Inverse function theorem

Original article: w:Inverse function theorem

수학(mathematics), 특히 미분 미적분(differential calculus)에서, 역 함수 정리(inverse function theorem)는 함수에 대해 그것의 도메인의 한 점의 이웃에서 역-가능이 되는: 즉, 그것의 도함수는 그 점에서 연속적이고 비-영이라는 충분 조건을 제공합니다. 그 정리는 역시 역 함수의 도함수(derivative)에 대한 공식을 제공합니다. 다변수 미적분에서, 이 정리는 역의 야코비 행렬(Jacobian matrix)에 대한 공식을 제공하는 야코비 행렬식(Jacobian determinant)이 해당 도메인의 한 점에서 비-영이라는 임의의 연속적으로 미분-가능, 벡터-값 함수로 일반화될 수 있습니다. 복소수 정칙 함수(holomorphic functions), 매니폴드 사이의 미분-가능 맵, 바나흐 공간(Banach spaces) 사이의 미분-가능 함수, 등에 대한 역 함수 정리의 버전도 있습니다.

그 정리는 피카르(Picard)와 구르사(Goursat)에 의해 반복 스킴을 사용하여 처음 확립되었습니다: 기본 아이디어는 수축 매핑 정리(contraction mapping theorem)를 사용하여 고정된 점 정리(fixed point theorem)를 입증하는 것입니다.

Statements

단일 변수(variable)의 함수에 대해, 그 정리는 $f$가 점 $a$에서 비-영 도함수를 갖는 연속적으로 미분-가능 함수이면; $f$는 $a$의 이웃에서 단사 (또는 이미지 위로의 전단사)이고, 역은 $b=f(a)$ 근처에서 연속적으로 미분-가능하고, $b$에서 역 함수의 도함수는 $a$에서 $f$의 도함수의 역수입니다: $${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.$$

함수 $f$가 $f'(a)=0$인 동안 점 $a$ 근처에서 단사일 수 있다는 것이 발생할 수 있습니다. 예제는 $f(x)=(x-a)^{3}$입니다. 사실, 그러한 함수에 대해, 역은 $b=f(a)$에서 미분가능일 수 없는데, 왜냐하면 $f^{-1}$이 $b$에서 미분가능이면, 체인 규칙에 의해, $1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)$이며, 이는 $f'(a)\neq 0$임을 의미하기 때문입니다. (그 상황은 정칙 함수에 대해 다릅니다; 아래의 #Holomorphic inverse function theorem를 참조하십시오.)

둘 이상의 변수의 함수에 대해, 그 정리는 $f$가 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합 $A$에서 $\mathbb {R} ^{n}$으로의 연속적으로 미분-가능 함수이고, 도함수(derivative) $f'(a)$가 점 $a$에서 역-가능이면 (즉, $a$에서 $f$의 야코비 행렬의 행렬식이 비-영이면), $f(U)\subset V$와 $f:U\to V$가 전단사임을 만족하는 $b=f(a)$의 $V$와 $A$에서 $a$의 이웃 $U$가 존재합니다. $f=(f_{1},\ldots ,f_{n})$라고 쓰면, 이것은 n 방정식 $y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$의 시스템이 $x\in U,y\in V$일 때 $y_{1},\dots ,y_{n}$의 관점에서 $x_{1},\dots ,x_{n}$에 대해 고유한 해를 가진다는 의미입니다. 그 정리는 $f$가 $f'$가 역-가능인 이미지 위로의 전단사라고 말하지 않고 $f'$가 역-가능인 지역적으로 전단사라고 말합니다.

게다가, 그 정리는 역함수 $f^{-1}:V\to U$가 연속적으로 미분가능이고, $b=f(a)$에서의 도함수는 $f'(a)$의 역 맵이라고 말합니다; 즉,

$(f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.$

다시 말해서, $Jf^{-1}(b),Jf(a)$가 $(f^{-1})'(b),f'(a)$를 나타내는 야코비 행렬이면, 이는 다음을 의미합니다:

$Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.$

정리의 어려운 부분은 $f^{-1}$의 존재와 미분-가능성입니다. 이것을 가정하여, 역 도함수 공식은 $f^{-1}\circ f=I$에 적용된 체인 규칙(chain rule)에서 따릅니다. (실제로, $I=(f^{-1}\circ f)^{'}(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).$) 역함수를 취하는 것은 무한하게 미분가능이므로, 역의 도함수에 대한 공식은 만약 $f$가 점 a에서 역-가능 도함수를 갖는 연속적으로 $k$번 미분-가능이면, 역도 연속적으로 $k$번 미분-가능함을 보여줍니다. 여기서 $k$는 양의 정수 또는 $\infty$입니다.

역함수 정리에는 두 가지 변형이 있습니다. 연속적으로 미분-가능 맵 $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$가 주어지면, 첫 번째는

• 도함수 $f'(a)$는 전사적인 (즉, 그것을 나타내는 야코비 행렬이 랭크 $m$을 가짐) 것과 $b$ 근처에서 $f\circ g=I$를 만족하는 $b=f(a)$의 이웃 $V$ 위에 연속적으로 미분-가능 함수 $g$가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다,

그리고 두 번째는

• 도함수 $f'(a)$가 단사적인 것과 $a$ 근처에서 $g\circ f=I$를 만족하는 $b=f(a)$의 이웃 $V$ 위에 연속적으로 미분-가능 함수 $g$가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

첫 번째 경우에서 ($f'(a)$가 전사적일 때), 점 $b=f(a)$는 정규 값(regular value)이라고 불립니다. $m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))$이므로, 첫 번째 경우는 $b=f(a)$가 임계 점 $a$의 이미지에 있지 않다고 말하는 것과 동등합니다 (임계 점은 $f'(a)$의 커널이 비-영임을 만족하는 점 $a$입니다). 첫 번째 경우에서 명제는 침몰 정리(submersion theorem)의 특별한 경우입니다.

이들 변형은 역 함수 정리의 재명제입니다. 실제로, 첫 번째 경우에서 $f'(a)$가 전사적일 때, $f'(a)\circ T=I$임을 만족하는 (단사적) 선형 맵 $T$를 찾을 수 있습니다. 다음을 가지도록 $h(x)=a+Tx$를 정의합니다:

$(f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.$

따라서, 역 함수 정리에 의해, $f\circ h$는 $0$ 근처에서 역을 가집니다; 즉, $b$ 근처에서 $f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I$입니다. 두 번째 경우 ($f'(a)$는 단사)는 유사한 방법으로 보입니다.

Example

다음에 의해 정의된 벡터-값 함수 $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!$를 생각해 보십시오:

$F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

야코비 행렬은 다음과 같습니다:

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

이때 야코비 행렬식은 다음과 같습니다:

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!$

행렬식 $e^{2x}\!$는 모든 곳에서 비-영입니다. 따라서 정리는 $\mathbb {R} ^{2}\!$에서 모든 점 p에 대해, F가 역-가능인 p에 대한 이웃이 존재함을 보장합니다. 이것은 F가 전체 도메인에서 역-가능이라는 것을 의미하지 않습니다: 이 경우 F는 심지어 단사적이 아닌데 왜냐하면 그것은 주기적이기 때문입니다: $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$.

Counter-example

The function $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ is bounded inside a quadratic envelope near the line $y=x$, so $f'(0)=1$. Nevertheless, it has local max/min points accumulating at $x=0$, so it is not one-to-one on any surrounding interval.

만약 도함수가 연속적이라는 가정을 버리면, 함수는 더 이상 역가능일 필요가 없습니다. 예를 들어, $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$와 $f(0)=0$은 불연속 도함수 $f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})$와 $f'\!(0)=1$를 가지며, 이는 $x=0$에 임의적으로 가깝게 사라집니다. 이들 임계 점은 $f$의 지역적 최대/최소 점이므로, $f$는 $x=0$을 포함하는 임의의 구간 위에 일-대-일이 아닙니다 (그리고 역-가능이 아닙니다). 직관적으로, 기울기 $f'\!(0)=1$은 기울기가 약하지만 빠른 진동에 의해 지배되는 근처 점으로 전파되지 않습니다.

Methods of proof

중요한 결과로써, 역 함수 정리는 수많은 증명을 받아 왔습니다. 교과서에서 가장 공통적으로 볼 수 있는 증명은 바나흐 고정된-점 정리(Banach fixed-point theorem)라고도 알려져 있는 수축 매핑(contraction mapping) 원리에 의존합니다 (이는 역시 보통의 미분 방정식에 대한 해의 존재와 고유성 증명의 핵심 단계로 사용될 수 있습니다).

고정된 점 정리는 무한-차원 (바나흐 공간) 설정에 적용되기 때문에, 이 증명은 역 함수 정리의 무한-차원 버전으로 즉시 일반화됩니다 (아래 Generalizations 참조).

유한 차원에서 대안적인 증명은 컴팩트 집합(compact set) 위에 함수에 대해 극단-값 정리(extreme value theorem)에 달려 있습니다.

또 다른 증명은 정리의 효과적인 버전을 제공하는 이점을 가지는 뉴턴의 방법(Newton's method)을 사용합니다: 함수의 도함수에 대한 경계는 함수가 역-가능인 이웃의 크기의 추정을 의미합니다.

A proof using successive approximation

존재를 입증하기 위해, 그것은 $a=b=0$이 되도록 $f(0)=0$와 $f^{\prime }(0)=I$이라는 아핀 변환 후에 가정될 수 있습니다.

벡터-값 함수에 대한 평균 값 정리에 의해, 함수 $u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}$에 대해, ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$입니다. ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$로 설정하여, 다음임이 따라옵니다:

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.$

이제 $\|x\|<\delta$에 대해 ${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$가 되도록 $\delta >0$을 선택합니다. $\|y\|<\delta /2$이고 $x_{0}=0$와 $x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})$에 의해 유도적으로 $x_{n}$을 정의한다고 가정합니다. 그 가정은 $\|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta$이면 다음이라는 것을 보여줍니다:

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2$.

특히 $f(x)=f(x^{\prime })$는 $x=x^{\prime }$를 의미합니다. 귀납적 스킴에서 $\|x_{n}\|<\delta$이고 $\|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}$입니다. 따라서 $(x_{n})$은 $x$로 가는 코시 수열(Cauchy sequence)입니다. 구성에 의해 필요에 따라 $f(x)=y$입니다.

$g=f^{-1}$가 C¹인지 확인하기 위해, $f(x+h)=f(x)+k$가 되도록 $g(y+k)=x+h$라고 씁니다. 위의 부등식에 의해, $\|h\|/2<\|k\|<2\|h\|$가 되도록 $\|h-k\|<\|h\|/2$입니다. 다른 한편으로, 만약 $A=f^{\prime }(x)$이면 $\|A-I\|<1/2$입니다. $B=I-A$에 대해 기하 급수(geometric series)를 사용하여, $\|A^{-1}\|<2$가 따라옵니다. 그러나 그때에 다음이

${\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}$

$k$와 $h$가 0으로 갈 때 0으로 가는 경향이 있으며, $g$가 $g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}$를 갖는 C¹이라는 조건으로 합니다.

위의 증명은 유한-차원 공간에 대해 제시되었지만, 바나흐 공간에도 동일하게 적용됩니다. 만약 역-가능 함수 $f$가 $k>1$를 갖는 C^k이면, 그 역도 마찬가지입니다. 이것은 연산자 위에 맵 $F(A)=A^{-1}$가 임의의 $k$에 대해 C^k라는 사실을 사용하는 귀납법에 의해 따릅니다 (유한-차원의 경우에서 이것은 행렬의 역이 그것의 행렬식에 의해 나누어진 수반 행렬(adjugate matrix)로 주어지기 때문에 기본 사실입니다). 여기서 증명의 방법은 Henri Cartan, Jean Dieudonné, Serge Lang, Roger Godement, 및 Lars Hörmander의 책에서 찾을 수 있습니다.

A proof using the contraction mapping principle

다음은 수축 매핑 정리(contraction mapping theorem)에 기반한 증명입니다. 구체적으로, T. Tao를 따르며, 수축 매핑 정리의 다음 결과를 사용합니다.

Lemma — $B(0,r)$가 중심 0을 갖는 $\mathbb {R} ^{n}$에서 반지름 $r$의 열린 공을 나타낸다고 놓습니다. 만약 $g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}$가 $g(0)=0$임을 만족하는 맵이고 $B(0,r)$에서 모든 $x,y$에 대해 다음임을 만족하는 상수 $0<c<1$가 존재하면:

$|g(y)-g(x)|\leq c|y-x|$

$f=I+g$가 $B(0,r)$ 위에 단사적이고 $B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$입니다.

(보다 일반적으로, 그 명제는 $\mathbb {R} ^{n}$가 바나흐 공간에 의해 대체되면 참으로 유지됩니다.)

기본적으로, 보조정리는 수축 맵에 의한 항등 맵의 작은 섭동이 단사적이고 어떤 의미에서 공을 보존한다고 말합니다. 잠시 보조정리를 가정하여, 먼저 정리를 증명합니다. 위의 증명에서와 같이, $a=0,b=f(a)=0$과 $f'(0)=I$일 때 특별한 경우를 입증하는 것으로 충분합니다. $g=f-I$라고 놓습니다. $t\mapsto g(x+t(y-x))$에 적용된 평균 값 부등식(mean value inequality)은 다음이라고 말합니다:

$|g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.$

$g'(0)=I-I=0$이고 $g'$가 연속이기 때문에, $B(0,r)$에서 모든 $x,y$에 대해 다음임을 만족하는 $r>0$를 찾을 수 있습니다:

$|g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|$

그런-다음 초기 보조정리는 $f=g+I$가 $B(0,r)$ 위에 단사적이고 $B(0,r/2)\subset f(B(0,r))$라고 말합니다. 그런-다음 다음은

$f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)$

전단사적이고 따라서 역을 가집니다. 다음으로, 역 $f^{-1}$가 연속적으로 미분-가능이라는 것을 보여줍니다 (논증의 이 부분은 이전 증명에서 부분과 같습니다). 이번에는, $g=f^{-1}$가 $f$의 역함수를 나타내고 $A=f'(x)$라고 놓습니다. $x=g(y)$에 대해, $g(y+k)=x+h$ 또는 $y+k=f(x+h)$라고 씁니다. 이제, 초기 평가에 의해, 다음을 가집니다:

$|h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2$

그리고 따라서 $|h|/2\leq |k|$입니다. 연산자 노름에 대해 $\|\cdot \|$라고 씁니다:

$|g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.$

$k\to 0$이므로, $h\to 0$를 가지고 $|h|/|k|$는 경계집니다. 따라서, $g$는 도함수 $g'(y)=f'(g(y))^{-1}$를 갖는 $y$에서 미분-가능입니다. 역시, $g'$는 합성 $\iota \circ f'\circ g$와 같으며, 여기서 $\iota :T\mapsto T^{-1}$입니다; 따라서 $g'$는 연속입니다.

보조정리를 보이는 것이 남았습니다. 먼저, 맵 $f$는 $B(0,r)$ 위에 단사적인데 왜냐하면 $f(x)=f(y)$이면 $g(y)-g(x)=x-y$이고 따라서 다음이기 때문입니다:

$|g(y)-g(x)|=|y-x|$,

이는 $y=x$가 아닌 한 모순입니다. (이 부분은 $g(0)=0$이라는 가정이 필요하지 않습니다.) 다음으로, $f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)$을 보여줍니다. 아이디어는 이것이, $B(0,(1-c)r)$에서 점 $y$가 주어졌을 때, 다음 맵의 고정된 점을 찾는 것과 동등하다는 점에 주목하는 것입니다:

$F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)$

여기서 $|y|\leq (1-c)r'$를 만족하는 $0<r'<r$이고 막대는 닫힌 공을 의미합니다. 고정된 점을 찾기 위해, 수축 매핑 정리를 사용하고 $F$가 잘-정의된 엄격한-수축 매핑인지 확인하는 것은 간단합니다. 마지막으로, $f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)$를 가지는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

$|f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square$

분명히 알 수 있듯이, 이 증명은 이전 증명과 실질적으로 다르지 않은데, 왜냐하면 수축 매핑 정리의 증명은 연속 근사에 의한 것이기 때문입니다.

Applications

Implicit function theorem

역 함수 정리는 다음과 같은 방정식의 시스템, 즉, $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$의 함수로 $y_{1},\dots ,y_{n}$를 표현하는 것을 풀기 위해 사용될 수 있습니다:

${\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}$

이는 야코비 행렬이 역-가능이라는 조건으로 합니다. 암시적 함수 정리(implicit function theorem)를 사용하면 $x$의 관점에서 $y$에 대해 보다 일반적인 방정식 시스템을 풀 수 있습니다:

${\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}$

더 일반적이지만, 그 정리는 실제로 역 함수 정리의 결과입니다. 먼저, 암시적 함수 정리의 정확한 설명은 다음과 같습니다:

• 맵 $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$가 주어졌을 때, 만약 $f(a,b)=0$이고, $f$가 $(a,b)$의 이웃에서 연속적으로 미분-가능이고 $b$에서 $y\mapsto f(a,y)$의 도함수는 역-가능이면, $f(x,g(x))=0$를 만족하는 $a,b$의 어떤 이웃 $U,V$에 대해 미분-가능 맵 $g:U\to V$이 존재합니다. 게다가, $f(x,y)=0,x\in U,y\in V$이면, $y=g(x)$입니다; 즉, $g(x)$는 고유한 해입니다.

이것을 보이기 위해, 맵 $F(x,y)=(x,f(x,y))$을 생각해 보십시오. 역 함수 정리에 의해, $F:U\times V\to W$는 어떤 이웃 $U,V,W$에 대해 역 $G$를 가집니다. 그런-다음 다음을 가집니다:

$(x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),$

이는 $x=G_{1}(x,y)$와 $y=f(x,G_{2}(x,y))$를 의미합니다. 따라서 $g(x)=G_{2}(x,0)$는 요구된 속성을 가집니다. $\square$

Giving a manifold structure

미분 기하학에서, 역 함수 정리는 매끄러운 맵 아래에서 정규 값(regular value)의 이전-이미지가 매니폴드임을 보여주기 위해 사용됩니다. 실제로, $f:U\to \mathbb {R} ^{r}$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합으로부터의 매끄러운 맵이라고 놓습니다 (결과가 지역적이기 때문에, 그러한 맵을 고려할 때 일반성의 손실이 없습니다). $f^{-1}(b)$에 점 $a$를 고정하고 그런-다음, $\mathbb {R} ^{n}$의 좌표를 순열함으로써, 행렬 $\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}$이 랭크 $r$을 가진다고 가정합니다. 그런-다음 맵 $F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})$은 $F'(a)$가 랭크 $n$을 가진다고 만족하는 것입니다. 따라서, 역 함수 정리에 의해, $(b,a_{r+1},\dots ,a_{n})$의 이웃 $V\times W$에서 정의된 $F$의 매끄러운 역 $G$를 찾습니다. 그런-다음 다음을 가집니다:

$x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),$

이는 다음을 의미합니다:

$(f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).$

즉, $G$에 의해 좌표의 변경 후에, $f$는 좌표 투영입니다 (이 사실은 침몰 정리(submersion theorem)라고 알려져 있습니다). 게다가, $G:V\times W\to U'=G(V\times W)$가 전단사이기 때문에, 다음 맵은 매끄러운 역을 갖는 전단사입니다:

$g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})$

즉, $g$는 $a$ 주위에 $f^{-1}(b)$의 지역적 매개변수화를 제공합니다. 따라서, $f^{-1}(b)$는 매니폴드입니다. $\square$ (참고로 증명은 암시적 함수 정리의 증명과 매우 유사하고, 실제로, 암시적 함수 정리가 대신 사용될 수도 있습니다.)

보다 일반적으로, 정리는 매끄러운 맵 $f:P\to E$가 부분매니폴드 $M\subset E$를 횡단하면 이전-이미지 $f^{-1}(M)\hookrightarrow P$가 부분매니폴드임을 보여줍니다.

Global version

역 함수 정리는 지역적 결과입니다; 그것은 각 점에 적용됩니다. 따라서, 선험적으로(A priori), 정리는 함수 $f$가 지역적으로 전단사 (또는 일부 클래스의 지역적으로 미분동형적)임을 보여줄 뿐입니다. 다음 토폴로지적 보조정리는 지역적 단서성을 어느 정도 전역적인 단사성으로 업그레이드하기 위해 사용될 수 있습니다.

Lemma —  만약 $A$가 (두 번째-셀-수-있는) 토폴로지적 매니폴드$X$의 닫힌 부분집합 (또는, 보다 일반적으로, 컴팩트 부분집합에 의한 소진을 허용하는 토폴로지적 공간)이고, $f:X\to Z$는, $Z$는 일부 토폴로지적 공간이며, $A$ 위에 단사인 지역적 위상동형이면, $f$는 $A$의 일부 이웃 위에 단사적입니다.

Proof: 먼저 $X$가 컴팩트(compact)라고 가정합니다. 만약 정리의 결론이 거짓이면, $f(x_{i})=f(y_{i})$와 $x_{i},y_{i}$가 각각 $A$에서 어떤 점 $A$로 수렴함을 만족하는 두 수열 $x_{i}\neq y_{i}$를 찾을 수 있습니다. $f$는 $A$ 위에 단사적이기 때문에, $x=y$입니다. 이제, 만약 $i$가 충분히 크면, $x_{i},y_{i}$는 $f$가 단사인 $x=y$의 이웃에 있습니다; 따라서 $x_{i}=y_{i}$, 모순입니다.

일반적으로, 집합 $E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}$를 생각해 보십시오. 그것은 $f$가 단사인 임의의 부분집합 $S\subset X$에 대해 $S\times S$와 서로소입니다. $X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots$를 합집합 $X$와 $X_{i+1}$의 내부에 포함된 $X_{i}$를 갖는 컴팩트 부분집합의 증가하는 수열이라고 놓습니다. 그런-다음 증명의 첫 번째 부분에 의해, 각 $i$에 대해, $U_{i}^{2}\subset X^{2}-E$임을 만족하는 $A\cap X_{i}$의 이웃 $U_{i}$를 찾을 수 있습니다. 그런-다음 $U=\bigcup _{i}U_{i}$는 요구된 속성을 가집니다. $\square$ (다른 접근 방법도 참조하십시오.)

보조정리는 다음과 같은 역 함수 정리의 (일종의) 전역적 버전을 의미합니다:

Inverse function theorem —  $f:U\to V$를 $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}$ 또는 보다 일반적으로 매니폴드의 열린 부분집합 사이의 맵이라고 놓습니다. $f$가 연속적으로 미분-가능 (또는 $C^{k}$)이라고 가정합니다. 만약 $f$가 닫힌 부분집합 $A\subset U$ 위에 단사적이고 $f$의 야코비 행렬이 $A$의 각 점에서 역-가능이면, $f$는 $A$의 이웃 $A'$에서 단사적이고 $f^{-1}:f(A')\to A'$는 연속적으로 미분-가능 (또는 $C^{k}$)입니다.

만약 $A$가 점이면, 위의 내용은 보통의 역 함수 정리임에 주목하십시오.

Holomorphic inverse function theorem

정칙 맵(holomorphic maps)에 대한 역 함수 정리의 버전이 있습니다.

Theorem —  $U,V\subset \mathbb {C} ^{n}$를 $0\in U$임을 만족하는 열린 부분집합으로 놓고 $f:U\to V$를 변수 $z_{i},{\overline {z}}_{i}$에서 야코비 행렬이 $0$에서 역-가능 (행렬식이 비-영임)인 정칙 맵이라고 놓습니다. 그런-다음 $f$는 $0$의 일부 이웃 $W$에서 단사적이고 역 $f^{-1}:f(W)\to W$는 정칙입니다.

정리는 보통의 역 함수 정리에서 따릅니다. 실제로, $J_{\mathbb {R} }(f)$는 변수 $x_{i},y_{i}$에서 $f$의 야코비 행렬을 나타내고 $J(f)$를 $z_{j},{\overline {z}}_{j}$에서 그것에 대해 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 $\det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}$를 가지며, 이는 가정에 의해 비-영입니다. 따라서, 보통의 역 함수 정리에 의해, $f$는 연속적으로 미분-가능한 역을 갖는 $0$ 근처에서 단사적입니다. 체인 규칙에 의해, $w=f(z)$와 함께,

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)$

여기서 왼쪽 변과 오른쪽 변에서 첫 번째 항은 사라지는데 왜냐하면 $f_{j}^{-1}\circ f$와 $f_{k}$가 정칙이기 때문입니다. 따라서, 각 $k$에 대해, ${\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0$입니다. $\square$

유사하게, 정칙 함수에 대해 암시적 함수 정리가 있습니다.

앞에서 이미 언급한 바와 같이, 단사적 매끄러운 함수가 매끄러운 것이 아닌 역함수를 가질 수 있음 (예를 들어, 실수 변수에서 $f(x)=x^{3}$)이 발생할 수 있습니다. 이것은 다음과 같은 이유로 정칙 함수에 대한 경우가 아닙니다:

Proposition —  만약 $f:U\to V$가 $\mathbb {C} ^{n}$의 열린 부분집합 사이의 단사적 정칙 맵이면, $f^{-1}:f(U)\to U$는 정칙입니다.

Formulations for manifolds

역 함수 정리는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds) 사이의 미분-가능 맵으로 다시 표현될 수 있습니다. 이 맥락에서, 그 정리는 (클래스 $C^{1}$의) 미분-가능 맵 $F:M\to N$에 대해, $F$의 미분(differential)이

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

$M$에 있는 점 $p$에서 선형 동형(linear isomorphism)이면 다음이

$F|_{U}:U\to F(U)$

미분동형(diffeomorphism)임을 만족하는 $p$의 열린 이웃 $U$가 존재한다고 말합니다. 이것은 dF_p가 동형이라는 가정에서 이미 직접적으로 암시된 것처럼 p와 F(p)를 포함하는 M과 N의 연결된 구성 요소가 같은 차원을 가짐을 의미함을 주목하십시오. 만약 F의 도함수가 M에 있는 모든 점 p에서 동형이면 맵 F는 지역적 미분동형(local diffeomorphism)입니다.

Generalizations

Banach spaces

역 함수 정리는 역시 바나흐 공간(Banach spaces) X와 Y 사이의 미분-가능 맵으로 일반화될 수 있습니다. U를 X에서 원점의 열린 이웃이라고 놓고 $F:U\to Y\!$를 연속적으로 미분-가능 함수라고 놓고, 0에서 F의 프레셰 도함수(Fréchet derivative) $dF_{0}:X\to Y\!$는 Y 위로의 X의 경계진(bounded) 선형 동형이라고 가정합니다. 그런-다음 Y에서 $F(0)\!$의 열린 이웃 V와 V에서 모든 y에 대해 $F(G(y))=y$를 만족하는 연속적으로 미분-가능 맵 $G:V\to X\!$가 존재합니다. 더욱이, $G(y)\!$는 방정식 $F(x)=y$의 유일하게 충분히 작은 해 x입니다.

바나흐 매니폴드(Banach manifolds)에 대한 역 함수 정리도 있습니다.

Constant rank theorem

역 함수 정리 (및 암시적 함수 정리)는 상수 랭크 정리의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 상수 랭크 정리는 한 점 근처에서 상수 랭크(rank)를 갖는 매끄러운 맵은 해당 점 근처에서 특정 정규 형식으로 넣을 수 있다고 말합니다. 특히, 만약 $F:M\to N$가 점 $p\in M$ 근처에서 상수 랭크를 가지면, p의 열린 이웃 U와 $F(p)\!$의 열린 이웃 V가 있고 $F(U)\subseteq V$를 만족하고 도함수 $dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$가 $v^{-1}\circ F\circ u$와 같음을 만족하는 미분동형 $u:T_{p}M\to U$와 $u:T_{p}M\to U$가 있습니다. 즉, F는 p 근처에서 도함수"처럼 보입니다". 랭크가 $p$의 이웃에서 상수임을 만족하는 점 $p\in M$의 집합은 M의 열린 조밀한 부분집합입니다; 이것은 랭크 함수의 반연속성(semicontinuity)의 결과입니다. 따라서 상수 랭크 정리는 도메인의 일반 점에 적용됩니다.

F의 도함수가 점 p에서 단사적 (각각, 전사적)일 때, 그것은 역시 p의 이웃에서 단사적 (각각, 전사적)이고, 따라서 F의 랭크는 해당 이웃에서 상수이고, 상수 랭크 정리가 적용됩니다.

Polynomial functions

만약 그것이 참이면, 야코비 추측(Jacobian conjecture)은 다항식에 대한 역 함수 정리의 변형이 될 것입니다. 만약 벡터-값 다항 함수가 역-가능 다항식 (비-영 상수)인 야코비 행렬식(Jacobian determinant)을 가지면, 그것은 다항식 함수이기도 한 역함수를 가진다고 말합니다. 변수가 두 개인 경우에도 이것이 참인지 거짓인지는 알려져 있지 않습니다. 이것은 다항식 이론에서 주요 열린 문제입니다.

Selections

$m\leq n$를 갖는 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$이고, $f$는 $k$번 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이고, 점 ${\overline {x}}$에서 야코비 $A=\nabla f({\overline {x}})$가 랭크(rank) $m$을 가질 때, $f$의 역은 고유하지 않을 수 있습니다. 어쨌든, ${\overline {y}}=f({\overline {x}})$, $s({\overline {y}})={\overline {x}}$의 이웃(neighborhood)에서 모든 $y$에 대해 $f(s(y))=y$를 만족하는 지역적 선택 함수(selection function) $s$가 존재하고, $s$는 이 이웃에서 $k$번 연속적으로 미분-가능이고, $\nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}$입니다 ($\nabla s({\overline {y}})$는 $A$의 무어-펜로즈 유사-역(Moore–Penrose pseudoinverse)입니다).

See also

• Nash–Moser theorem

References

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