Line segment

The geometric definition of a closed line segment: the intersection of all points at or to the right of A with all points at or to the left of B

기하학(geometry)에서, 선분(line segment)은 두 개의 구별되는 끝 점(points)에 의해 경계진 직선(line)의 일부이고, 그의 끝 점 사이에 있는 직선 위의 모든 각 점을 포함합니다. 닫힌 선분(closed line segment)은 끝점 둘 다를 포함하고, 반면에 열린 선분(open line segment)은 끝점 둘 다를 제외합니다; 반-열린 선분(half-open line segment)은 끝점 중 정확히 하나를 포함합니다. 기하학(geometry)에서, 선분은 종종 ( ${\overline {AB}}$ 와 같은) 두 끝점에 대해 기호 위에 직선을 사용하여 표시됩니다.^[1]^[2]

선분의 예제은 삼각형 또는 정사각형의 변을 포함합니다. 보다 일반적으로, 선분의 끝점의 둘 다가 다각형(polygon) 또는 다면체(polyhedron)의 꼭짓점일 때, 선분은 만약 그것들이 인접한 꼭짓점이면 (해당 다각형 또는 다면체의) 가장자리(edge)이고, 그렇지 않으면 대각선(diagonal)입니다. 끝점 둘 다가 (원과 같은) 곡선(curve) 위에 놓이면, 선분은 (해당 곡선의) 현(chord)이라고 불립니다.

In real or complex vector spaces

만약 V가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 에 걸쳐 벡터 공간(vector space)이고, L이 V의 부분집합(subset)이면, L은 만약 그것이 어떤 벡터 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ 에 대해 다음으로 매개변수화될 수 있으면 선분입니다:

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}

.

이 경우에서, 벡터 u와 u + v는 L의 끝점이라고 불립니다.

때때로, 우리가 "열린" 선분과 "닫힌" 선분을 구분할 필요가 있습니다. 이 경우에서, 우리는 위와 같이 닫힌 선분을 정의하고 일부 벡터 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ 에 대해 다음으로 매개변수화될 수 있는 부분집합 L로 열린 선분을 정의합니다:

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}

.

동등하게, 선분은 두 점의 볼록 껍질(convex hull)입니다. 따라서, 선분은 선분의 두 끝점의 볼록 조합(convex combination)으로 표현될 수 있습니다.

기하학(geometry)에서, 우리는 만약 거리 BC에 더해진 거리 AB가 거리 AC와 같으면 점 B를 다른 두 점 A와 C 사이에 있도록 정의할 수 있습니다. 따라서 $\mathbb {R} ^{2}$ 에서, 끝점 A = (a_x, a_y)와 C = (c_x, c_y)를 갖는 선분은 다음 점들의 모음입니다:

\left\{(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}\right\}.

Properties

선분은 연결된(connected), 비-빈(non-empty) 집합(set)입니다.
만약 V가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)이면, 닫힌 선분은 V에서 닫힌 집합(closed set)입니다. 어쨌든, 열린 선분이 V에서 열린 집합(open set)인 것과 V가 일-차원(one-dimensional)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.
위의 것보다 보다 일반적으로, 선분의 개념은 순서화된 기하학(ordered geometry)에서 정의될 수 있습니다.
선분의 쌍은 다음 중 임의의 하나: 교차(intersecting), 평행(parallel), 꼬임(skew), 또는 이것들 중 어떤 것도 아닌 것일 수 있습니다. 마지막 가능성은 선분이 직선과 다른 방법입니다: 만약 둘의 비-평행 직선이 같은 유클리드 평면에 있으면, 그것들은 서로 교차해야 하지만, 그것은 선분에 해당할 필요는 없습니다.

In proofs

기하학의 공리적 처리에서, 사이의 개념은 특정 숫자의 공리를 만족시키는 것으로 가정하거나, (좌표 시스템으로 사용되는) 직선의 등거리변환(isometry)의 관점에서 정의됩니다.

선분은 다른 이론에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 집합은 만약 그것의 임의의 두 점을 연결하는 선분이 그 집합에 포함되면 볼록입니다. 이것은 중요한데 왜냐하면 그것은 볼록 집합의 해석의 일부를 선분 해석으로 변환하기 때문입니다. 선분 덧셈 공준(segment addition postulate)은 합동 선분 또는 같은 길이를 갖는 선분을 더하기 위해 사용될 수 있고, 결과적으로 다른 선분을 선분 합동을 만들기 위해 또 다른 명제로 대체하기 위해 사용될 수 있습니다.

As a degenerate ellipse

선분은 반-보조축이 0으로 가고, 초점들(foci)이 끝점으로 가고, 이심률이 1로 가는 타원(ellipse)의 퇴화 경우(degenerate case)로 보일 수 있습니다. 타원의 표준 정의는 두 초점(foci)에 대한 점들의 거리의 합이 일정한 점의 집합입니다; 만약 이 상수가 초점 사이의 거리와 같으면, 선분이 결과입니다. 이 타원의 완전한 궤도는 선분을 두 번 횡단합니다. 퇴화 궤도로서, 이것은 방사형 타원 궤도(radial elliptic trajectory)입니다.

In other geometric shapes

다각형(polygon)과 다면체(polyhedra)의 가장자리와 대각선(diagonal)으로 나타나는 것 외에도, 선분은 역시 다른 기하학적 모양(geometric shape)과 관련하여 여러 다른 위치에 나타납니다.

Triangles

삼각형(triangle)에서 일부 매우 자주 고려된 선분은 셋의 고도(altitudes) (각각 변 또는 그것의 연장선(extension)을 반대 꼭짓점(vertex)에서 수직(perpendicular)적으로 연결), 셋의 중앙선(median) (각각 변의 중간점(midpoint)을 반대쪽 꼭짓점에 연결), 변의 수직 이등분선(perpendicular bisector) (변의 중간점을 다른 변 중 하나에 수직으로 연결), 및 내부 각도 이등분선(internal angle bisector) (각각 꼭짓점을 반대쪽 변에 연결)을 포함합니다. 각각의 경우에서, 이들 선분 길이를 다른 선분과 관련시키는 다양한 상등(equalities) (다양한 유형의 선분에 대한 기사에서 논의됨)과 다양한 부등식(various inequalities)이 있습니다.

삼각형에서 다른 관심있는 선분은 다양한 삼각형 중심(triangle center), 특히 내-중심(incenter), 둘레-중심(circumcenter), 아홉-점 중심(nine-point center), 도형-중심(centroid) 및 직교-중심(orthocenter)을 서로 연결하는 선분을 포함합니다.

Quadrilaterals

사변형(quadrilateral)의 변과 대각선 외에도, 몇 가지 중요한 선분은 둘의 쌍-중앙선(bimedians) (반대쪽 변의 중간점을 연결)과 넷의 적도(maltitudes) (각각 한 변을 반대쪽 변의 중간점에 수직적으로 연결)입니다.

Circles and ellipses

원(circle)이나 타원(ellipse) 위에 두 점을 연결하는 직선 선분은 현(chord)이라고 불립니다. 더 이상 현을 가지지 않는 원에서 임의의 현은 지름(diameter)이라고 불리고, 원의 중심(center) (지름의 중간점)을 원 위의 한 점에 연결하는 선분은 반지름(radius)이라고 불립니다.

타원에서, 가장 긴 현은, 역시 가장 긴 지름(diameter)이며, 주요 축(major axis)이라고 불리고, 주요 축의 중간점 (타원의 중심)에서 주요 축의 끝점 중 하나까지의 선분은 반-주요 축(semi-major axis)이라고 불립니다. 유사하게, 타원의 가장 짧은 지름은 보조 축(minor axis)이라고 불리고, 그것의 중간점 (타원의 중심)에서 끝점 중 하나까지의 선분은 반-보조 축(semi-minor axis)이라고 불립니다. 주요 축에 수직(perpendicular)이고 초점(foci) 중 하나를 통과하는 타원의 현은 타원의 래투스 렉텀(latus rectum)이라고 불립니다. 내부-초점 선분(interfocal segment)은 두 초점을 연결합니다.

Directed line segment

선분이 방향(orientation)을 제공할 때, 그것은 평행이동(translation) 또는 아마도 평행이동을 만들려는 경향이 있는 힘(force)을 제안합니다. 크기와 방향은 잠재적인 변화를 나타냅니다. 이 제안은 유클리드 벡터(Euclidean vector)의 개념을 통해 수학적 물리학(mathematical physics)에 흡수되어 왔습니다.^[3]^[4] 모든 방향화된 선분의 모음은 보통 같은 길이와 방향을 가진 "동등한" 임의의 쌍을 만듦으로써 줄어듭니다.^[5] 동치 관계(equivalence relation)의 이 응용은 1835년에 방향화된 선분의 등평성(equipollence)의 개념의 쥬스토 벨라비데스(Giusto Bellavitis)의 도입으로부터 시작되었습니다.

Generalizations

위의 직선(straight line) 분할과 유사하게, 우리는 역시 곡선(curve)의 분할로 호(arcs)를 정의할 수 있습니다.

Notes

^ "List of Geometry and Trigonometry Symbols". Math Vault. 2020-04-17. Retrieved 2020-09-01.
^ "Line Segment Definition - Math Open Reference". www.mathopenref.com. Retrieved 2020-09-01.
^ Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysis, 5th edition, page 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
^ Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis, pages 9 & 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
^ Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis, pages 2 & 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7

References

David Hilbert The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

External links

Weisstein, Eric W. "Line segment". MathWorld.
Line Segment at PlanetMath
Copying a line segment with compass and straightedge
Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration

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[1] "List of Geometry and Trigonometry Symbols". Math Vault. 2020-04-17. Retrieved 2020-09-01.

[2] "Line Segment Definition - Math Open Reference". www.mathopenref.com. Retrieved 2020-09-01.

[3] Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysis, 5th edition, page 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5

[4] Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis, pages 9 & 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1

[5] Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis, pages 2 & 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7

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