Mean value theorem

Original article: wikipedia:Mean value theorem

For the theorem in harmonic function theory, see Harmonic function § The mean value property.

For any function that is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ there exists some $c$ in the interval $(a,b)$ such that the secant joining the endpoints of the interval $[a,b]$ is parallel to the tangent at $c$ .

수학(mathematics)에서, 평균 값 정리(mean value theorem)는, 대략적으로, 두 끝점 사이의 주어진 평면 호(arc)에 대해, 호에 대한 접선(tangent)이 그의 끝점을 통과하는 가름선(secant:할선)에 대해 평행한 점이 적어도 하나는 있다고 말합니다.

이 정리는 구간의 점에서 도함수에 대한 지역적 가설로부터 시작하여 구간 위의 함수에 대한 명제를 증명하기 위해 사용됩니다.

보다 정확하게, 만약 함수 $f$가 닫힌 구간(closed interval) $[a,b]$ 위에 연속 함수(continuous function)이고, 열린 구간(open interval) $(a,b)$ 위에 미분-가능이면, 다음을 만족하는 $(a,b)$ 안에 점 $c$가 존재합니다:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

이것은 실수 해석학(real analysis)에서 가장 중요한 결과 중 하나입니다.

History

이 정리(theorem)의 특별한 경우는, 인도의 천문학과 수학의 케랄라 학교(Kerala School of Astronomy and Mathematics:케랄라 학파)로부터, 고빈다스바미(Govindasvāmi)와 바스카라 II(Bhāskara II)에 그의 해설에서, 파르미쉬와르(Parameshvara) (1370-1460)에 의해 첫 번째로 묘사되었습니다. 정리의 제한된 형태는 1691년 미셸 롤(Michel Rolle)에 의해 증명되었습니다; 결과는 지금 롤의 정리(Rolle's theorem)로 알려져 있고, 미적분학의 기법없이, 오직 다항식에 대해 증명되었습니다. 그의 현대 형식에서 평균 값 정리는 1823년 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)에 의해 말해졌고 증명되었습니다.

Formal statement

The function $f$ attains the slope of the secant between $a$ and $b$ as the derivative at the point $\xi \in (a,b)$.

It is also possible that there are multiple tangents parallel to the secant.

$f:[a,b]\to \mathbb {R}$를 닫힌 구간(interval) $[a,b]$ 위의 연속 함수(continuous function)로 놓고, 열린 구간 $(a,b)$ 위의 미분 가능(differentiable)이라고 놓으며, 여기서 $a<b$입니다. 그런-다음 다음을 만족하는 $(a,b)$ 안의 어떤 $c$가 존재합니다:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

평균 값 정리는, $f(a)=f(b)$를 가정하는, 롤의 정리(Rolle's theorem)의 일반화이므로, 위의 오른쪽 변이 영입니다.

평균 값 정리는 약간 더 일반적인 설정에서 여전히 유효합니다. 우리는 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$가 $[a,b]$ 위에 연속(continuous)인 것, $(a,b)$ 안의 모든 각 $x$에 대해 극한(limit)

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

은 유한한 숫자로 존재 또는 $\infty$ 또는 $-\infty$와 같음을 가정하는 것이 오직 필요합니다. 만약 유한이면, 그 극한은 $f'(x)$와 같습니다. 정리의 이 버전이 적용되는 예제는 $x\to x^{\frac {1}{3}}$로 매핑하는 실수-값 세제곱근(cube root) 함수에 의해 주어지며, 그의 도함수(derivative)는 원점에서 무한대로 가는 경향이 있습니다.

만약 미분-가능한 함수가 실수-값 대신에 복소수-값이라면, 정리는, 말한 것처럼, 거짓임을 주목하십시오. 예를 들어, 모든 각 실수 $x$에 대해 $f(x)=e^{xi}$를 정의하십시오. 그런-다음

$f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$

반면에 임의의 실수 $x$에 대해 $f'(x)\neq 0$입니다.

이들 공식적인 명제는 라그랑주의 평균 값 정리로 역시 알려져 있습니다.

Proof

표현 ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$은 점 $(a,f(a))$와 $(b,f(b))$를 연결하는 직선의 기울기(slope)를 제공하며, 이것은 $f$의 그래프의 현(chord)이고, 반면에 $f'(x)$은 점 $(x,f(x))$에서 곡선에 대한 접선의 기울기를 제공합니다. 따라서, 평균 값 정리는 매끄러운 곡선의 임의의 현이 주어지면, 우리는, 그 점에서 접선은 현과 평행한 것을 만족하는 현의 끝-점 사이에 놓여있는 점을 발견할 수 있음을 말합니다. 다음의 증명은 이 아이디어를 설명합니다.

$g(x)=f(x)-rx$를 정의하는데, 여기서 $r$은 상수입니다. $f$는 $[a,b]$ 위에 연속이고 $(a,b)$ 위에 미분-가능이므로, 같은 것이 $g$에 대해 참입니다. 우리는 이제 $r$을 선택하기를 원하므로 $g$는 롤의 정리(Rolle's theorem)의 조건을 만족시킵니다. 즉

${\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}$

롤의 정리(Rolle's theorem)에 의해, $g$는 미분-가능이고 $g(a)=g(b)$이므로, $g'(c)=0$인 것에 대해 $(a,b)$ 안의 어떤 $c$가 있고, 그것은 다음인 등식 $g(x)=f(x)-rx$으로부터 따릅니다:

${\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}$

A simple application

f는 연속, 실수-값 함수이고, 실수 직선의 임의의 구간 I에 정의된 것을 가정합니다. 만약 구간 I의 모든 각 내부 점(interior point)에서 f의 도함수가 존재하고 영이면, f는 내부에서 상수(constant)입니다.

증명: 구간 I의 모든 각 내부 점(interior point)에서 f의 도함수가 존재하고 영이라고 가정합니다. (a, b)를 I에서 임의의 열린 구간으로 놓습니다. 평균 값 정리에 의해, 다음을 만족하는 (a, b) 안에 점 c가 존재합니다:

$0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

이것은 f(a) = f(b)임을 의미합니다. 따라서, f는 I의 내부 위에 상수이고 따라서 연속성에 의해 I 위에 상수입니다. (이 결과의 다변수 버전에 대해 아래를 참조하십시오.)

비고:

• 미분-가능이 아닌, f의 오직 연속성은 구간 I의 끝점에서 필요합니다. 연속성의 가설은 만약 I가 열린 구간(open interval)이면 말할 필요가 없는데, 왜냐하면 한 점에서 도함수의 존재는 이 점에서 연속성을 의미하기 때문입니다. (기사 도함수(derivative)의 섹션 연속성과 미분-가능성(continuity and differentiability)을 참조하십시오.)
• f의 미분-가능성은 한-쪽 미분-가능성(one-sided differentiability), 반-미분-가능성(semi-differentiability)에 관한 기사에서 주어진 증명으로 완화될 수 있습니다.

Cauchy's mean value theorem

확장된 평균 값 정리로 역시 알려진, 코시의 평균 값 정리는 평균 값 정리의 하나의 일반화입니다. 그것은 말합니다: 만약 함수 f와 g가 닫힌 구간 [a, b] 위에 둘 다 연속이고, 열린 구간 (a, b) 위에 미분-가능이면, 다음을 만족하는 어떤 c ∈ (a, b)가 존재합니다:

Geometrical meaning of Cauchy's theorem

$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$

물론, 만약 g(a) ≠ g(b)이고 g′(c) ≠ 0이면, 이것은 다음과 동등합니다:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.$

기하학적으로, 이것은 다음 곡선(curve)의 그래프에서 어떤 접선(tangent)이 있다는 것을 의미합니다:

${\begin{cases}[a,b]\to \mathbf {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$

이것은 점 (f(a), g(a)) 및 (f(b), g(b))에 의해 정의된 직선에 평행(parallel)입니다. 어쨌든, 코시의 정리는 (f(a), g(a)) 및 (f(b), g(b))가 구별되는 점인 모든 경우에서 그러한 접선의 존재를 주장하지는 않는데, 왜냐하면 그것은 f′(c) = g′(c) = 0를 가진 값 c, 달리 말해서, 언급된 곡선이 정류점(stationary)인 것에 대해 하나의 값에 대해 오직 만족될 수 있기 때문입니다; 그러한 점에서, 곡선에 대한 접선은 전혀 정의되지 않을 것입니다. 이 상황의 예제는 다음에 의해 주어진 곡선입니다:

$t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),$

이것은 구간 [−1, 1] 위에서 점 (−1, 0)에서 (1, 0)로 가고, 여전히 절대 수평 접선을 가지지 않습니다. 어쨌든 그것은 t = 0에서 정류점 (사실 첨점(cusp))을 가집니다.

코시의 평균 값 정리는 로피탈의 정리(l'Hôpital's rule)를 증명하기 위해 사용될 수 있습니다. 평균 값 정리는 g(t) = t일 때 코시의 평균 값 정리의 특수한 경우입니다.

Proof of Cauchy's mean value theorem

코시의 평균 값 정리의 증명은 평균 값 정리의 증명에서 처럼 같은 아이디어를 기초로 합니다.

• g(a) ≠ g(b)를 가정합니다. h(x) = f(x) − rg(x)를 정의하고, 여기서 r은 h(a) = h(b)인 그러한 방법에서 고정입니다, 즉

${\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}$

f와 g는 [a, b] 위에 연속이고 (a, b) 위에 미분-가능이므로, 같은 것이 h에 대해 참입니다. 전부, h는 롤의 정리(Rolle's theorem)의 조건을 만족시킵니다: 결과적으로, h′(c) = 0인 것에 대해 (a, b) 안에 어떤 c가 있습니다. 이제 h의 정의를 사용하여 우리는 다음을 가집니다:

$0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c).$

그러므로:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),$

이것은 결과를 의미합니다.

• 만약 g(a) = g(b)이면, g에 대해 롤의 정리(Rolle's theorem)를 적용하여, 그것은 g′(c) = 0인 것에 대해 (a, b) 안의 c가 존재함을 따릅니다. c의 이 선택을 사용하여, 코시의 평균 값 정리는 (자명하게) 유지됩니다.

Generalization for determinants

$f,g,$ 및 $h$는 $(a,b)$ 위에 미분-가능 함수이고 $[a,b]$ 위의 연속인 것을 가정합니다. 다음을 정의합니다:

$D(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|$

$D'(c)=0$을 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재합니다.

다음에 주목하십시오:

$D'(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{array}}\right|$

그리고 만약 우리가 $h(x)=1$로 두면, 우리는 코시의 평균 값 정리를 얻습니다. 만약 우리가 $h(x)=1$ 및 $g(x)=x$로 두면, 우리는 라그랑주의 평균 값 정리(Lagrange's mean value theorem)를 얻습니다.

일반화의 증명은 꽤 단순합니다: $D(a)$ 및 $D(b)$의 각각은 두 동일한 행을 가진 행렬식이고, 그러므로 $D(a)=D(b)=0$입니다. 롤의 정리는 $D'(c)=0$를 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재하는 것을 의미합니다.

Mean value theorem in several variables

평균 값 정리는 여러 변수의 실수 함수로 일반화됩니다. 비결은 한 변수의 실수 함수를 생성하기 위해 매개 변수화를 사용하는 것이고, 그런-다음 한-변수의 정리를 적용하는 것입니다.

$G$를 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 볼록 부분-집합으로 놓고, $f:G\to \mathbb {R}$를 미분-가능한 함수로 놓습니다. 점 $x,y\in G$를 고정하고, $g(t)=f{\Big (}(1-t)x+ty{\Big )}$를 정의합니다. $g$는 한 변수에서 미분-가능한 함수이므로, 평균 값 정리는, 0과 1 사이에 어떤 $c$에 대해, 다음을 제공합니다:

$g(1)-g(0)=g'(c)$

그러나 $g(1)=f(y)$ 및 $g(0)=f(x)$이므로, 분명하게 $g'(c)$를 계산하여 우리는 다음을 가집니다:

$f(y)-f(x)=\nabla f{\Big (}(1-c)x+cy{\Big )}\cdot (y-x)$

여기서 $\nabla$는 그래디언트(gradient) 및 $\cdot$은 점 곱(dot product)을 나타냅니다. 이것은 하나의 변수에서 정리의 정확한 아날로그임에 주목하십시오 (경우 $n=1$에서, 이것은 한 변수에서 정리입니다). 코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)에 의해, 방정식은 다음 근사를 제공합니다:

${\Bigg |}f(y)-f(x){\Bigg |}\leq {\Bigg |}\nabla f{\Big (}(1-c)x+cy{\Big )}{\Bigg |}\ {\Big |}y-x{\Big |}.$

특히, $f$의 부분 도함수가 경계질 때, $f$는 립시츠 연속(Lipschitz continuous)입니다 (그러므로 균등하게 연속(uniformly continuous)입니다). $f$가 $G$의 클로저 위에 연속 또는 연속적으로 미분-가능한 것임을 가정하지 않는 것에 주목하십시오. 어쨌든, $g'$을 계산하기 위해 체인 규칙을 사용하기 위해, 우리는 $f$가 $G$ 미분-가능한 것임을 아는 것이 정말로 필요합니다; 자체에 의해 $x$와 $y$ 부분 도함수의 존재는 정리가 참이 되는 것에 대해 충분하지 않습니다.

위의 응용에서 처럼, 우리는, 만약 $G$가 열린 및 연결된 및 $f$의 모든 각 부분 도함수는 0이면 $f$가 상수임을 증명했습니다. 어떤 점 $x_{0}\in G$을 선택하고, $g(x)=f(x)-f(x_{0})$로 놓습니다. 우리는 모든 각 $x\in G$에 대해 $g(x)=0$임을 보이기를 원합니다. 그것에 대해, $E=\{x\in G:g(x)=0\}$로 놓습니다. 그런-다음 E는 닫힌 및 비어 있지 않은 것입니다. 그것은 역시 열린 것입니다: 모든 각 $x\in E$에 대해, $x$의 어떤 이웃에서 모든 $y$에 대해,

${\Big |}g(y){\Big |}={\Bigg |}g(y)-g(x){\Bigg |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0$

(여기서, $x$와 $y$가 서로 사이에 충분히 가까운 것이 중대합니다.) $G$가 연결된 것이므로, 우리는 $E=G$라는 결론을 내립니다.

위의 논증은 좌표-없는 방식으로 만들어집니다; 그러므로, 그들은 $G$가 바나흐 공간의 부분-집합인 경우로 일반화됩니다.

Mean value theorem for vector-valued functions

벡터-값 함수에 대해 평균 값 정리의 정확한 아날로그는 없습니다.

Principles of Mathematical Analysis에서, 루딘(Rudin)은 평균 값 정리가 일 차원 경우에서 적용될 수 있는 많은 같은 상황에 적용될 수 있는 부등식을 제공합니다:

정리. $(a,b)$ 위에 미분-가능한 연속 벡터-값 함수 $\mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$에 대해, $|\mathbf {f} '(x)|\geq {\frac {1}{b-a}}|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|$를 만족하는 $x\in (a,b)$가 존재합니다.

장 디외도네(Jean Dieudonné)는 그의 고전적 논문 Foundations of Modern Analysis에서 평균 값 정리를 버리고 평균 부등식으로 그것을 대체했는데 왜냐하면 증명은 구성적이지 않고 우리는 평균값을 절대 찾을 수 없고 응용에서 우리는 평균 평균 부등식이 오직 필요가 있기 때문입니다. 서지 랭(Serge Lang)은, Analysis I 에서, 적분 형식에서, 순간 반동으로 평균 값 정리를 사용하지만 이 사용은 도함수의 연속성을 요구합니다. 만약 우리가 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)을 사용하면 우리는 모든 각 도함수가 헨스탁–쿠르즈베일 적분-가능이기 때문에 도함수가 연속이어야 한다는 추가적인 가정없이 적분 형식에서 평균 값 정리를 가질 수 있습니다. 문제는 대략적으로 말해서 다음입니다: 만약 f : U → R^m가 미분-가능한 함수이고 (여기서 U ⊂ Rⁿ는 열린 것입니다), 만약 x + th, x, h ∈ Rⁿ, t ∈ [0, 1]은 질문에서 (U 내부에 놓여있는) 선분이면, 우리는 (위의 표기법 집합 y = x + h에서) f의 성분 함수 f_i (i = 1, ..., m)의 각각에 위의 매개-변수화 절차를 적용할 수 있습니다. 그렇게 행함으로써 우리는 다음을 만족시키는 선분 위의 점 x + t_ih을 찾습니다:

$f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.$

그러나 일반적으로 다음을 만족시키는, 동시에 모든 i에 대해, 선분 위의 단일 점 x + t*h는 없을 것입니다:

$f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.$

예를 들어, 다음을 정의합니다:

${\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbf {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}$

그런-다음 $f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbf {R} ^{2}$이지만, $f_{1}'(x)=-\sin(x)$ 및 $f_{2}'(x)=\cos(x)$는 절대 동시에 영이 되지 않는데, 왜냐하면 $x$가 $\left[0,2\pi \right]$의 범위를 벗어나기 때문입니다.

어쨌든, 벡터-값 함수에 대한 평균 값 정리의 일반화의 특정 유형은 다음으로 얻습니다: f를 열린 구간 I 위에 정의된 연속적으로 미분-가능한 실수-값 함수로 놓고, x와 마찬가지로 x + h를 I의 점으로 놓습니다. 한 변수에서 평균 값 정리는 다음을 만족하는 0과 1 사이의 t*가 존재한다는 것을 우리에게 말합니다:

$f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.$

다른 한편으로, 우리는, 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)에 의해, 변수의 변화에 의해 다음을 따릅니다:

$f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)\,du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.$

따라서, 특별한 점 t*에서 값 f′(x + t*h)은 다음 평균 값에 의해 대체되어 왔습니다:

$\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.$

이 마지막 버전은 벡터-값 함수들에 대해 일반화될 수 있습니다:

보조-정리 1. U ⊂ Rⁿ를 열린 것이고, R^m을 연속적으로 미분-가능한 것, 및 0 ≤ t ≤ 1가 U 안에 남아있는, 선분 x + th를 만족하는 x ∈ U, h ∈ Rⁿ 벡터로 놓습니다. 그런-다음 우리는 다음을 가집니다:

$f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,$

여기서 Df는 f의 야코비 행렬(Jacobian matrix)을 나타내고 행렬의 적분은 성분별로 이해되어야 합니다.

증명. f₁, ..., f_m는 f의 성분을 나타내는 것으로 놓고 다음을 정의합니다:

${\begin{cases}g_{i}:[0,1]\to \mathbf {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\end{cases}}$

그런-다음 우리는 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}&f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\={}&\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)\,dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{aligned}}$

주장은 따라오는데 왜냐하면 Df는 성분 ${\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$을 구성하는 행렬이기 때문입니다.

보조-정리 2. v : [a, b] → R^m를 구간 [a, b] ⊂ R 위에 정의된 연속 함수로 놓습니다. 그런-다음 우리는 다음을 가집니다:

$\left\|\int _{a}^{b}v(t)\,dt\right\|\leqslant \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt.$

증명. R^m 안의 u가 다음 적분의 값을 나타내는 것으로 놓으면

$u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.$

이제 우리는 (코시-슈바르츠 부등식을 사용하여) 다음을 가집니다:

$\|u\|^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)\,dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leqslant \int _{a}^{b}\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt=\|u\|\int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt$

이제 양쪽 끝에서 u의 노름을 제거함으로써 우리에게 원하는 부등식을 제공합니다.

평균 값 부등식. 만약 Df(x + th)의 노름이 [0, 1] 안의 t에 대해 어떤 상수 M에 의해 경계지면,

$\|f(x+h)-f(x)\|\leqslant M\|h\|.$

증명. 보조-정리 1과 2로부터, 그것은 다음을 따릅니다:

$\|f(x+h)-f(x)\|=\left\|\int _{0}^{1}(Df(x+th)\cdot h)\,dt\right\|\leqslant \int _{0}^{1}\|Df(x+th)\|\cdot \|h\|\,dt\leqslant M\|h\|.$

Mean value theorems for definite integrals

First mean value theorem for definite integrals

Geometrically: interpreting f(c) as the height of a rectangle and b–a as the width, this rectangle has the same area as the region below the curve from a to b

f : [a, b] → R를 연속 함수로 놓습니다. 그런-다음 다음을 만족하는 (a, b) 안의 c가 존재합니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).$

[a, b] 위의 f의 평균 값은 다음으로 정의되므로

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

우리는 결론을 해석할 수 있는데 왜냐하면 f는 (a, b) 안의 어떤 c에서 그의 평균 값을 이룹니다.

일반적으로, 만약 f : [a, b] → R이 연속이고 g가 [a, b] 위에 부호를 변경하지 않는 적분-가능한 함수이면, 다음을 만족하는 (a, b) 안의 c가 존재합니다:

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Proof of the first mean value theorem for definite integrals

f : [a, b] → R이 연속이고 g가 [a, b] 위의 비-음의 적분-가능한 함수라고 가정합니다. 극단 값 정리(extreme value theorem)에 의해, [a, b] 안의 각 x에 대해 $m\leqslant f(x)\leqslant M$ 및 $f[a,b]=[m,M]$을 만족하는 m 및 M이 존재합니다. g는 비-음수이므로,

$m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

이제 다음으로 놓습니다:

$I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

만약 $I=0$이면, 우리는 완료했는데, 왜냐하면

$0\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant 0$

은

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0,$

를 의미하므로 (a, b) 안의 임의의 c에 대해,

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.$

만약 I ≠ 0이면,

$m\leqslant {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant M.$

중간 값 정리(intermediate value theorem:사잇값 정리)에 의해, f는 구간 [m, M]의 모든 각 값에 도달하므로, [a, b] 안의 어떤 c에 대해,

$f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,$

즉,

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

마침내, 만약 g가 [a, b] 위에 비-음수이면,

$M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leqslant \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leqslant m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,$

그리고 우리는 여전히 위에서 처럼 같은 결과를 얻습니다.

QED

Second mean value theorem for definite integrals

정적분에 대해 두 번째 평균 값 정리(second mean value theorem for definite integrals)로 불리는 다양한 약간 다른 정리가 있습니다. 공통적으로 발견되는 버전은 다음과 같습니다:

만약 G : [a, b] → R은 양의 단조적으로 감소하는(monotonically decreasing) 함수이고 φ : [a, b] → R은 적분-가능한 함수이면, 다음을 만족하는 (a, b] 안의 숫자 x가 존재합니다:

$\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.$

여기서 $G(a^{+})$는 ${\lim _{x\to a^{+}}G(x)}$를 의미하며, 그것의 존재는 조건으로부터 따릅니다. 구간 (a, b]는 b를 포함하는 것이 필수라는 것을 주목하십시오. 이 요구 사항을 가지지 않는 변형은 다음입니다:

만약 G : [a, b] → R가 (감소하는 및 양의 것이 요구되지 않는) 단조(monotonic) 함수이고 φ : [a, b] → R는 적분-가능한 함수이면, 다음을 만족하는 (a, b) 안의 숫자 x가 존재합니다:

$\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.$

Mean value theorem for integration fails for vector-valued functions

만약 함수 $G$가 다-차원 벡터를 반환하면, 비록 $G$의 도메인이 역시 다-차원일지라도, 적분에 대해 MVT는 참이 아닙니다.

예를 들어, $n$-차원 입방체 위에 정의된 다음 2-차원 함수를 생각해 보십시오:

${\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\cdots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}$

그런-다음, 대칭에 의해 그의 도메인에 걸쳐 $G$의 평균 값이 (0,0)임을 쉽게 알 수 있습니다:

$\int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\cdots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)$

어쨌든, 어디에서나 $|G|=1$이기 때문에, $G=(0,0)$인 점은 없습니다.

A probabilistic analogue of the mean value theorem

X와 Y를 E[X] < E[Y] < ∞ 및 $X\leqslant _{st}Y$와 같은 비-음의 확률 변수(random variable)로 놓습니다 (즉, X는 보통 확률 순서에서 Y보다 작습니다). 그런-다음, 다음 확률 밀도 함수(probability density function)를 가지는 절대적으로 연속적인 비-음의 확률 변수 Z가 존재합니다:

$f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.$

g를 E[g(X)], E[g(Y)] < ∞를 만족하는 측정-가능한 것(measurable)이고 미분-가능한 함수(differentiable function), 및 그의 도함수 g′를 모든 y ≥ x ≥ 0에 대해 구간 [x, y] 위의 측정-가능한 것이고 리만-적분-가능한(Riemann-integrable) 것으로 놓습니다. 그런-다음, E[g′(Z)]는 유한한 것이고 다음입니다:

${\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].$

Generalization in complex analysis

위에서 주목했듯이, 정리는 미분-가능한 복소수-값 함수에 대해 유지되지 않습니다. 대신, 정리의 일반화는 다음과 같이 말합니다:

f : Ω → C를 열린 볼록 집합 Ω 위의 정칙 함수(holomorphic function)로 놓고, a와 b를 Ω 안의 구별되는 점으로 놓습니다. 그런-다음 다음을 만족하는 (a에서 b까지의 선분) L_ab 위의 점 u, v가 존재합니다:

$\mathrm {Re} (f'(u))=\mathrm {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),$

$\mathrm {Im} (f'(v))=\mathrm {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).$

여기서 Re()와 Im()는, 각각, 복소수-값 함수의 실수 부분과 허수 부분입니다.

See also

• Newmark-beta method
• Mean value theorem (divided differences)
• Racetrack principle
• Stolarsky mean

External links

• "Cauchy theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• PlanetMath: Mean-Value Theorem
• Weisstein, Eric W. "Mean value theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Cauchy's Mean-Value Theorem". MathWorld.
• "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy