Generalizations of the derivative

수학(mathematics)에서, 도함수(derivative)는 미분 미적분학(differential calculus)의 기본 구조이고 수학적 해석학(mathematical analysis), 조합론(combinatorics), 대수학(algebra), 및 기하학(geometry) 분야에서 많은 가능한 일반화를 인정합니다.

Derivatives in analysis

실수, 복소수, 및 함수형 해석학에서, 도함수는 여러 실수 또는 복소수 변수의 함수 및 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces) 사이의 함수에 대해 일반화됩니다. 중요한 경우는 변화의 계산법(calculus of variations)에서 변화의 도함수(variational derivative)입니다. 미분화를 반복된 적용은 고차원의 도함수 및 미분 연산자로 이어집니다.

Multivariable calculus

도함수는 종종 단일 실수 변수의 단일 실수 함수에 대한 연산으로 처음에 충족됩니다. 일반화에 대해 가장 단순한 설정 중 하나는 여러 변수의 벡터-값 함수입니다 (대부분 도메인은 마찬가지로 벡터 공간을 형성합니다). 이것은 다변수 미적분학(multivariable calculus)의 분야입니다.

일-변수 미적분학에서, 우리는, 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 가 만약 다음 극한이 존재하면 점 x에서 미분 가능이라고 말합니다:

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

그의 값은 그때에 도함수 ƒ'(x)입니다. 함수는 만약 그것이 구간(interval) 내부의 모든 각 점에서 미분-가능이면 구간 위에 미분-가능입니다. 직선 $L(z)=f'(x)z-f'(x)x+f(x)$ 는 점 $(x,f(x))$ 에서 원래 함수에 대해 접하므로, 도함수는 함수의 최상의 선형 근사를 찾기 위한 방법으로 보일 수 있습니다. 만약 우리가 상수 항을 무시하고, $L(z)=f'(x)z$ 로 설정하면, L(z)는, 그 자체에 걸친 벡터 공간으로 여겨지는, R 위의 실제 선형 연산자(linear operator)가 됩니다.

이것은 R^m을 Rⁿ으로 매핑하는 함수에 대한 다음의 일반화에 동기-부여합니다: ƒ는, 만약 다음을 만족하는 (x에 따라) 선형 연산자(linear operator) A(x)가 존재하면, x에서 미분 가능입니다:

\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-A(x)h\|}{\|h\|}}=0.

비록 이 정의가 아마도 위에서 만큼 명확하지 않을지라도, 만약 그러한 연산자가 존재한다면, 그것은 유일하고, 일-차원의 경우에서 원래의 정의와 일치합니다. (이 경우에서 도함수는 단 하나의 엔트리 f'(x)로 구성되는 1-x-1 행렬로써 표시됩니다.) 일반적으로, 우리는 함수가 개별적인 점 이외의 $x$ 의 일부 열린 이웃(neighbourhood)에서 미분-가능이 되는 함수를 우리 스스로 대부분 우려하고, 그렇게 하지 않는 것이 많은 병리적인(pathological) 반대 예제(counterexamples)로 이어지는 경향이 있음을 주목하십시오.

선형 연산자(linear operator) A(x)의 n × m 행렬(matrix)은 점 x에서 매핑 ƒ의 야코비(Jacobian) 행렬 J_x(ƒ)로 알려져 있습니다. 이 행렬의 각 엔트리는, 도메인 좌표에서 변화에 관한 하나의 범위 좌표의 변화의 비율을 지정하는 부분 도함수(partial derivative)를 나타냅니다. 물론, 합성 g_°f의 야코비 행렬은 대응하는 야코비 행렬의 곱: J_x(g_°f) =J_ƒ(x)(g)J_x(ƒ)입니다. 이것은 체인 규칙(chain rule)의 고-차원 명제입니다.

Rⁿ에서 R (스칼라 필드)로의 실수-값 함수에 대해, 전체 도함수는 그래디언트(gradient)로 불리는 벡터 필드(vector field)로 해석될 수 있습니다. 그래디언트의 직관적 해석은 그것이 "위로" 향한다는 것입니다: 다른 말로, 그것은 함수의 가장 빠른 증가의 방향을 향합니다. 그것은 스칼라(scalar) 함수의 방향 도함수(directional derivative) 또는 법선 방향을 계산하기 위해서 사용될 수 있습니다.

부분 도함수의 여러 선형 조합은 Rⁿ에서 Rⁿ로의 벡터-값 함수에 의해 정의되는 미분 방정식의 문맥에서 특히 유용합니다. 발산(divergence)은 거기에 있는 점 근처에서 "소스" 또는 "싱크"가 얼마나 되는지 측정을 제공합니다. 그것은 발산 정리(divergence theorem)에 의해 유량(flux)을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 컬(curl)은 벡터 필드가 점 근처에서 얼마나 많은 "회전(rotation)"을 가지는지 측정합니다.

R에서 Rⁿ로의 벡터-값 함수(vector-valued functions) (즉, 매개변수 곡선(parametric curve))에 대해, 우리는 분리된 각 성분의 도함수를 취할 수 있습니다. 결과 도함수는 또 다른 벡터-값 함수입니다. 이것은, 예를 들어, 만약 벡터-값 함수가 시간에 걸쳐서 입자의 위치 벡터이면, 도함수는 시간에 걸쳐서 입자의 속도 벡터인 것에서 유용합니다.

대류 도함수(convective derivative)는 벡터 필드를 따라 공간에 걸쳐서 시간 의존성 및 운동으로 기인한 변화를 고려합니다.

Convex analysis

하위-도함수(subderivative) and 하위-그래디언트(subgradient)는 볼록 함수(convex function)에서 도함수의 일반화입니다.

Higher-order derivatives and differential operators

우리는 미분화 과정을 반복할 수 있으며, 즉, 두 번 이상 도함수를 적용하여, 이차 및 고차의 도함수를 얻을 수 있습니다. 보다 정교한 아이디어는, 하나의 대수 표현, 미분 연산자(differential operator)에서 다른 차수가 가능한, 여러 도함수를 조합하는 것입니다. 이것은 상수 계수를 갖는 보통의 선형 미분 방정식(linear differential equation)을 고려하는 것에서 특히 유용합니다. 예를 들어, 만약 f(x)가 하나의 변수의 두-번 미분-가능 함수이면, 미분 방정식

f''+2f'-3f=4x-1\,

은 다음 형식에서 다시-쓸 수 있습니다:

L(f)=4x-1,\,

여기서

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3

은 x의 함수에 작용하는 이차 선형 상수 계수 미분 연산자입니다. 핵심 아이디어는 여기서, "한꺼번에" 영차, 일차 및 이차 도함수의 특정 선형 조합(linear combination)을 고려하는 것입니다. 이것은 우리에게 이 미분 방정식의 해의 집합을 보통의 적분화(integration)와 아날로그에 의해, 오른쪽 변 4x − 1의 "일반화된 역도함수"로 생각하는 것을 허용하고, 공식적으로 다음을 씁니다:

f(x)=L^{-1}(4x-1).\,

고차 도함수는, 다변수 미적분학(multivariable calculus)에서 연구되는 여러 변수의 함수에 대해 역시 정의될 수 있습니다. 이 경우에서, 도함수를 반복적으로 적용하는 대신에, 우리는 다른 변수에 관한 부분 도함수(partial derivative)를 반복적으로 적용합니다. 예를 들어, n 변수의 스칼라 함수의 이차 부분 도함수는 n × n 행렬, 헤세 행렬(Hessian matrix)로 구성될 수 있습니다. 미묘한 점 중 하나는 고차 도함수는 본질적으로 정의되지 않고, 복잡한 방식으로 좌표의 선택에 의존한다는 것입니다 (특히, 함수의 헤세 행렬은 텐서(tensor)가 아닙니다). 그럼에도 불구하고, 고차 도함수는 그의 임계점(critical points)에서 함수의 지역적 극단값(local extrema)의 해석에 대한 중요한 응용을 가집니다. 매니폴드 토폴로지에 대한 이 해석의 고급 응용에 대해, 모스 이론(Morse theory)을 참조하십시오.

하나의 변수의 함수의 경우에서 처럼, 우리는 부분 미분 연산자(partial differential operator)의 개념에 도달하기 위해 일차 및 고차 부분 도함수를 결합할 수 있습니다. 이들 연산자 중 일부는 그들 자신의 이름을 가질 정도로 중요합니다:

R³ 위의 라플라스 연산자(Laplace operator) 또는 라플라스(Laplacian)는 세 변수의 스칼라 함수의 그래디언트(gradient)의 발산(divergence)에 의해 주어진 이-차 부분 미분 연산자 Δ, 또는 명시적으로 다음입니다:

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.

유사한 연산자는 임의의 숫자의 변수의 함수에 대해 정의될 수 있습니다.

달랑베리안(d'Alembertian) 또는 파동 연산자(wave operator)는 라플라스와 유사하지만, 네 변수의 함수에서 작동합니다. 그것의 정의는 R³의 유클리드(Euclidean) 점 곱(dot product) 대신에 민코프스키 공간(Minkowski space)의 부정 메트릭 텐서(metric tensor)를 사용합니다:

\square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.

Analysis on fractals

라플라스 및 미분 방정식은 프랙탈(fractals)에 정의될 수 있습니다.

Fractional derivatives

임의의 자연수 n에 대해 n-번째 도함수 이외에, 분수 또는 음의 차수의 도함수를 정의하기 위한 다양한 방법이 있으며, 이것은 분수 미적분학(fractional calculus)에서 연구됩니다. –1차 도함수는, 용어 미-적분(differintegral)으로부터, 적분에 해당합니다.

Complex analysis

복소 해석학(complex analysis)에서, 연구의 핵심 대상은 정칙 함수(holomorphic function)이며, 이것은 미분-가능성의 적절하게 확장된 정의를 만족시키는 복소수(complex numbers) 위의 복소수-값 함수입니다.

슈바르치안 도함수(Schwarzian derivative)는, 보통 도함수가 함수가 선형 맵에 의해 근사화되는 방법을 설명하는 것과 거의 같은 방법으로, 복소 함수가 분수-선형 맵(fractional-linear map)에 의해 근사화되는 방법을 설명합니다.

비르팅거 도함수(Wirtinger derivatives)는 실수 변수의 함수에 대해 보통의 미분 미적분학과 전적으로 유사한 복소 함수에 대해 미분 미적분학의 구성을 허용하는 미분 연산자의 집합입니다.

Quaternionic analysis

쿼터니언 해석학(quaternionic analysis)에서, 도함수는 실수 및 복소 함수에 대한 비슷한 방법에서 정의될 수 있습니다. 쿼터니언(quaternions) $\mathbb {H}$ 에 대해, 차이 몫의 비-교환 극한은 두 다른 도함수를 산출합니다. 왼쪽 도함수

\lim _{h\to 0}[h^{-1}(f(a+h)-f(a))]

및 오른쪽 도함수

\lim _{h\to 0}[(f(a+h)-f(a))h^{-1}].

이들 극한의 존재는 매우 제한적인 조건입니다. 예를 들어, 만약 $f:\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ 가 열린 연결된 집합 $U\subset \mathbb {H}$ 위에 모든 각 점에서 왼쪽-도함수를 가지면, $a,b\in \mathbb {H}$ 에 대해 $f(q)=a+qb$ 입니다.

Functional analysis

함수형 해석학(functional analysis)에서, 함수형 도함수(functional derivative)는 함수의 공간 위에 함수의 함수에 관한 도함수를 정의합니다. 이것은 방향 도함수를 무한 차원(dimension)의 벡터 공간으로 확장입니다.

프레셰 도함수(Fréchet derivative)는 방향 도함수를 일반적인 바나흐 공간(Banach space)으로 확장을 허용합니다. 가르토 도함수(Gâteaux derivative)는 개념을 지역적으로 볼록(locally convex) 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)으로 확장합니다. 프레셰 미분-가능성은, 심지어 유한 차원에서, 가르토 미분-가능성보다 엄격하게 강한 조건입니다. 두 극단점 사이는 준-도함수(quasi-derivative)입니다.

측정 이론(measure theory)에서, 라돈–니코딤 도함수(Radon–Nikodym derivative)는, 변수를 변경하는 것에 사용된, 측정하기 위한, 야코비(Jacobian)를 일반화합니다. 그것은 하나의 측정 μ를 (특정 조건 아래에서) 또 다른 측정 ν에 관해 표현합니다.

추상 위너 공간(abstract Wiener space)의 이론에서, H-도함수(H-derivative)는 캐머런-마틴 힐베르트 공간(Hilbert space)에 해당하는 특정 방향에서 도함수를 정의합니다.

도함수는 적절하게 잘-행동된 부분-공간에 대하여 부분에 의한 적분화(integration by parts)를 사용하여 함수의 공간 위에 분포(distributions)의 공간에 대한 일반화를 역시 허용합니다.

함수 공간(function space) 위에, 각 함수에 그의 도함수를 할당하는 선형 연산자(linear operator)는 미분 연산자(differential operator)의 예제입니다. 일반적인 미분 연산자는 고차 도함수를 포함합니다. 푸리에 변환(Fourier transform)에 의하여, 유사-미분 연산자(pseudo-differential operator)는 분수 미적분학을 허용하는 것에 대해 정의될 수 있습니다.

Analogues of derivatives in fields of positive characteristic

칼리츠 도함수(Carlitz derivative)는 보통 미분화와 유사한 작업으로, 일부 유한 필드(finite field) F_q에서 계수를 갖는 공식적인 로랑 급수(formal Laurent series)의 형태에서 양의 특성(characteristic)의 지역 필드(local fields:국소체)로 변경되는 실수 또는 복소수의 보통 문맥과 함께 고안되어 왔습니다 (그것은 양의 특성의 임의의 지역 필드는 로랑 급수 필드와 동형인 것으로 알려져 있습니다).

지수 함수(exponential function), 로그(logarithms) 그리고 다른 것에 대한 적절하게 정의된 아날로그와 함께 도함수는 매끄러움, 분석, 적분화, 테일러 급수의 개념과 마찬가지로 미분 방정식의 이론을 개발하기 위해서 사용될 수 있습니다.^[1]

Difference operator, q-analogues and time scales

함수의 q-도함수는 다음 공식에 의해 정의됩니다:

D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

비-영 x에 대해, 만약 f가 x의 미분-가능 함수이고, q → 1일 때 극한에서 우리는 보통의 도함수를 얻고, 따라서 q-도함수는 그의 q-변형(q-deformation)으로 보일 수 있을 것입니다. 이항 공식(binomial formula) 및 테일러 전개(Taylor expansion)와 같은, 보통의 미분 미적분학으로부터 결과의 큰 몸체는 19세기에 발견되었지만, 특수 함수(special functions)의 이론 밖에서, 20세기의 큰 부분에 대해 상대적으로 모호하게 남게 되는, 자연적인 q-아날로그를 가집니다. 조합론(combinatorics)의 진보와 양자 그룹(quantum group)의 발견은 상황을 극적으로 변화되어 왔고, q-유사체의 인기가 증가하고 있습니다.

차이 방정식(difference equations)의 차이 연산자(difference operator)는 표준 도함수의 다른 이산 아날로그입니다.

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\,

q-도함수, 차이 연산자 및 표준 도함수는 서로 다른 시간 스케일(time scale)로 같은 것으로 모두 보일 수 있습니다. 예를 들어, $\epsilon =(q-1)x$ 을 취하면, 우리는 다음을 가질 것입니다:

{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}.

q-도함수는 한(Hahn) 차이의 특별한 경우입니다 (Hahn (1949)를 참조하십시오)

{\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.

한 차이는 q-도함수의 일반화일뿐만 아니라 전방 차이의 확장입니다.

역시 q-도함수는 익숙한 도함수의 특별한 경우에 불과한 것임에 주목하십시오. $z=qx$ 를 취하면, 우리는 다음을 가집니다:

\lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Derivatives in algebra

대수학에서, 도함수의 일반화는, 링(ring) 또는 리 대수(Lie algebra)와 같은, 대수 구조에서 미분화의 라이프니츠 규칙(Leibniz rule of differentiation)을 두는 것에 의해 얻어질 수 있습니다.

Derivations

도함수(derivation)는 라이프니츠 법칙 (곱 규칙)을 만족시키는 링 또는 대수(algebra)에 대한 선형 맵입니다. 고차 도함수 및 대수적 미분 연산자(algebraic differential operators)는 역시 정의될 수 있습니다. 그것들은 미분 갈루아 이론(differential Galois theory) 및 D-모듈(D-module)의 이론에서 순수 대수적 설정에서 연구되지만, 많은 다른 영역에서 역시 올려지고, 여기서 그들은 도함수의 덜 대수적 정의에 종종 부합합니다.

예를 들어, 교환 링 R에 걸쳐 다항식(polynomial)의 형식적 도함수(formal derivative)는 다음에 의해 정의됩니다:

(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0})'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.

매핑 $f\mapsto f'$ 는 그때에 다항식 링(polynomial ring) R[X]에 대한 도함수입니다. 이 정의는 마찬가지로 유리 함수(rational function)로 확장될 수 있습니다.

도함수의 개념은 비-교환 마찬가지로 교환 링에 적용되고, 심지어, 리 대수와 같은, 비-결합 대수적 구조에 적용됩니다.

핀셀레 도함수(Pincherle derivative) 및 산술 도함수(Arithmetic derivative)를 역시 참조하십시오.

Commutative algebra

교환 대수(commutative algebra)에서, 켈러 미분(Kähler differential)은 교환 링(commutative ring) 또는 모듈(module)의 보편적인 도함수입니다. 그것들은, 바로 매끄러운 매니폴드 대신에, 임의의 대수 다양체(algebraic varieties)에 적용되는 미분 기하학으로부터 외부 도함수의 아날로그를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.

Number theory

p-진수 해석학(p-adic analysis)에서, 도함수의 보통 정의는 충분히 강하지 않고, 우리는 대신 엄격한 미분-가능성(strict differentiability)을 요구합니다.

산술 도함수(arithmetic derivative) 및 하세 도함수(Hasse derivative)를 역시 참조하십시오.

Type theory

수학 및 컴퓨터 과학(computer science)에서 많은 추상 데이터 유형(abstract data type)은 형식을 기반으로 구조를 다시 유형으로 매핑하는 변환에 의해 생성된 대수(algebra)로 설명될 수 있습니다. 예를 들어, 유형 A의 값을 포함하는 이진 트리(binary tree)의 유형 T는 변환 1+A×T²→T에 의해 생성된 대수로 표현될 수 있습니다. "1"은 빈 트리의 구성을 표현하고, 두 번째 항은 값과 두 하위-트리로부터 트리의 구성을 나타냅니다. "+"는 트리가 어느쪽으로 구성될 수 있음을 가리킵니다.

그러한 유형의 도함수는 구조를 포함하는 그의 다음 외부에 관한 특정 하부-구조의 문맥을 설명하는 유형입니다. 또 다른 방법을 놓으면, 그것은 그 둘 사이의 "차이"를 나타내는 유형입니다. 트리 예제에서, 도함수는, 그의 부모 트리를 구성하기 위해, 주어진 특정 하위-트리에 주어진, 필요된 정보를 기술하는 유형입니다. 이 정보는 자식이 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지 여부의 이항 연산, 부모에서 값, 및 형제 하위-트리를 포함하는 튜플입니다. 이 유형은 2×A×T로 표현될 수 있으며, 이것은 트리 유형을 생성되는 변환의 도함수와 매우 흡사하게 보입니다.

유형의 도함수의 이 개념은, 함수형 프로그래밍 언어(functional programming language)에서 사용되는 지퍼(zipper) 기법과 같은, 실용적인 응용을 가집니다.

Derivatives in geometry

기하학에서 도함수의 주요 유형은 벡터 필드, 외부 미분, 및 공변 도함수에 따른 리 도함수입니다.

Differential topology

미분 토폴로지(differential topology)에서, 벡터 필드(vector field)는 매니폴드(manifold) 위의 매끄러운 함수(smooth function)의 링 위에 도함수로 정의될 수 있고, 접 벡터(tangent vector)는 한 점에서 도함수로 정의될 수 있습니다. 이것은 스칼라 함수의 방향 도함수(directional derivative)의 개념을 일반적인 매니폴드로의 추상화를 허용합니다. Rⁿ의 부분-집합(subset)인 매니폴드에 대해, 이 접 벡터는 위에서 정의된 방향 도함수와 일치할 것입니다.

매니폴드 사이의 맵의 미분 또는 밂(differential or pushforward)은 그들의 맵의 접 공간 사이의 유도된 맵입니다. 그것은 야코비 행렬(Jacobian matrix)을 추상화합니다.

매끄러운 매니폴드(smooth manifold)에 걸쳐 미분 형식(differential forms)의 외부 대수(exterior algebra)에서, 외부 도함수(exterior derivative)는 라이프니츠 법칙의 등급된 버전과 제곱을 영으로 만족시키는 고유한 선형 맵입니다. 그것은 외부 대수 위에 등급 1 도함수입니다.

리 도함수(Lie derivative)는 또 다른 벡터 필드의 흐름을 따라 벡터 또는 텐서 필드의 변화율입니다. 벡터 필드 위에, 그것은 리 괄호(Lie bracket)의 예제입니다 (벡터 필드가 매니폴드의 미분동형사상 그룹(diffeomorphism group)의 리 대수(Lie algebra)를 형성합니다). 그것은 대수 위에 등급 0 도함수입니다.

내부 곱(interior product) (벡터 필드와 함께 수축에 의해 정의된 외부 대수에 대한 차수 −1 도함수)과 함께, 외부 도함수와 리 도함수는 리 초월-대수(Lie superalgebra)를 형성합니다.

Differential geometry

미분 기하학(differential geometry)에서, 공변 도함수(covariant derivative)는 곡선(curve)을 따라 벡터 필드의 방향 도함수를 취하는 것에 대해 선택을 만듭니다. 이것은 스칼라 함수의 방향 도함수를 벡터 다발(vector bundle) 또는 주요 다발(principal bundle)의 섹션으로 확장합니다. 리만 기하학(Riemannian geometry)에서, 메트릭의 존재는, 레비-치비타 연결(Levi-Civita connection)로 알려진, 유일하게 선호되는 꼬임(torsion)-없는 공변 도함수를 선택합니다. 물리학을 향한 처리에 대해 게이지 공변 도함수(gauge covariant derivative)를 역시 참조하십시오.

외부 공변 도함수(exterior covariant derivative)는 외부 도함수를 벡터 값 형식으로 확장됩니다.

Geometric calculus

기하학적 미적분(geometric calculus)에서, 기하학적 도함수(geometric derivative)는 라이프니츠 규칙의 약한 형식을 만족시킵니다. 그것은 프레셰 도함수를 기하학적 대수의 대상으로 전문화합니다. 기하학적 미적분은 미분 형식과 미분 기하학의 비슷한 프레임워크를 포괄하는 것으로 보이는 강력한 형식주의입니다.^[2]

Other generalizations

원래 도함수의 확장 또는 추상화의 위의 다른 개념 중 둘 이상을 결합하는 것이 가능할 것입니다. 예를 들어, 핀슬러 기하학(Finsler geometry)에서, 우리는 바나흐 공간(Banach space)과 같이 지역적으로(locally) 보이는 공간을 연구합니다. 따라서 우리는 함수형 도함수(functional derivative)와 공변 도함수(covariant derivative)의 특징 중 일부를 갖는 도함수를 원할 수 있습니다.

확률론적 프로세서(stochastic processes)의 연구는 말리아빈 미적분(Malliavin calculus)으로 알려진 미적분의 한 형식을 요구합니다. 이 설정에서 도함수의 한 개념은 추상적 위너 공간(abstract Wiener space)에서 함수의 H-도함수(H-derivative)입니다.

곱셈적 미적분(multiplicative calculus)은 덧셈을 곱셈으로 대체하고, 따라서 차이의 비율의 극한을 다루기보다는, 그것은 비율의 지수의 극한을 다룹니다. 이것은 기하학적 도함수(geometric derivateive) 및 비기오메트릭 도함수(bigeometric derivative)의 개발을 허용합니다. 게다가, 고전적인 미분 연산자가 이산 아날로그를 갖는 것처럼, 이들 곱셈적 도함수의 이산 아날로그도 역시 있습니다.

Notes

^ Kochubei, Anatoly N. (2009). Analysis in Positive Characteristic. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-50977-0.
^ David Hestenes, Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6

[1] Kochubei, Anatoly N. (2009). Analysis in Positive Characteristic. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-50977-0.

[2] David Hestenes, Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6

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