지수함수와 로그함수의 미분

지수함수와 로그함수에서 자주 사용하는 기본 함수에 대한 도함수를 미리 구해 놓고 공식처럼 테이블에서 읽어서 사용하고자 합니다.

지수함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 지수함수 $y=a^{x}$에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

${\begin{aligned}y'&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}\\&=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\\&=a^{x}\ln a\\\end{aligned}}$

특히 $a=e$, 즉 $y=e^{x}$이면, 도함수 $y'=e^{x}$입니다. 함수와 도함수가 같은 함수로써, 증명은 위의 증명 식에서 $a$를 $e$로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

지수에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 $y=e^{\{f(x)\}}$의 도함수는 $y'=e^{\{f(x)\}}f'(x)$입니다.
• 함수 $y=a^{\{f(x)\}}$의 도함수는 $y'=a^{\{f(x)\}}f'(x)\ln {a}$입니다.

로그함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 로그함수 $y=\log _{a}x$에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

${\begin{aligned}y'&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}{(x+h)}-\log _{a}x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+{\frac {h}{x}})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{x\ln {a}}}{\frac {\ln(1+{\frac {h}{x}})}{\frac {h}{x}}}\\&={\frac {1}{x\ln {a}}}\end{aligned}}$

여기서, $a=e$, 즉 $y=\ln x$이면, 도함수 $y'={\frac {1}{x}}$입니다. 증명은 위의 증명 식에서 $a$를 $e$로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

로그에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 $y=\ln {f(x)}$의 도함수는 $y'={\frac {f'(x)}{f(x)}}$입니다.
• 함수 $y=\log _{a}{f(x)}$의 도함수는 $y'={\frac {f'(x)}{f(x)\ln {a}}}$입니다.