Integral transform

수학(mathematics)에서, 적분 변환은 적분(integration)을 통해 원래 함수 공간(function space)에서 함수(function)를 또 다른 함수 공간으로 매핑하며, 여기서 원래 함수의 일부 속성은 원래 함수 공간에서보다 더 쉽게 특성화되고 조작될 수 있습니다. 변환된 함수는 일반적으로 역변환을 사용하여 원래 함수 공간으로 다시 매핑될 수 있습니다.

General form

적분 변환은 다음 형식의 임의의 변환(transform) $T$ 입니다:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt

이 변환의 입력은 함수(function) $f$ 이고, 출력은 또 다른 함수 $Tf$ 입니다. 적분 변환은 특정 종류의 수학 연산자(operator)입니다.

수많은 유용한 적분 변환이 있습니다. 각각은 변환의 커널 함수, 적분 커널, 또는 핵, 두 변수(variables)의 함수 $K$ 의 선택에 의해 지정됩니다.

일부 커널은 결합된 역 커널 $K^{-1}(u,t)$ 을 가지며 이것은 (대략적으로 말하면) 역 변환을 산출합니다:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du

대칭 커널은 두 변수가 순열될 때 변경되지 않는 커널입니다: 그것은 $K(t,u)=K(u,t)$ 을 만족하는 커널 함수 $K$ 입니다. 적분 방정식의 이론에서, 대칭 커널은 자체-연결 연산자에 해당합니다.^[1]

Motivation for use

수학적 표기법을 제외하고, 적분 변환 뒤의 동기는 이해하기 쉽습니다. 원래 표현에서 풀기 어렵거나 적어도 대수적으로는 상당히 다루기 힘든 많은 종류의 문제가 있습니다. 적분 변환은 원래 "도메인"에서 또 다른 영역으로 방정식을 "매핑"합니다. 목표 도메인에서 방정식을 조작하고 푸는 것이 원래 도메인에서 조작과 해보다 훨씬 쉬울 수 있습니다. 그 해는 그런-다음 적분 변환의 역을 갖는 원래 도메인으로 다시 매핑됩니다.

"가격-결정 커널" 또는 확률적 할인 요인(stochastic discount factor), 또는 강건한 통계에서 복구된 데이터의 매끄러움과 같은 적분 변환에 의존하는 확률의 많은 응용이 있습니다; 커널을 참조하십시오.

History

변환의 선구자는 유한 구간에서 함수를 표현하기 위한 푸리에 급수(Fourier series)였습니다. 나중에 푸리에 변환(Fourier transform)은 유한 구간의 요구 사항을 제거하기 위해 개발되었습니다.

푸리에 급수를 사용하여, 시간의 거의 모든 실제 함수 (예를 들어 전자 장치(electronic device)의 단자 끝단에 걸린 전압(voltage))는 사인(sine)과 코사인(cosine), 각각 적절하게 스케일된 (일정한 인수로 곱해짐), 이동된 (시간에서 경과된 또는 지연된), 및 "축소된" 또는 "늘려진" (주파수를 증가 또는 감소) 것의 합으로 나타낼 수 있습니다. 푸리에 급수에서 사인과 코사인은 직교정규 기저(orthonormal basis)의 한 예제입니다.

Usage example

적분 변환의 응용의 예제로서, 라플라스 변환(Laplace transform)을 생각해 보십시오. 이것은 "시간" 도메인의 미분(differential) 또는 적분-미분 방정식(integro-differential equation)을 "복소 주파수" 도메인이라고 이름지은 것에서 다항식 방정식으로 매핑하는 기법입니다. (복소 주파수는 실제, 물리적 주파수와 유사하지만 오히려 더 일반적입니다. 구체적으로 특별히, 복소 주파수 s = −σ + iω의 허수 성분 ω는 주파수의 보통의 개념, viz., 정현파가 순환하는 비율에 해당하고, 반면에 복소수 주파수의 실수 성분 σ는 "감쇠"의 정도, 즉 진폭의 기하급수적 감소에 해당합니다.) 복소수 주파수의 관점에서 그 방정식은 복소수 주파수 영역에서 쉽게 해결될 수 있으며 (복소수 주파수에서 도메인의 다항 방정식의 근은 시간 도메인에서 고윳값(eigenvalues)에 해당합니다), 주파수 도메인에서 공식화된 "해"로 이어집니다. 역 변환(inverse transform), 즉 원래 라플라스 변환의 역 절차를 사용하여, 우리는 시간-도메인 해를 얻습니다. 이 예제에서, 복소수 주파수 도메인의 다항식 (전형적으로 분모에서 발생)은 시간 도메인에서 거듭제곱 급수에 해당하고, 반면에 복소수 주파수 도메인에서 축 이동은 시간 도메인에서 지수적으로 붕괴함으로써 감쇠에 해당합니다.

라플라스 변환은 복소수 주파수 도메인에서 전기 회로의 동작을 설명하는 특성 방정식(characteristic equations)이 시간 도메인에서 기하급수적으로 조정되고 시간-이동된 감쇠 정현파(damped sinusoid)의 선형 조합에 해당하는 물리학과 특히 전기 공학에서 광범위한 응용을 찾습니다. 다른 적분 변환은 다른 과학 및 수학 분야 내에서 특별한 적용 가능성을 찾습니다.

또 다른 사용법 예제는 경로 적분(path integral)에서 커널입니다:

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

이것은 $(x,t)$ 에 도달하기 위한 총 진폭 $\psi (x,t)$ 이 $x'$ 에서 $x$ 로 가는 진폭, [즉, $K(x,t;x',t')$ ]에 의해 곱해진 점 $(x',t')$ 에 도달하기 위한 총 진폭 $\psi (x',t')$ 의 모든 가능한 값 $x'$ 에 걸쳐 합 (적분)입니다.^[2] 그것은 종종 주어진 시스템에 대해 전파인자(propagator)로 참조됩니다. 이 (물리) 커널은 적분 변환의 커널입니다. 어쨌든, 각 양자 시스템에 대해, 서로 다른 커널이 있습니다.^[3]

Table of transforms

Table of integral transforms
Transform	Symbol	K	f(t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
Abel transform	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		u	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$ ^[4]	t	$\infty$
Associated Legendre transform	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Fourier transform	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
Fourier sine transform	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Fourier cosine transform	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	0	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	0	$\infty$
Hankel transform		$t\,J_{\nu }(ut)$		0	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	0	$\infty$
Hartley transform	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Hermite transform	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Hilbert transform	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Jacobi transform	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Laguerre transform	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Laplace transform	${\mathcal {L}}$	e^−ut		0	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Legendre transform	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Mellin transform	${\mathcal {M}}$	t^u−1		0	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[5]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Two-sided Laplace transform	${\mathcal {B}}$	e^−ut		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Poisson kernel		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		0	2π
Radon Transform	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
Weierstrass transform	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
X-ray transform	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

역변환에 대해 적분의 극한에서, c는 변환 함수의 본성에 따라 달라지는 상수입니다. 예를 들어, 한-측과 양-측 라플라스 변환에 대해, c는 변환 함수의 영들 중 가장 큰 실수 부분보다 커야 합니다.

푸리에 변환에 대한 대안적인 표기법과 관례가 있음을 주목하십시오.

Different domains

여기서 적분 변환은 실수에 대한 함수에 대해 정의되지만, 그것들은 그룹의 함수에 대해 보다 일반적으로 정의될 수 있습니다.

만약 대신 우리가 원에 대한 함수 (주기적 함수)를 사용하면, 적분 커널은 그런-다음 이-주기 함수입니다; 원의 함수에 의한 합성곱은 순환 합성곱(circular convolution)을 산출합니다.
만약 우리가 차수 n ( $C n$ 또는 $Z / n Z$ )의 순환 그룹(cyclic group)에 대한 함수를 사용하면, 우리는 n × n 행렬을 적분 커널로 얻습니다. 합성곱은 순환 행렬(circulant matrices)에 해당합니다.

General theory

비록 적분 변환의 속성은 매우 다양하지만, 그것들은 공통으로 몇 가지 속성을 가집니다. 예를 들어, 적분이 선형 연산자(linear operator)이기 때문에, 모든 각 적분 변환은 선형 연산자이고, 실제로 만약 커널이 일반화된 함수(generalized function)가 되도록 허용되면 모든 선형 연산자는 적분 변환입니다 (이 명제의 적절하게 공식화된 버전은 슈바르츠 커널 정리(Schwartz kernel theorem)입니다).

그러한 적분 방정식(integral equation)의 일반 이론은 프레드홀름 이론(Fredholm theory)으로 알려져 있습니다. 이 이론에서, 그 커널은 함수의 바나흐 공간(Banach space)에 작용하는 컴팩트 연산자(compact operator)로 이해됩니다. 상황에 따라, 그 커널은 프레드홀름 연산자(Fredholm operator), 핵 연산자(nuclear operator), 또는 프레드홀름 커널(Fredholm kernel)로 다양하게 참조됩니다.

References

^ Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)
^ Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:
^ Mathematically, what is the kernel in path integral?
^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .
^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.