에 대한 로그는 f(x) = b^x의 역함수(inverse function)입니다.

역 함수는 원래 함수와 밀접하게 관련됩니다. 그들의 그래프(graphs)는, 그림에서 보이는 것처럼, x-좌표와 y-좌표를 교환하는 것에 의해 (또는 대각 직선 x = y에서 반사되는 것에 의해) 서로 대응합니다: f의 그래프 위의 점 (t, u = b^t)은 로그의 그래프 위의 점 (u, t = log_bu)을 산출하고, 반대의 경우도 마찬가지입니다. 결과로써, b는 일보다 큰 것을 제공되고, 만약 x가 무한대로 증가하면, log_b(x)는 무한대로 발산(diverges to infinity)합니다 (임의의 주어진 숫자보다 더 큰 값을 얻습니다). 그 경우에서, log_b(x)는 증가하는 함수(increasing function)입니다. b < 1에 대해, log_b(x)는 대신 음의 무한대로 가는 경향이 있습니다. x가 영에 가까워질 때, log_bx는 b > 1에 대해 음의 무한대로 (b < 1에 대해 양의 무한대로, 각각) 갑니다.

Derivative and antiderivative

자연 로그 (녹색) 그리고 x = 1.5에서 그의 접선 (검은색)의 그래프.

함수의 해석적 속성은 그들 역 함수로 전달됩니다. 따라서, f(x) = b^x는 연속이고 미분-가능 함수(differentiable function)이므로, log_by도 마찬가지입니다. 대략적으로, 만약 그의 그래프가 날카로운 "구석"을 가지지 않으면, 연속 함수는 미분-가능입니다. 게다가, f(x)의 도함수(derivative)는 지수 함수(exponential function)의 속성에 의해 ln(b)b^x를 평가됨에 따라, 체인 규칙(chain rule)은, log_bx의 도함수가 다음에 의해 주어졌다는 것을 의미합니다:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$

즉, 점 (x, log_b(x))에서 밑수-b 로그의 그래프에 닿는 접선(tangent)의 기울기(slope)는 1/(x ln(b))와 같습니다.

ln x의 도함수는 1/x입니다; 이것은 ln x가, x =1에 대해 값 0을 가지는 1/x의 유일한 역도함수(antiderivative)임을 의미합니다. 그것은 "자연적인" 자연 로그의 자격을 얻기 위해 동기가 되는 매우 간단한 공식입니다; 이것은 역시 상수 e의 중요성에 대한 주된 이유 중 하나입니다.

일반화된 함수의 인수 f(x)를 가진 도함수는 다음입니다:

${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

오른쪽 변에서 몫은 f의 로그 도함수(logarithmic derivative)로 불립니다. ln(f(x))의 도함수를 수단으로 f'(x)를 계산하는 것은 로그 미분화(logarithmic differentiation)로 알려져 있습니다. 자연 로그(natural logarithm) ln(x)의 역도함수는 다음입니다:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

다른 밑수에 대한 로그의 역도함수와 같은, 관련된 공식은 밑수의 변경을 사용하여 이 방정식으로부터 유도될 수 있습니다.

Integral representation of the natural logarithm

t의 자연 로그는 함수 f(x) = 1/x (x의 역수)의 그래프 아래 음영 처리된 넓이입니다.

t의 자연 로그(natural logarithm)는 1에서 t까지의 1/x dx의 적분(integral)과 같습니다:

$\ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

달리 말해서, ln(t)는, x = 1에서 x = t까지의 범위에서, x 축과 함수 1/x의 그래프 사이의 넓이와 같습니다 (오른쪽 그림을 참조하십시오). 이것은 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)와 ln(x)의 도함수가 1/x이라는 사실의 결과입니다. 이 방정식의 오른쪽 변은 자연 로그(natural logarithm)의 정의로 쓸 수 있습니다. 곱 및 거듭제곱 로그 공식은 이 정의로부터 유도될 수 있습니다. 예를 들어, 곱 공식 ln(tu) = ln(t) + ln(u)은 다음으로 추론됩니다:

$\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).$

상등 (1)은 적분을 두 부분으로 나누지만, 상등 (2)는 변수의 변경 (w = x/t)입니다. 아래 그림에서, 분할한 것은 넓이를 노란색과 파란색 부분으로 나누는 것에 해당합니다. 왼쪽 파란색 넓이를 인수 t에 의해 수직 방향으로 재스케일링하고 그것을 같은 인수에 의해 수평 방향으로 축소하는 것은 그의 크기를 변경하지 않습니다. 그것을 적절하게 움직이면, 넓이는 다시 함수 f(x) = 1/x의 그래프를 맞춥니다. 그러므로, t에서 tu까지 f(x)의 적분인, 왼쪽 파란색 넓이는 1에서 u까지 적분과 같습니다. 이것은 보다 기하학적 증명과 함께 상등 (2)의 충분한 근거를 제시합니다.

자연 로그의 곱 공식에 대한 시각적 증명

거듭제곱 공식 ln(t^r) = r ln(t)은 비슷한 방법으로 유도될 수 있을 것입니다:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).$

두 번째 등식은 변수의 변경 (치환에 의한 적분(integration by substitution)), w = x^1/r을 사용합니다.

자연수의 역수에 걸쳐 합,

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

은 조화 급수(harmonic series)로 불립니다. 그것은 자연 로그(natural logarithm)와 밀접하게 연결됩니다: n이 무한대(infinity)로 경향일 때, 차이,

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

는 오일러-마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant) γ = 0.5772...로 알려진 숫자에 수렴(converge)합니다 (즉, 임의로 가까워집니다). 이 관계는 빠른-정렬(quicksort)과 같은 알고리듬의 성능을 분석하는 것에서 도움이 됩니다.

역시 어떤 상황에서 유용하게 쓰이는 로그의 일부 다른 적분 표현이 있습니다:

$\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right)$

$\ln(x)=\int _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{t}}\,\left[\cos(t)-\cos(xt)\right]$

첫 번째 항등식은, 그것이 x = 1에서 같은 값, 및 같은 도함수를 가짐을 보임으로써 증명될 수 있습니다. 두 번째 항등식은 다음을 쓰는 것,

${\frac {1}{t}}=\int _{0}^{\infty }\,dq\,e^{-qt}$

및 그런-다음 cos(xt) (및 cos(t))의 라플라스 변환(Laplace transform)을 삽입함으로써 입증될 수 있습니다.

Transcendence of the logarithm

대수적(algebraic)이지 않은 실수는 초월적(transcendental)이라고 불립니다; 예를 들어, π와 e는 그런 숫자이지만, ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$는 아닙니다. 거의 모든 실수는 초월적입니다. 로그는 초월적 함수(transcendental function)의 한 예제입니다. 겔폰트–슈나이더 정리(Gelfond-Schneider theorem)는, 로그가 보통 초월적, 즉, "어려운" 값을 취한다고 주장합니다.

Calculation

전형적인 과학 계산기의 로그 키 (밑수-10에 대한 LOG 그리고 밑수-e에 대한 LN)

로그는, log₁₀(1000) = 3와 같은, 일부 경우에서 계산하기 쉽습니다. 일반적으로, 로그는 거듭제곱 급수(power series) 또는 산술–기하 평균(arithmetic–geometric mean), 또는 고정된 정밀도에서 제공되는 미리-계산된 로그 테이블(logarithm table)에서 검색하는 것을 사용하여 계산될 수 있습니다. 뉴턴의 방법(Newton's method), 근사적으로 방정식을 해결하기 위한 반복적 방법은 로그를 계산하기 위해서 역시 사용될 수 있는데, 왜냐하면, 그의 역함수, 지수 함수는 효율적으로 계산될 수 있기 때문입니다. 테이블 찾기를 사용하면, CORDIC-같은 방법은, 만약 오직 유용한 연산이 덧셈과 비트 시프트(bit shifts)이면, 로그를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 게다가, 이진 로그 알고리듬(binary logarithm algorithm)은 x의 반복된 제곱화(squarings)를 기반으로 재귀적(recursively)으로 lb(x)를 계산하면, 다음 관계의 이점을 취합니다:

$\log _{2}(x^{2})=2\log _{2}(x).\,$

Power series

테일러 급수(Taylor series)

ln(z)의 테일러 급수는 z = 1에서 기준으로 합니다. 애니메이션에는 99번째 및 100번째와 함께 처음 10개의 근사가 표시됩니다. 근사는 중심으로부터 1의 거리를 넘어서 수렴하지 않습니다.

0 < z < 2를 만족시키는 임의의 실수 z에 대해, 다음 공식이 유지됩니다:

$\ln(z)={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}$

이것은, ln(z)가 다음 표현에 의해 점점 더 정확한 값으로 근사될 수 있음을 말하는 것에 대한 속기입니다:

${\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}$

예를 들어, z = 1.5와 함께 세 번째 근사는 0.4167을 산출하는데, 이것은 ln(1.5) = 0.405465보다 약 0.011 큽니다. 이 급수(series)는 임의의 정밀도와 함께 ln(z)를 근사화하며, 더해지는 숫자의 개수가 충분히 크게 제공됩니다. 기초 미적분학에서, ln(z)는 따라서 이 급수의 극한(limit)입니다. 그것은 z = 1에서 자연 로그(natural logarithm)의 테일러 급수(Taylor series)입니다. ln(z)의 테일러 급수는, z가 작을 때, 즉 |z| < 1일 때, ln(1+z)에 특히 유용한 근사를 제공하는데, 왜냐하면 다음 때문입니다:

$\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.$

예를 들어, z = 0.1와 함께 일차 근사는 ln(1.1) ≈ 0.1을 제공하며, 이것은 올바른 값 0.0953보다 5% 미만으로 작습니다.

보다 효과적인 급수(More efficient series)

또 다른 급수는, 임의의 실수 z > 0에 대해, 넓이 쌍곡 탄젠트(area hyperbolic tangent) 함수를 기반으로 합니다:

$\ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$

시그마 표기법(sigma notation)을 사용하여, 이것은 다음으로 역시 쓸 수 있습니다:

$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$

이 급수는 위의 테일러 급수로부터 유도될 수 있습니다. 그것은 테일러 급수보다 더 빨리 수렴하고, 특히 만약 z가 1에 가까울수록 그렇습니다. 예를 들어, z = 1.5에 대해, 두 번째 급수의 처음 세 항은, 약 3×10⁻⁶의 오차와 함께, ln(1.5)를 근사화합니다. 1에 가까운 z에 대해 빠른 수렴은 다음 방법에서 이점을 취할 수 있습니다: 낮은-정밀도 근사 y ≈ ln(z)가 주어지고 다음에 대입하면

$A={\frac {z}{\exp(y)}},\,$

z의 알고리듬은 다음입니다:

$\ln(z)=y+\ln(A).\,$

더 나은 초기 근사 y는, 더 가까운 A가 1이 되므로, 그의 로그는 효율적으로 계산될 수 있습니다. A는 지수 급수(exponential series)를 사용하여 계산될 수 있으며, 제공된 y가 너무 크지 않다면 빠르게 수렴합니다. 더 큰 z의 로그를 계산하면, ln(z) = ln(a) + b · ln(10)가 되도록 z = a · 10^b를 씀으로써 z의 더 작은 값으로 줄어들 수 있습니다.

밀접하게 관련된 방법은 정수의 로그를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 위의 급수에서 $\textstyle z={\frac {n+1}{n}}$를 대입하면, 그것은 다음임을 따릅니다:

$\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$

만약 더 큰 정수 n의 로그가 알려져 있으면, 이 급수는, ${\frac {1}{2n+1}}$의 수렴의 비율(rate of convergence)을 갖는, log(n+1)에 대해 빠른 수렴하는 급수를 산출합니다.

Arithmetic–geometric mean approximation

산술–기하 평균(arithmetic–geometric mean)은 자연 로그(natural logarithm)의 고정밀 근사를 산출합니다. 사사키(Sasaki)와 카나다(Kanada)는 1982년에 그것이 소수점 400과 10000 사이의 정밀도에 대해 특히 빠르다는 것을 보여주었지만, 테일러 급수 방법은, 낮은 정밀도가 요구될 때, 전형적으로 더 빨랐습니다. 그들의 연구에서, ln(x)는 (카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 기인하는) 다음 공식에 의해 2^−p (또는 p 정밀 비트)의 정밀도로 근사화됩니다:

$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).$

여기서 M(x,y)는 x와 y의 산술–기하 평균(arithmetic–geometric mean)을 나타냅니다. 그것은 x와 y의 평균 (x+y)/2 (산술 평균(arithmetic mean)) 및 ${\sqrt {xy}}$ (기하 평균(geometric mean))을 계산한 다음 그들 두 숫자가 다음 x와 y가 되게 놓은 것을 반복적으로 계산함으로써 구해집니다. 두 숫자는 M(x,y)의 값인 공통 극한으로 빠르게 수렴합니다. m은 요구되는 정밀도를 보증하기 위해 다음을 만족하도록 선택됩니다:

$x\,2^{m}>2^{p/2}.\,$

더 큰 m은 더 많은 단계를 취해서 (초기 x와 y는 더 멀리 떨어져 있으므로 그것은 수렴하기 위해서 더 많은 단계를 취합니다) M(x,y) 계산을 만들지만, 더 많은 정밀도를 제공합니다. 상수 pi와 ln(2)은 빠르게 수렴하는 급수와 함께 계산될 수 있습니다.

Feynman's algorithm

로스앨러모스 국립 연구소(Los Alamos National Laboratory)에서 맨해튼 프로젝트(Manhattan Project)를 수행하는 동안, 리처드 파인만(Richard Feynman)은 긴 나눗셈과 비슷한 비트-처리 알고리듬을 개발했고 나중에 연결 기계(Connection Machine)에 사용되었습니다. 알고리듬은, 모든 각 실수 $1<x<2$가 형식 $1+2^{-k}$의 구별되는 인수의 곱으로 고유하게 나타낼 수 있다는 사실을 사용합니다. 알고리듬은 순차적으로 해당 곱 $P$를 만듭니다: 만약 $P\cdot (1+2^{-k})<x$이면, 그것은 $P$를 $P\cdot (1+2^{-k})$로 바꿉니다. 그런-다음 그것은 관계없이 $k$를 1만큼 증가시킵니다. 알고리듬은 $k$가 원하는 정확도를 제공할 만큼 충분히 클 때 정지합니다. $\log(x)$는 인수 $1+2^{-k}$가 곱 $P$에 포함되는 것에 대해 그들 $k$에 대응하는 형식 $\log(1+2^{-k})$의 항의 합이기 때문에, $\log(x)$는, 모든 $k$에 대해 $\log(1+2^{-k})$의 테이블을 사용하여, 단순한 덧셈에 의해 계산될 수 있습니다. 임의의 밑수가 로그 테이블에 대해 사용될 수 있습니다.

Applications

로그 나선형을 표시하는 노틸러스

로그는 수학 내부와 외부에서 많은 응용을 가집니다. 이러한 발생 중 일부는 스케일 불변(scale invariance)의 개념과 관련됩니다. 예를 들어, 노틸러스(nautilus)의 껍질의 각 방은, 상수 인수에 의해 스케일된, 다음 방의 근사적인 사본입니다. 이것은 로그 나선(logarithmic spiral)을 발생시킵니다. 선행 자릿수의 분포에 관한 벤포드의 법칙(Benford's law)은 스케일 불변에 의해 역시 설명될 수 있습니다. 로그는 자기-닮음(self-similarity)과 역시 연결됩니다. 예를 들어, 로그는, 두 개의 유사한 작은 문제로 그것을 나누는 것과 그들 해를 패치하는 것에 의해 문제를 해결하는 알고리듬의 분석에서 나타납니다. 자기-유사 기하학적 모양의 차원, 즉 그의 부분이 전체 그림과 닮은 모양은 로그를 역시 기반으로 합니다. 로그 스케일(Logarithmic scale)은 그의 절대적인 차이가 아닌 값의 상대적 변화를 정량화하는 것에 대해 유용합니다. 게다가, 로그 함수 log(x)는 큰 x에 대해 매우 느리게 증가하기 때문에, 로그 스케일은 큰-스케일 과학적 데이터를 압축하기 위해서 사용됩니다. 로그는 치올콥스키 로켓 방정식(Tsiolkovsky rocket equation), 펜스케 방정식(Fenske equation), 또는 네른스트 방정식(Nernst equation)과 같은 수많은 과학적 공식에서 역시 발생합니다.

Logarithmic scale

Main article: Logarithmic scale

1920년대에서 독일 초인플레이션 동안 파피어마르크(Papiermarks)에서 일 골드마르크(Goldmark)의 가치를 묘사하는 로그 도표

과학적 양은, 로그 스케일을 사용하여, 다른 양의 로그로 종종 표현됩니다. 예를 들어, 데시벨(decibel)은 로그-스케일(logarithmic-scale) 양(quantities)과 관련된 측정의 단위(unit of measurement)입니다. 그것은 비율(ratio)의 상용 로그—전력(power) 비율의 상용 로그의 10배 또는 전압(voltage) 비율의 상용 로그의 20배—를 기반으로 합니다. 그것은 전기적 신호를 전송하는 것에서 전압 레벨의 손실을 정량화, 음향학(acoustics)에서 소리의 출력 레벨, 및 분광학(spectrometry)과 광학(optics) 분야에서 빛의 흡광도(absorbance)를 설명하기 위해 사용됩니다. (의미있는) 신호(signal)와 관련하여 원하지 않는 잡음(noise)의 양을 나타내는 신호-대-잡음 비율(signal-to-noise ratio)은 데시벨에서 역시 측정됩니다. 비슷한 문맥에서, 피크 신호-대-잡음 비율(peak signal-to-noise ratio)은 알고리듬을 사용하여 소리 및 이미지 압축(image compression) 방법의 질을 평가하기 위해 공통적으로 사용됩니다.

지진의 세기는 지진에서 방출되는 에너지의 상용 로그를 취하는 것에 의해 측정됩니다. 이것은 모멘트 규모(moment magnitude scale) 또는 릭터 규모(Richter magnitude scale)에서 사용됩니다. 예를 들어, 5.0 지진은 4.0의 에너지의 32배 (10^1.5)를 방출하고 6.0은 4.0의 에너지의 1000배 (10³)를 방출합니다. 또 다른 로그 스케일은 겉보기 등급(apparent magnitude)입니다. 그것은 별의 밝기를 로그적으로 측정합니다. 게다가 다른 예제는 화학(chemistry)에서 pH입니다; pH는 하이드로늄(hydronium) 이온 (형태 수소(hydrogen) 이온(ion) H⁺
는 물에서 취함)의 활성도(activity)에 대한 상용 로그의 음의 값입니다. 중성 물에서 하이드로늄 이온의 활성도는 10⁻⁷ mol·L⁻¹이고, 따라서 pH는 7입니다. 식초는 전형적으로 약 3의 pH를 가집니다. 4의 차이는 활성도의 10⁴의 비율에 해당하고, 즉, 식초의 하이드로늄 이온 활성도는 약 10⁻³ mol·L⁻¹입니다.

세미-로그(Semilog) (로그-선형(log-linear)) 그래프는 시각화에 대해 로그 스케일 개념을 사용합니다: 하나의 축, 전형적으로 수직 축은 로그적으로 스케일됩니다. 예를 들어, 오른쪽에서 도표는 1백만에서 1조까지의 가파른 증가를 1에서 1백만으로 증가로써 (수직 축 위에) 같은 공간에서 압축합니다. 그러한 그래프에서, 형식 f(x) = a · b^x의 지수 함수(exponential function)는 b의 로그와 같은 기울기(slope)를 갖는 직선으로 나타납니다. 로그-로그 그래프는 양 축을 로그적으로 스케일하며, 이것은 형식 f(x) = a · x^k의 함수를 지수 k와 같은 기울기를 갖는 직선으로 묘사되는 원인이 됩니다. 이것은 거듭제곱 법칙(power law)을 시각화하고 분석하는 것에서 적용됩니다.

Psychology

로그는 인간 지각(human perception)을 설명하는 여러 가지 법칙에서 발생합니다: 힉의 법칙(Hick's law)은 개인이 대안을 선택하기 위해 걸리는 시간과 그들이 가지는 선택의 숫자 사이의 로그 관계를 제안합니다. 피츠의 법칙(Fitts's law)은 목표 지역으로 빠르게 이동하기 위해 요구되는 시간은 목표에서 거리와 목표의 크기의 로그 함수인 것을 예측합니다. 정신물리학(psychophysics)에서, 베버-페히너의 법칙(Weber-Fechner law)은, 사람이 운반하고 있는 물건의 인식된 무게 대 실제 무게와 같은, 자극(stimulus)과 감각(sensation) 사이의 로그 관계를 제안합니다. (이 "법칙"은, 어쨌든, 스티븐스의 거듭제곱 법칙(Stevens' power law)과 같은 보다 최근 모델보다 덜 정확합니다.)

심리학적 연구는 수학 교육이 거의 없는 개인은 로그적으로 양을 평가하는 경향이 있는데, 즉, 그들은 그의 로그에 따라 표시되지 않은 선에 숫자를 배치하므로, 10이 100에 가까운 만큼 100은 1000에 가까이 위치되는 것을 발견했습니다. 교육을 증가하는 것은 이것을 어떤 환경에서 선형 추정 (1000을 배치하는 것 10x 멀리함에 따라)으로 전환하지만, 로그는 그려지게 되는 숫자가 선형적으로 그리기가 어려울 때 사용됩니다.

Probability theory and statistics

로그-정규 분포를 갖는 확률 변수의 세 확률 밀도 함수 (PDF). 표시된 PDF의 세 개 모두에 대해 영인, 위치 매개 변수 μ는, 변수 자체의 평균이 아니라, 확률 변수의 로그의 평균입니다.

전 세계 237개국의 인구의 첫 번째 자릿수 (%의, 빨간색 막대) 분포. 검정 점은 벤포드의 법칙에 의해 예측된 분포를 나타냅니다.

로그는 확률 이론(probability theory)에서 나타납니다: 큰 숫자의 법칙(law of large numbers)은, 공정한 동전(fair coin)에 대해, 동전-던지기의 숫자가 무한대로 증가함에 따라, 앞면의 관찰된 비율이 절반으로 접근한다는 것을 구술합니다. 절반에 대한 이 비율의 파동은 반복된 로그의 법칙에 의해 설명됩니다.

로그는 로그-정규 분포(log-normal distribution)에서 역시 발생합니다. 확률 변수(random variable)의 로그가 정규 분포(normal distribution)를 가질 때, 변수는 로그-정규 분포를 가지는 것으로 말합니다. 로그-정규 분포는, 변수가 많은 독립적인 양의 확률 변수의 곱으로 형성되는 어디든지, 예를 들어 난류 연구에서, 많은 분야에서 발생합니다.

로그는 매개변수 통계적 모델(statistical model)의 최대-가능도 추정(maximum-likelihood estimation)에 사용됩니다. 그러한 모델에 대해, 가능도 함수(likelihood function)는 반드시 추정되어야 하는 적어도 하나의 매개변수(parameter)에 의존합니다. 가능도 함수의 최고점은, 로그가 증가하는 함수이기 때문에, 가능도의 로그 ("로그 가능도")의 최고점으로 같은 매개변수-값에서 발생합니다. 로그-가능도(log-likelihood)는 최대화하는 것이 더 쉬우며, 특히 독립(independent) 확률 변수에 대해 곱해진 가능도에 대해 그렇습니다.

벤포드의 법칙(Benford's law)은, 건물의 높이와 같은, 많은 데이터 집합(data set)에서 자릿수의 발생을 설명합니다. 벤포드의 법칙에 따르면, 측정의 단위에 관계없이, 데이터 표본에서 항목의 첫 번째 십진수-자릿수가 d (1에서 9까지)인 확률은 log₁₀(d + 1) − log₁₀(d)와 같습니다. 따라서, 데이터의 약 30 %는 첫 번째 자릿수로 1을 가지고, 2와 함께 18%로 시작, 등으로 예상될 수 있습니다. 감사들은 사기성 회계를 탐지하기 위해 벤포드의 법칙으로부터 편차를 검사합니다.

Computational complexity

알고리듬의 분석(analysis of algorithms)은 알고리듬(algorithm) (특정 문제를 해결하는 컴퓨터 프로그램)의 성능(performance)을 연구하는 컴퓨터 과학(computer science)의 한 분야입니다. 로그는 문제를 작은 문제로 나누는 알고리듬을 설명하고, 하위 문제의 해를 결합하는 것에 대해 가치있습니다.

예를 들어, 정렬된 목록에서 숫자를 찾기 위해서, 이진 검색 알고리듬(binary search algorithm)은 중간 엔트리를 검사하고 만약 그 번호가 여전히 발견되지 않으면 중간 엔트리의 앞 또는 뒤 절반으로 진행합니다. 이 알고리듬은, 평균적으로, log₂(N) 비교를 요구하며, 여기서 N은 목록의 길이입니다. 비슷하게, 병합 정렬(merge sort) 알고리듬은 목록을 반으로 나누고 결과를 병합하기 전에 먼저 그들을 정렬함으로써 정렬되지 않은 목록을 정렬합니다. 병합 정렬 알고리듬은 전형적으로 N · log(N)에 근사적으로 비례하는 시간을 요구합니다. 로그의 밑수는 여기에 지정되지 않는데, 왜냐하면 결과는, 다른 밑수가 사용될 때, 상수 인수에 오직 변경되기 때문입니다. 상수 인수는 표준 균등 비용 모델(uniform cost model) 아래에서 알고리듬의 분석에서 보통 무시됩니다.

만약 f(x)가 x의 로그에 (정확하게 또는 근사적으로) 비례하면, 함수 f(x)는 로그적으로 증가한다고 말합니다. (유기체 성장의 생물학적 설명은, 어쨌든, 지수 함수에 대해 이 용어를 사용합니다.) 예를 들어, 임의의 자연수(natural number) N은 log₂(N) + 1 비트(bit) 이하의 이진 형식(binary form)으로 표현될 수 있습니다. 달리 말해서, N을 저장하기 위해 요구되는 메모리(memory)의 양은 N과 함께 로그적으로 증가합니다.

Entropy and chaos

타원형 당구 테이블 위의 당구입니다. 중심에서 시작하여 1도씩 다른 각도로 시작하는, 두 개의 입자는 경계에서 반사(reflection)로 인해 혼돈적으로 갈라지는 경로를 취합니다.

엔트로피(Entropy)는 어떤 시스템의 장애를 대체로 측정합니다. 통계적 열역학(statistical thermodynamics)에서, 어떤 물리적 시스템의 엔트로피 S는 다음과 같이 정의됩니다:

$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,$

그 합은, 용기 안의 기체 입자의 위치와 같은, 질문에서 해당 시스템의 모든 가능한 상태들 i에 관한 것입니다. 게다가, p_i는 상태 i가 도달하는 확률이고 k가 볼츠만 상수(Boltzmann constant)입니다. 비슷하게, 정보 이론에서 엔트로피는 정보의 양을 측정합니다. 만약 메시지 수신자가 같은 가능도를 갖는 N 가능한 메시지 중 임의의 하나를 기대할 수 있으면, 그러한 메시지 중 임의의 하나에 의해 전달되는 정보의 양은 log₂(N) 비트로서 정량화됩니다.

랴푸노프 지수(Lyapunov exponent)는 동역학적 시스템(dynamical system)의 혼란의 정도를 계량하기 위해서 로그를 사용합니다. 예를 들어, 타원형 당구대에서 움직이는 입자에 대해, 심지어 초기 조건의 작은 변경은 입자의 매우 다른 경로를 초래합니다. 그러한 시스템은 결정론적(deterministic) 방법에서 혼돈적(chaotic)인데, 왜냐하면 초기 상태의 작은 측정 오류가 큰 다른 최종 상태에 이어지기 때문입니다. 결정론적으로 혼돈 시스템의 적어도 하나의 랴푸노프 지수는 양(positive)입니다.

Fractals

시에르핀스키 삼각형 (오른쪽)은 등변 삼각형(equilateral triangle:정삼각형)을 세 개의 작은 등변 삼각형으로 반복하여 교체함으로써 구성됩니다.

로그는 프랙탈(fractal)의 차원(dimension)의 정의에서 발생합니다. 프랙탈은 자기-유사(self-similar)인 기하학적 대상입니다: 작은 부분은, 적어도 대략적으로, 완전한 전체 구조를 재현합니다. (오른쪽에 그려진) 시에르핀스키 삼각형은, 각 변이 원래 길이의 절반을 가지는, 그 자체의 세 사본으로 덮일 수 있습니다. 이것은 이 구조의 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)을 ln(3)/ln(2) ≈ 1.58로 만듭니다. 차원의 다른 로그-기반 개념은 문제에서 프랙탈을 덮기 위해서 요구되는 상자의 숫자를 세는 것(counting the number of boxes)에 의해 구할 수 있습니다.

Music

네 개의 다른 옥타브가 선형 스케일로 표시되고, 그 다음 로그 스케일로 표시됩니다 (귀에 들리는 것처럼).

로그는 음악의 톤과 음정(intervals)에 관련됩니다. 평균율(equal temperament)에서, 주파수 비율은, 개별 톤의 특정 주파수, 또는 음도(pitch)가 아닌, 두 톤 사이의 음정에 오직 의존합니다. 예를 들어, 음표 A(note A)는 440 Hz의 주파수를 가지고 B-변음(B-flat)은 466 Hz의 주파수를 가집니다. A 및 B-변음 사이의 음정은 반음(semitone)인데, 왜냐하면 B-변음과 B (주파수 493 Hz) 사이의 하나이기 때문입니다. 그에 따라서, 주파수 비율은 다음과 일치합니다:

${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$

그러므로, 로그는 음정을 설명하기 위해서 사용될 수 있습니다: 음정은 주파수 비율의 밑수-2^1/12 로그를 취하는 것에 의해 반음에서 측정되지만, 주파수 비율의 밑수-2^1/1200 로그는, 반음의 백분위, 센트(cents)에서 음정을 나타냅니다. 후자는 보다 미세한 인코딩에 사용되는데, 왜냐하면 그것은 비-평균율에 대해 요구되기 때문입니다.

Interval (the two tones are played at the same time)	1/12 tone play	Semitone play	Just major third play	Major third play	Tritone play	Octave play
Frequency ratio r	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595$	${\tfrac {5}{4}}=1.25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
Corresponding number of semitones $\log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)$	${\tfrac {1}{6}}\,$	$1\,$	$\approx 3.8631\,$	$4\,$	$6\,$	$12\,$
Corresponding number of cents $\log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)$	$16{\tfrac {2}{3}}\,$	$100\,$	$\approx 386.31\,$	$400\,$	$600\,$	$1200\,$

Number theory

자연 로그(natural logarithm)는, 숫자 이론에서 하나의 중요한 주제, 소수를 세는 것(counting prime number) (2, 3, 5, 7, 11, ...)과 밀접하게 연결됩니다. 임의의 정수 x에 대해, x보다 작거나 같은 소수의 양은 π(x)로 표시됩니다. 소수 정리(prime number theorem)는 π(x)가 다음에 의해, x가 무한대로 경향일 때 π(x)의 비율과 분수인 것의 의미에서, 근사적으로 주어진다고 단언합니다:

${\frac {x}{\ln(x)}}$.

결과로써, 1과 x 사이의 무작위로 선택된 숫자는 소수일 확률은 x의 십진수 자릿수의 숫자에 반비례합니다. π(x)의 꽤 나은 추정은 다음으로 정의되는 오프셋 로그 적분(offset logarithmic integral) 함수 Li(x)에 의해 주어집니다:

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.$

가장 오래된 열린 수학적 추측(conjecture) 중 하나, 리만 가설(Riemann hypothesis)은 π(x)와 Li(x)를 비교하는 관점에서 언급될 수 있습니다. 구별되는 소수 인수(prime factor)의 숫자를 나타내는 에드되시–카츠 정리(Erdős–Kac theorem)는 자연 로그(natural logarithm)를 역시 포함합니다.

n 계승(factorial), n! = 1 · 2 · ... · n의 로그는 다음에 의해 주어집니다:

$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).\,$

이것은 큰 n에 대해 n!의 근사, 스털링의 공식(Stirling's formula)을 얻기 위해 사용될 수 있습니다.

Generalizations

Complex logarithm

Main article: Complex logarithm

z = x + iy의 극 형식. φ와 φ' 둘다는 z의 편각입니다.

다음 방정식을 푸는 모든 복소수(complex number) a는, z가 복소수일 때 (또는 복소수로 고려될 때), z의 복소 로그(complex logarithms)로 불립니다.

$e^{a}=z$

복소수는 z = x + iy로 공통적으로 표현되며, 여기서 x와 y는 실수이고 i는, 그것의 제곱이 −1이 되는, 허수 단위(imaginary unit)입니다. 그러한 숫자는, 오른쪽에서 보이는 것처럼, 복소 평면(complex plane)에서 한 점으로 시각화될 수 있습니다. 극 형식(polar form)은 그의 절댓값(absolute value), 즉, 원점(origin)에 대한 (양의, 실수) 거리 r, 및 실수 (x)축 Re 및 원점과 z 둘 다를 통과하는 직선 사이의 각에 의해 비-영 복소수 z를 인코딩합니다. 이 각은 z의 편각(argument)으로 불립니다.

z의 절댓값 r은 다음에 의해 주어집니다:

$\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

$\sin$와 $\cos$의 기하학적 해석과 $2\pi$에서 그들 주기성을 사용하여, 임의의 복소수 z는, 임의의 정수 k에 대해, 다음으로 나타낼 수 있습니다:

$z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi ))$.

분명히 z의 편각은 유일하게 지정되지 않습니다: 모든 정수 k에 대해, φ와 φ' = φ + 2kπ 모두는 z의 유효한 편각인데, 왜냐하면 φ에 2kπ 라디안(radian) 또는 k⋅360°를 더하는 것은 원점을 중심으로 반-시계-방향으로 k 회전(turns)만큼 "감는 것(winding)"에 해당하기 때문입니다. 결과 복소수는, k = 1에 대해 오른쪽에서 삽화를 넣은 것처럼, 항상 z입니다. 대문자 A를 가진, Arg(z)로 표시되는, 소위 주요 편각으로 z의 가능한 편각 중에 정확히 하나를 선택할 수 있으며, 요구되는 φ는 $-\pi <\varphi \leq \pi$ 또는 $0\leq \varphi <2\pi$와 같은, 편리하게 선택된 회전 중 하나에 속합니다. z의 편각이 유일하게 결정되는, 이들 영역은 편각 함수의 가지(branches)라고 불립니다.

복소 로그 Log(z)의 주요 가지 (-π, π]. z = 1에서 검은 점은 절댓값 0에 해당하고 (보다 포화된(saturated)) 더 밝은 색은 더 큰 절댓값을 나타냅니다. 색의 색조(hue)는 Log(z)의 편각을 인코딩합니다.

오일러의 공식(Euler's formula)은 삼각 함수 사인(sine) 및 코사인(cosine)에 복소 지수(complex exponential)를 연결합니다:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

이 공식, 및 다시 주기성을 사용하여, 다음 항등식은 유지됩니다:

${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=&re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=&e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{array}}$

여기서 ln(r)은 고유한 실수 자연 로그이고, a_k는 z의 복소 로그를 나타내고, k는 임의의 정수입니다. 그러므로, e의 a_k-번째 거듭제곱이 z인 것에 대해 모든 그들 복소수 값 a_k, z의 복소 로그는 다음의 무수히 많은 값입니다:

임의의 정수 k에 대해, $\quad a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )$.

$\varphi +2k\pi$가 주요 편각에 대해 정의된 구간 안에 있는 것을 만족하는 k를 취하면, a_k는, 다시 대문자 L을 가진, Log(z)로 표시되는, 로그의 주요 값(principal value)으로 불립니다. 임의의 양의 실수 x의 주요 편각은 0입니다; 그러므로 Log(x)는 실수이고 실수 (자연) 로그와 같습니다. 어쨌든, 곱과 거듭제곱의 로그에 대한 위의 공식은 복소 로그의 주요 값으로 일반화되지 않습니다.

오른쪽에서 삽화는 Log(z)를 나타내고, z의 편각을 구간 (-π, π]에 한정합니다. 이 방법 복소 로그의 해당하는 가지는 음의 실수 x 축을 따라 모든 불연속성을 가지며, 이것은 그곳에서 색조의 점프로 보일 수 있습니다. 이 불연속성은, 경계를 교차했을 때, 즉, 연속적으로 이웃하는 가지의 해당하는 k-값으로 변경하지 않을 때, 같은 가지에서 다른 경계로 점프하는 것에서 발생합니다. 그러한 위치는 가지 자름(branch cut)으로 불립니다. 편각에 대한 범위 제한을 버리면, 관계 "z의 편각", 및 결과적으로 "z의 로그", 다중-값 함수(multi-valued function)를 만듭니다.

Inverses of other exponential functions

지수는 수학의 많은 영역에서 발생하고 그의 역함수는 로그로서 자주 참조됩니다. 예를 들어, 행렬의 로그(logarithm of a matrix)는 행렬 지수(matrix exponential)의 (다중-값) 역함수입니다. 또 다른 예제는 p-진수 로그(p-adic logarithm), p-진수 지수(p-adic exponential)의 역함수입니다. 둘 다는 실수 경우와 유사한 테일러 급수를 통해 정의됩니다. 미분 기하학의 문맥에서, 지수 맵(exponential map)은 매니폴드의 한 점에 있는 접 공간을 그 점의 이웃(neighborhood)으로 매핑합니다. 그의 역함수는 로그 맵이라고 역시 불립니다.

유한 그룹(finite groups)의 문맥에서 지수는 하나의 그룹 원소 b와 그 자체를 반복적으로 곱하는 것으로 주어집니다. 이산 로그(discrete logarithm)는 다음 방정식을 푸는 정수 n입니다:

$b^{n}=x,\,$

여기서 x는 그룹의 원소입니다. 지수를 수행하는 것은 효율적으로 완료될 수 있지만, 이산 로그는 일부 그룹에서 계산하기 매우 어려울 것으로 믿어집니다. 이 비대칭은, 비-보안 정보 채널을 통해 암호화(cryptography) 키의 안전한 교환을 허용하는 루틴, 디피–헬먼 키 교환(Diffie–Hellman key exchange), 예제에 대한 것처럼, 공개 키 암호화(public key cryptography)에서 중요한 응용을 가집니다. 체흐의 로그(Zech's logarithm)는 유한 필드(finite field)의 비-영 원소의 곱셈적 그룹에서 이산 로그와 관련됩니다.

더 많은 로그-같은 역함수는 이중 로그(double logarithm) ln(ln(x)), super- or hyper-4-logarithm (컴퓨터 과학에서 반복 로그(iterated logarithm)라고 불리는 것의 약간의 변화), 람베르트 W 함수(Lambert W function), 및 로짓(logit)을 포함합니다. 그것들은 f(w) = we^w, 및 로지스틱 함수, 각각의, 이중 지수 함수(double exponential function), 테트레이션(tetration)의 역함수입니다.

Related concepts

그룹 이론(group theory)의 관점으로부터, 항등식 log(cd) = log(c) + log(d)는 곱셈 아래의 양의 실수(real)와 덧셈 아래의 실수 사이의 그룹 동형(group isomorphism)을 표현합니다. 로그 함수는 이러한 그룹들 사이에서 유일한 연속 동형입니다. 그 동형을 수단으로, 실수에 대한 하르 측정(Haar measure) (르베그 측정(Lebesgue measure)) dx는 양의 실수에 대한 하르 측정 dx/x에 해당합니다. 비-음의 실수는 곱셈을 가질뿐만 아니라, 덧셈을 가지고, 확률 반-링(probability semiring)이라고 불리는, 반-링(semiring)을 형성합니다; 이것은 사실 반-필드(semifield)입니다. 로그는 그런 다음 덧셈에 대한 곱셈을 취하고 (로그 곱셈), 로그 덧셈에 대한 덧셈 (LogSumExp)을 취하여, 확률 반-링과 로그 반-링(log semiring) 사이에 반-링의 동형(isomorphism)을 제공합니다.

로그 일-형식(Logarithmic one-forms) df/f는 복소 해석학(complex analysis)과 대수 기하학(algebraic geometry)에서 로그 극(pole)을 가진 미분 형식(differential form)으로 나타납니다.

다중-로그(polylogarithm)는 다음에 의해 정의되는 함수입니다:

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$

이것은 Li₁(z) = −ln(1 − z)에 의해 자연 로그(natural logarithm)와 관련됩니다. 게다가, Li_s(1)은 리만 제타 함수(Riemann zeta function) ζ(s)와 같습니다.

See also

• Cologarithm
• Decimal exponent (dex)
• Exponential function
• Index of logarithm articles
• Logarithmic notation

External links

• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, retrieved 2010-10-12
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, archived from the original on 3 December 2002, retrieved 2010-10-12{{citation}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• Glaisher, James Whitbread Lee (1911). "Logarithm" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 16 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 868–77.