여러 가지 함수의 부정적분

미적분1의 부정적분에서, 다항함수의 부정적분에 대해 소개를 했습니다. 이제 새롭게 배운 초월함수의 부정적분에 대해 소개하고자 합니다.

이 기사에서 $C$ 는 적분상수를 나타내고, 그 문구를 명시적으로 표시하지 않은 경우가 있을 수 있습니다.

함수 $y=x^{n}$ ( $n$ 은 실수)의 부정적분

미적분1의 다항함수의 미분법은 $y=x^{n}$ ( $n$ 은 자연수)의 도함수를 소개했고, 몫의 미분법에서 $n$ 이 음의 정수일 때에도 같은 결과를 가짐을 보였습니다. 즉, 도함수

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

에 대해, 역도함수(적분)을 구하면,

\int \left\{{\frac {d}{dx}}x^{n}\right\}dx=\int nx^{n-1}dx

그러므로,

\int nx^{n-1}dx=x^{n}+C

(

C

는 적분상수)

이때, $n\neq 0$ 이면, 양쪽 변을 $n$ 으로 나누고, $n-1=m$ 을 대입하면,

\int x^{m}dx={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}+C

여기서, 적분 상수는 나눗셈을 하지 않는 이유는 어차피 적분상수는 임의의 숫자이므로, 임의의 숫자를 나눈 값도 임의의 숫자이기 때문입니다.

한편, 만약, $n=0$ , 즉, $m=-1$ 이면,

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}=x^{-1}

에 대해, 역도함수를 적용하면,

\int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C

(

C

는 적분상수)

{\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln a

역도함수를 구해보면,

\int a^{x}dx={\frac {1}{\ln a}}a^{x}+C

양쪽 변에 $a=e$ 를 대입하면,

\int e^{x}dx=e^{x}+C

삼각함수의 미분에 대해, 그의 역도함수를 구해보면,

\int \sin xdx=-\cos x+C

\int \cos xdx=\sin x+C

\int \sec ^{2}xdx=\tan x+C

\int \csc ^{2}xdx=-\cot x+C